一類變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Chebyshev小波數(shù)值法

許 燕，張 敏，韓永杰，黃澤霞

(1.四川科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，成都 611745；2.西華大學(xué) 理學(xué)院，成都 610039)

一類變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Chebyshev小波數(shù)值法

許 燕1，張 敏1，韓永杰2*，黃澤霞2

(1.四川科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，成都 611745；2.西華大學(xué) 理學(xué)院，成都 610039)

運(yùn)用第二類Chebyshev小波函數(shù)擬合的方法，求解一類變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。通過推導(dǎo)得出第二類Chebyshev小波的變階微分算子矩陣，進(jìn)而利用算子矩陣將方程轉(zhuǎn)化為一組線性方程組，再利用最小二乘的方法求得方程組的解，進(jìn)而得到原方程的數(shù)值解。并給出數(shù)值算例驗(yàn)證了本方法的有效性。

變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程；第二類Chebyshev小波；算子矩陣；數(shù)值解

1 引言及預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階微積分在自然科學(xué)和工程問題的應(yīng)用中一直以來(lái)備受關(guān)注，它的一個(gè)最大的優(yōu)勢(shì)在于其描述各種物理過程時(shí)具有歷史的記憶性和繼承性。近幾年大量文獻(xiàn)里提出很多分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值解法，Samko等[1]推廣了Riemann-Liouvile和Marchaud分?jǐn)?shù)階微積分到變階情況，同時(shí)推導(dǎo)出一些相應(yīng)性質(zhì)和轉(zhuǎn)化公式。Hartley和Lorenzo等[2]提出了變階算子不但可以是與微積分無(wú)關(guān)的變量(t)的函數(shù)，而且可以還是其他(如空間)變量(y)的函數(shù)。Coimbra[3]以Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換作為基礎(chǔ)，提出了一個(gè)新的變階微分算子的定義；Pedro等[4]利用變階模型研究了懸掛在一粘性液體中的粒子在受到阻力時(shí)的運(yùn)動(dòng)。Sum等[5]根據(jù)產(chǎn)生變階數(shù)的可能的物理背景引入了一類變分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散模型。在很多文獻(xiàn)中出現(xiàn)的各種變階算子定義中，主要有Caputo變階算子，Marchaud變階算子，Coimbra變階算子[2-4]等。但從數(shù)值角度看，Coimbra定義的變階算子更為有效。因此，本文采用Coimbra定義[6]的變階算子。由于變階算子中含有一個(gè)變階的指數(shù)部分，對(duì)求解變分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解帶來(lái)了很大的困難。因此，很多研究者置身于研究其數(shù)值解。Fiu等[7]提出了帶非線性源項(xiàng)的變分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的顯式和隱式歐拉方法，并證明了這兩種方法數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性。在文獻(xiàn)[8]中提到對(duì)變分?jǐn)?shù)階微分給出了變階反常次擴(kuò)散方程的2種高精度數(shù)值格式。目前，對(duì)于變分?jǐn)?shù)階微分方程的求解現(xiàn)在很多文獻(xiàn)中都只是給出了解析解的差分格式[9-11]。沈淑君[11]首先利用分段線性插值離散時(shí)間變分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)利用中心差分離散空間二階導(dǎo)數(shù)，然后采用Richardson外推法改進(jìn)精度求解Coimbra定義的變時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解，此類方程為：

(1)

其中：0

定義1 Coimbra定義的變時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

(2)

其中：0

(3)

Caputo變階微分算子有如下性質(zhì)：

1)線性性質(zhì)

(4)

(5)

為方便描述本文用到的第二類Chebyshev小波定義，首先給出如下的示性函數(shù)的定義：

定義2 示性函數(shù)I{A}(x)是定義在實(shí)數(shù)上的一元分段函數(shù)

其中：B是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)集合，在不致引起混淆的情況下也將其記為I{x∈B}或I{B}。

本文為了推導(dǎo)的簡(jiǎn)便將采用如下形式的選擇函數(shù)：

(6)

其中：x∈R,k,n=1,2,…。

定義3 設(shè)t∈[0,1],k,M為正整數(shù)，則式(7)為第二類Chebyshev小波基函數(shù)。

Ψnm(t)=Ψ(k,n,m,t)=

(7)

