概率論中關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量乘積的探究

王蓉華，徐曉嶺，顧蓓青，雷平

(1．上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234；2．上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 商務(wù)信息學(xué)院，上海 201620)

概率論中關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量乘積的探究

王蓉華1，徐曉嶺2，顧蓓青2，雷平2

(1．上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234；2．上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 商務(wù)信息學(xué)院，上海 201620)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；分布函數(shù)；密度函數(shù)；隨機(jī)變量的乘積

1 引言

2 兩個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量乘積的分布

所以X1+X2,X1-X2相互獨立，進(jìn)而有Y1,Y2相互獨立。

又

對y≤0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(Y1-Y2≤2y)

對y>0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(Y1-Y2≤2y)

(方法二)對y≤0，

FY(y)=P(Y≤y)=P(X1X2≤y)

對y>0，F(xiàn)Y(y)=P(Y≤y)=P(X1X2≤y)=P(X1X2≤0)+P(0

下面驗證方法一與方法二的結(jié)果是一樣的，即要驗證如下等式成立：

3 容量為2的兩個獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體樣本乘積的分布

定理2：設(shè)總體X～N(0,1),Y～N(0,1)，且相互獨立，而X1,X2和Y1,Y2是分別來自總體X,Y的容量為2的一個簡單隨機(jī)樣本。記Z=X1Y1+X2Y2，則Z的密度函數(shù)為：

證明：注意到

即矩陣A是正交陣，也即上述線性變換為正交變換。

則

又

進(jìn)而得Z的密度函數(shù)為：

則

又Y1,Y2,X1,X2的聯(lián)合密度函數(shù)為：fY1,Y2,X1,X2(y1,y2,x1,x2)=φ(y1)φ(y2)φ(x1)φ(x2)

則Y1,Y2,X1,Z的聯(lián)合密度函數(shù)為：

(方法二)對-∞

4 容量為n的兩個獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體樣本乘積的分布

證明：注意到

又

(Z11,Z12,Z21,Z22,…,Zn1,Zn2)′=A(X1,Y1,X2,Y2,…,Xn,Yn)′

又

而

特別地，當(dāng)n=2時，

對-∞

即Z～N(0,1)

一般地，對n≥2，作如下變換：

又Y1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn的聯(lián)合密度函數(shù)為：

則Y1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn-1,Z的聯(lián)合密度函數(shù)為：

fY1,Y2,…,Yn,X1,X2,…,Xn-1,Z(y1,y2,…,yn,x1,x2,…,xn-1,z)

注意到

則

如此進(jìn)行下去，則有：

于是

由此得：Z～N(0,1)

[1] 張堯庭，方開泰．多元統(tǒng)計分析引論[M]．北京：科學(xué)出版社，1997：65-118．

[2] 方開泰．實用多元統(tǒng)計分析[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，1986：67-104．

[3] 于秀林，任雪松．多元統(tǒng)計分析[M]．北京：中國統(tǒng)計出版社，1999：9-28．

[責(zé)任編輯：崔海瑛]

The Study on Product of Standard Normal Random Variables in the Probability

WANG Rong-hua1, XU Xiao-ling2, GU Bei-qing2，LEI PING2

(1. Mathematics and Science College, Shanghai Normal University, Shanghai200234, China;2. Business Information Management School, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai201620, China)

standard normal distribution; distribution function; density function; product of random variables

王蓉華(1972-)，女，上海人，副教授，主要研究方向應(yīng)用統(tǒng)計。

上海師范大學(xué)骨干教師教學(xué)激勵計劃教研團(tuán)隊建設(shè)項目；2015年上海高校外國留學(xué)生英語授課示范課程建設(shè)(商務(wù)統(tǒng)計)項目(A1A-6122-15-002)。

O211.5

A

2095-0063(2016)06-0037-12

2016-06-07

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.06.010