求解廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程的守恒差分算法

卓 茹，黃妗肜，胡勁松

(西華大學(xué) 理學(xué)院，成都 610039)

求解廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程的守恒差分算法

卓 茹，黃妗肜，胡勁松*

(西華大學(xué) 理學(xué)院，成都 610039)

對一類帶有齊次邊界條件的廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程進(jìn)行了數(shù)值研究，提出了一個兩層非線性有限差分格式，格式合理地模擬了問題的一個守恒性質(zhì)，得到了差分解的先驗估計和存在唯一性，并利用離散泛函分析方法分析了差分格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性。

廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程；守恒差分格式；收斂性；穩(wěn)定性

本文考慮如下一類廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程[1-2]的初邊值問題：

u1-αuxxtβuxxxxt+aux+b(up)x+?uxxx-λuxxxxx=0，

(x,t)∈(xL,xR)×(0，T]

(1)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR]

(2)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,ux(xL,t)=ux(xR,t)=0,

uxx(xL,t)=uxx(xR,t)=0,t∈[0,T]

(3)其中：p≥2為整數(shù)；α,β,a,b,ε,λ為已知常數(shù)，且

α>0,β>0；u0(x)是一個已知的光滑函數(shù)。由于方程(1)的漸近邊界條件滿足：

當(dāng) │x│→+∞時，u→0，ux→0，uxx→0,所以當(dāng)-xL>>0，xR>>0時，初邊值問題(1—3)與方程(1)的Cauchy問題是一致的。問題(1—3)滿足如下守恒量[2]：

(4)

其中：E(0)均為僅與初始條件有關(guān)的常數(shù)。

在對緊離散系統(tǒng)的描述中，廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程(1)是一類重要的非線性發(fā)展方程。當(dāng)α=ε=λ=0時，方程(1)即為著名的廣義Rosenau方程[3-4]；當(dāng)α=β=0時，方程(1)即為廣義Kawahara方程[5-7]或四階KdV方程；當(dāng)β=ε=λ=0時，方程(1)即為廣義RLW方程[8-9]。這些方程在流體力學(xué)、等離子物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，研究其數(shù)值解很有理論價值和應(yīng)用價值，目前僅有文獻(xiàn)[2]對廣義Rosenau-Kawahara-RLW方程提出了一個三層線性差分格式。本文對問題(1—3)提出了一個具有二階精度的兩層非線性有限差分格式，該格式合理地模擬了守恒量(4)，并給出了差分解的存在唯一性以及各式的收斂性、穩(wěn)定性等理論證明。

1 差分格式和守恒律

0,j=-2,-1,0,…,J,J+1,J+2}，

(j=1,2,…,J-1;n=1,2,…,N-1)

(5)

(6)

(n=0,1,2,…,N)

(7)

(8)

(9)

由邊界條件(7)和分部求和公式[10]，得

(10)

(11)

將式(10)、(11)代入式(9)后，遞推即可得式(8)。

2 差分解的存在性

引理1(Brouwer不動點(diǎn)定理[11])設(shè)H是有限維的內(nèi)積空間，設(shè)g∶H→H是連續(xù)算子且存在一個δ>0使得?x∈H，‖x‖=δ時有〈g(x),x〉>0，則存在一個x*∈H使得g(x*)=0且‖x*‖=δ。

(12)

再由Cauchy-Schwarz不等式，得

3 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性及其解的唯一性

差分格式(5—7)的截斷誤差定義如下：

(13)

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖uxx‖L2≤C,‖u‖L∞≤C,‖ux‖L∞≤C。

證明：由式(4)，有

‖u‖L2≤C,‖ux‖L2≤C,‖uxx‖L2≤C,

最后由Sobolev不等式[11]得：‖u‖L∞≤C，‖ux‖L∞≤C。

證明：由定理1，有

再由離散Sobolev不等式[11]得：

注：定理3表明，差分格式(5—7)的解Un以‖·‖∞無條件穩(wěn)定。

(14)