Um(t)是在區(qū)間[0,1]上的m階第二類Chebyshev多項(xiàng)式。

2 主要定理及數(shù)值算法

若定義在區(qū)間[0,1]的函數(shù)f(t)是平方可積的，那么f(t)可以用第二類Chebyshev小波展開

(8)

其中：

(9)

截取等式(8)有限項(xiàng)：

(10)

這里

C=[c10,c11,…c1M-1,c20,c21,…,c2M-1,…,c2k-10,…,c2k-1M-1,]T

Ψ(t)=[Ψ10,Ψ11,…Ψ1M-1,Ψ20,…,Ψ2M-1,…,Ψ2k-10,…,Ψ2k-1M-1]

下面給出本文的2個(gè)定理。

定理1 第二類Chebyshev小波變階微分算子矩陣是

證明 首先定義矩陣-向量變換，

ak=(ak1,ak2,…,akn),k=1,2,…,m即

T=(1,t,…,tMt-1)T，對(duì)Vxt進(jìn)行微分得

(11)

其中：Dx,Dq分別是Vxt的微分算子矩陣和變分?jǐn)?shù)階微分算子矩陣。

由分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)得：

(12)

由式(5)可以得到

(13)

j=1,2,…,Mt-1；EMx是Mx階的單位矩陣；0表示零矩陣。

定義二維小波向量VΨ=，其中Ψx=(ψnm(x))Nx×Mx，Ψt=(ψnm(t))Nt×Mt，Nx=2kx-1,Nt=2kt-1，那么第二類Chebyshev小波矩陣為IU，其中：U是MN行M列的矩陣(M=MxMt，N=NxN)，U中的每行元素是二維小波向量Vψ中對(duì)應(yīng)行的以為基的系數(shù)；I是MN階對(duì)角方陣，其對(duì)角線上元素是小波向量Vψ中對(duì)應(yīng)行的小波的選擇函數(shù)。

(14)

證畢。

定理2 函數(shù)f:[0,1]→是m階連續(xù)可導(dǎo)，且f∈Cm[0,1]，若是f(t)的最佳逼近，則有誤差邊界

(15)

兩邊同時(shí)開平方

(16)

則定理得證。

從(15)式可以得出當(dāng)k→∞時(shí)，

(17)

選取合適數(shù)量的N個(gè)節(jié)點(diǎn)pij=(xi,tj)∈Ω，這里需要注意所選節(jié)點(diǎn)要避開選擇函數(shù)的端點(diǎn)，將其代入上面的方程得到關(guān)于C=(cij)Mt×Mx的方程組，

(18)

例如考慮如下方程

(19)

f(x,t)=20x2(1-x)·

20(t+1)2(1-3x)

此方程的準(zhǔn)確解為u(x,t)=10x2(1-x)(1+t)2。

用Mathematica9.0解得的數(shù)值解和精確解的絕對(duì)誤差如圖1和圖2所示。

圖1 kx=2,kt=1,Mx=4,Mt=4的絕對(duì)誤差

圖2 kx=1,kt=3,Mx=4,Mt=3的絕對(duì)誤差

46．7415．58-15．58-7．795．181．73-1．73-0．860．140．05-0．05-0．0269．7523．25-23．25-11．626．332．11-2．11-1．050．140．05-0．05-0．0297．3632．45-32．45-16．237．482．49-2．49-1．250．140．05-0．05-0．02129．5743．19-43．19-21．608．632．88-2．88-1．440．140．05-0．05-0．02?è??????????????÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

65．212．12-1．7604．51514．641．6205．0201．620．130-2．51-0．81-0．060155．5050．444．210-35．12-11．390．950-25．08-8．13-0．680-2．51-0．81-6．800?è??????????÷÷÷÷÷÷÷÷

由以上算例可以看出，用此方法求解得的數(shù)值解和精確解的誤差達(dá)到了10-4，證明了該算法的有效性。

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用Chebyshev小波求解一類變時(shí)間分?jǐn)?shù)階的擴(kuò)散方程的數(shù)值解。充分運(yùn)用變分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)推導(dǎo)出了Chebyshev小波的變階算子矩陣，進(jìn)一步給出了數(shù)值算法。從數(shù)值算例可以看到，用這種方法求此類變階擴(kuò)散方程的數(shù)值解時(shí)，隨著所選取的離散點(diǎn)數(shù)的增多，其精確度就越高。

[1] SAMKO S G.Fractional integration and differentiation of variable order[J].Analysis Mathematica,2005,21(3):213-236.