2b〈φ(un+1/2)-φ(Un+1/2),en+1/2〉=

〈rn,2en+1/2〉，

(15)

類似于(10)式，有

(16)

又由引理2，定理3及Cauchy-Schwarz不等式，有

(17)

又〈rn,2en+1/2〉=〈rn,en+1+en〉≤

(18)

將式(16—18)代入式(15)，整理有：

(20)

又B0=O(τ2+h2)2，

于是(20)式為：

由離散的Gronwall不等式[11]可得

最后由離散Sobolev不等式[11]，有‖eN‖∞≤O(τ2+h2)。

定理5 差分格式(5—7)的解是唯一的。

證明：設(shè)Vn是差分格式(5—7)的另外一個解，令，類似于定理4的證明可得：‖‖∞=0，從而有Vn=Un。證畢。

[1] ZUO J M.Soliton solutions of a general Rosenau-Kawahara-RLW equation[J].Bmc Plant Biology,2015,7(2):1-19.

[2] HE D,PAN K.A linearly implicit conservative difference scheme for the generalized Rosenau-Kawahara-RLW equation[J].Applied Mathematics & Computation,2015,271(C):323-336.

[3] SANK K C,AMIYA K P.Numerical methods for the rosenau equation[J].Applicable Analysis,2001,77(3-4):351-369.

[4] FENG B,MIN X C,YU Y Y,et al.A new three level conservative finite difference scheme for the Rosenau equation[J].Sichuan Daxue Xuebao,2011,48(1):7-12.

[5] WAZWAZ A M.New solitary wave solutions to the modified Kawahara equation[J].Physics Letters A,2007, 360(4-5):588-592.

[6] POLAT N,KAYA D,TUTALAR H I.A analytic and numerical solution to a modified Kawahara equation and a convergence analysis of the method[J].Applied Mathematics & Computation,2006,181(179):466-472.

[7] JIN L.Application of variational iteration method and homotopy perturbation method to the modified Kawahara equation[J].Mathematical & Computer Modelling,2009,49(3-4):573-578.

[8] ZHANG L.A finite difference scheme for generalized regularized long-wave equation ☆[J].Applied Mathematics & Computation,2005,168(168):962-972.

[9] 王廷春,張魯明.求解廣義正則長波方程的守恒差分格式[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2006,29(6):1091-1098.

[10] ZHOU Y.Application of discrete functional analysis to the finite difference method[J].Fourier,1990,8(1):49-65.

[11] BROWDER F E.Existence and uniqueness theorems for solutions of nonlinear boundary value problems[J].Proc.Sympos.Appl.Math,1965:24-49.

Conservative Difference Scheme for Solving General Rosenau-Kawahara-RLW Equation

ZHUORu,HUANGJinrong,HUJinsong*

(School of Science, Xihua University, Chengdu 610039, China)

In this paper, the numerical solution of initial-boundary value problem for generalized Rosenau-Kawahara-RLW equation with non-homogeneous boundary is considered. A nonlinear two-level difference scheme is designed. The difference schemes can well simulate one conservative quantities of the problem. The priori existence and uniqueness of the finite difference solution are also obtained. It is proved that the finite difference scheme is convergent with second order and unconditional stable by discrete functional analysis method.

general Rosenau-Kawahara-RLW equation; finite difference scheme; convergence; stability

10.13542/j.cnki.51-1747/tn.2016.04.018

2016-09-20

四川省教育廳基金項目“兩類波動方程的守恒型數(shù)值算法研究”(16ZA0167)；西華大學(xué)重點(diǎn)基金項目“某些非線性波動方程的高精度數(shù)值方法研究”(Z1513324)

卓茹(1991— )，女(漢族)，四川仁壽人，在讀碩士研究生，研究方向：微分方程數(shù)值解。 胡勁松(1973— )，男(漢族)，四川射洪人，教授，博士，研究方向：微分方程數(shù)值解，通信作者郵箱：hjs888hjs@163.com。

O241.82

A

2095-5383(2016)04-0072-03