[2] LORENZO C F,HARTLEY T T.Variable order and distributed order fractional operators[J].Nonlinear Dynamics,2002,29(1-4): 57-98.

[3] COIMBRA C F M.Mechanics with variable-order differential operators[J].Ann Phys,2003,12(11-12):692-703.

[4] PEDRO H T C,KOBAYASHI M H,PEREIRA J M C,et al.Variable order modeling of diffusive-convective effects on the oscillatory flow past a sphere[J]. Journal of Vibration and Control,2008,14(9-10):1659-1672.

[5] SUN H G, CHEN W, CHEN Y Q.Variable-order fractional differential operators in anomalous diffusion modeling[J].Physica A,2009,388(21):4586-4592.

[6] LIN R,LIU F,ANH V,et al.Stability and convergence of a new explicit finite-difference approximation for the variable-order nonlinear fractional diffusion equation[J].Appl Math Comput,2009,212(2):435-445.

[7] FIU F,YANG C,BURRAGE K.Numerical method and analytical technique of the modified anomalous subdiffusion equation with a nonlinear source term[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,231(1):160-176.

[8] CHEN C M,LIU F,ANH V,et al.Numerical schemes with high spatial accuracy for a variable-order anomalous subdiffusion equation[J].SIAM J Sci Comput,2010,32(4):1740-1760.

[9] CHEN C M,LIU F,ANH V,et al.Numerical methods and multivariate extrapolation of a two-dimensional anomalous subdiffusion equation[J].Numerical Algorithms,2010,54(1):1-21.

[10] DIAZ G,COIMBRA C F M.Nonlinear dynamics and control of a variable order oscillator with application to the van der Pol equation[J].Nolinear Dyn,2009,56 (1-2):145-157.

[11] 沈淑君.變時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值模擬[J].莆田學(xué)院學(xué)報(bào),2011,18(5):5-9.

[12] 于強(qiáng),劉發(fā)旺.時(shí)間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程的隱式差分近似[J],廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,45(3):315-319.

[13] DOHA E H,BHRAWY A H,EZZ-ElDIEN S S.A chebyshev spectral method based on operational matrix for initial and boundary value problems of fractional order[J].Comput Math Appl,2011,62(5):2364-2373.

[14] WANG Y X,FAN Q B.The second kind Chebyshev wavelet method for solving fractional differential equations[J].Appl Math Comput,2012,218(17):8592-8601.

Numerical Solution of the Variable Order Time Fractional Diffusion Equation Using Chebyshev Wavelets

XUYan1,ZHANGMin1,HANYongjie2*,HUANGZexia2

(1.Basic Department,University for Science&Technology Sichuan, Chengdu 611745, China；2.College of Science,Xihua University，Chengdu 610039,China)

This paper presents an estimation method to calculate the variable order time fractional diffusion equation using the second kind Chebyshev wavelets function. The proposed operational matrixes of the second kind Chebyshev wavelet (SCW) is utilized to transform the fractional equation to a set of linear equations. Method of least square is used to solve the set of linear equations. The accuracy and performance of the method is demonstrated by numerical examples.

variable order time fractional diffusion equation; second kind Chebyshev wavelet; operational matrix; numerical solution

10.13542/j.cnki.51-1747/tn.2016.04.017

2016-05-21

國(guó)家自然科學(xué)基金“概率和平均框架下一系列Sobolev空間中的函數(shù)逼近與恢復(fù)”(15233593)；四川省教育廳基金“借助局部化采樣方法研究頻譜有限寬平穩(wěn)過程”(15233448)

許燕(1987— )，女(漢族)，河南商丘人，助教，碩士，研究方向：函數(shù)逼近論。 韓永杰(1986— )，男(漢族)，四川成都人，講師，博士，研究方向：函數(shù)逼近論，通信作者郵箱：xuyan345@163.com。

O241.8

A

2095-5383(2016)04-0001-04