基于抽象性的函數(shù)問題分類

王 康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西 汾陽032200)

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基于抽象性的函數(shù)問題分類

王 康

(呂梁學(xué)院汾陽師范分校，山西 汾陽032200)

通過對函數(shù)抽象性表征的分析，從人們認(rèn)識事物對象時思維方式的轉(zhuǎn)變過程這一角度，文章將函數(shù)問題進(jìn)行分類，以期找到有效解決函數(shù)抽象性問題的解決策略。

函數(shù)；抽象性；思維方式

高一學(xué)生學(xué)習(xí)的函數(shù)概念是第二次接觸了，是站在了一個新的高度，變換了一個認(rèn)識的角度，再次學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要體現(xiàn)在知識內(nèi)容的廣度上陡然增大，學(xué)習(xí)內(nèi)容的深度上越來越抽象。相比于初中學(xué)習(xí)的函數(shù)來說，高一學(xué)習(xí)的函數(shù)增添了許多新內(nèi)容，比如定義域、值域、對應(yīng)法則、函數(shù)性質(zhì)及符號化、形式化的表述等等，而這些新內(nèi)容是看不見、摸不著的，似乎感覺沒有什么實用性，充分體現(xiàn)出學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完整。

高一學(xué)生所面臨的抽象問題分為相對的抽象和絕對的抽象。相對的抽象主要來自于函數(shù)概念的抽象性表征，比如函數(shù)本質(zhì)屬性的認(rèn)識、函數(shù)基本性質(zhì)的理解等，屬于認(rèn)知層次的抽象；絕對的抽象是指對函數(shù)問題符號化、形式化表述的深刻認(rèn)識和沒有解析式的純抽象函數(shù)問題，主要體現(xiàn)在學(xué)生邏輯推理能力和思維的深刻性，屬于思維層次的抽象。文章從函數(shù)的各種抽象性表征出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實際，將函數(shù)問題進(jìn)行分類。

1 函數(shù)的抽象性表征

表征即信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式，從長期的教學(xué)實踐和前人的研究成果來看，對于學(xué)生來說，函數(shù)的抽象性表征主要表現(xiàn)在如下幾個方面：

1.1 符號化、形式化的抽象表征

數(shù)學(xué)符號是在數(shù)學(xué)抽象化的基礎(chǔ)之上由數(shù)學(xué)家們在研究工作中逐步引入的，而數(shù)學(xué)符號的逐步引入，又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形式化，只有形式化，才能揭示數(shù)學(xué)對象的基本結(jié)構(gòu)和基本特征，保證數(shù)學(xué)推理和演算的嚴(yán)密性，促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的繁榮與進(jìn)步[1]。但是，數(shù)學(xué)抽象符號的使用在提高運算、證明速度的同時，也增加了其本身承載的信息量，使得學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題中遇到了很多來自數(shù)學(xué)符號的困惑，致使一些學(xué)生感覺讀不懂題，無從下手。

數(shù)學(xué)抽象符號的正確認(rèn)識是進(jìn)一步形式化表述、書寫的前提,學(xué)生如果對其沒有正確的認(rèn)識，就不能從變量對應(yīng)的角度理解函數(shù)，當(dāng)其獨立解題時只能靠死記硬背，生搬硬套，而這種機械記憶、模仿重現(xiàn)的學(xué)習(xí)方法對人的大腦皮層刺激方法單一，很容易產(chǎn)生遺忘，到頭來還是不會做題.從而直接導(dǎo)致很多方法(待定系數(shù)法、換元法、賦值法、配湊法等)是一知半解，不能領(lǐng)會到方法的本質(zhì)，普遍出現(xiàn)“聽而不懂”、“懂卻不會”、“會卻做不對習(xí)題”的怪現(xiàn)象。

1.2 圖像與性質(zhì)的抽象表征

函數(shù)圖像的幾何特征與習(xí)題中的數(shù)量特征緊密結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題的根本之所在，圖像的抽象表征是一種站在方法論的角度處理函數(shù)抽象性問題的有力工具。然而，學(xué)生在實際解題時常常表現(xiàn)出來的是，畫不出圖與讀不懂圖。

函數(shù)的基本性質(zhì)是刻畫函數(shù)圖形特征的，是較函數(shù)概念更高層次的抽象，因為其中夾雜了自變量之間、函數(shù)值之間的關(guān)系比較，具體的抽象表征體現(xiàn)在：第一，概念敘述抽象，其中加入了簡易邏輯中的全稱量詞“任意”二字，在實際教學(xué)中，初學(xué)的同學(xué)經(jīng)常會把“任意”二字特殊化；第二，性質(zhì)的應(yīng)用，在綜合性的題目當(dāng)中，函數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)揮了極其重要的樞紐式的作用，所以要理解函數(shù)性質(zhì)抽象表征背后的實質(zhì)，如單調(diào)性是為了刻畫函數(shù)變量間的不等關(guān)系，奇偶性是為了刻畫函數(shù)圖形的對稱特征。

1.3 函數(shù)屬性的抽象表征

2 基于抽象性的函數(shù)問題分類

抽象和具體是人們認(rèn)識客觀對象的完整的思維方式，人們認(rèn)識事物對象時，首先是通過感覺、知覺所把握的各種感性規(guī)定性的綜合，反映的是具體的事物對象，我們把它稱之為感性具體。在這一基礎(chǔ)上，人們使用分析的方法，從眾多具體事物對象中舍棄個別的、非本質(zhì)的東西，抽象出共同的本質(zhì)屬性，這樣，人們的認(rèn)識就從感性具體發(fā)展成理性抽象，更進(jìn)一步，弄清抽象對象各部分間的內(nèi)在聯(lián)系，每一個規(guī)定占什么地位，起什么作用，把各種抽象的規(guī)定進(jìn)行更深刻的思維加工，再從總體上把握某一具體事物對象，使人們對具體事物對象的認(rèn)識又由理性的抽象上升到理性的具體或者思維的具體。正是借助于抽象和具體的方法，人們對客觀事物的認(rèn)識不斷的有現(xiàn)象向本質(zhì)深入、由片面向全面發(fā)展，我們把人們認(rèn)識客觀對象的一般思維方式用圖示表示如下：

縱觀初高中函數(shù)部分的學(xué)習(xí)，課本的編排也是符合以上人們認(rèn)識客觀事物對象的思維方式的：首先初中課本通過具體反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，反映函數(shù)“變量說”，即為感性具體；其次高中課本由3個實例導(dǎo)入，抽象出函數(shù)共同的本質(zhì)屬性，函數(shù)“對應(yīng)說”由此產(chǎn)生，進(jìn)而從一般角度抽象出函數(shù)的基本性質(zhì)，即為理性抽象；最后把各種抽象的規(guī)定通過更深層次的加工來把握具體的基本初等函數(shù)，即為理性具體。因此，我們的教學(xué)也應(yīng)該遵循這一思維認(rèn)知過程。

感性具體和理性具體是思維發(fā)展過程中的兩個不同階段，但他們有著本質(zhì)的不同：感性的具體是零散的，是“知其然，不知其所以然”；理性的具體則是把事物各個抽象的規(guī)定綜合為一個相互聯(lián)系、相互制約的整體，是對事物完整的的認(rèn)識[2]。

抽象是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的主要特點，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》中強調(diào)，在具體教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，概括事物本質(zhì)屬性而獲得函數(shù)概念，在運用中形成知識網(wǎng)絡(luò)[3]下面圍繞思維方式上抽象與具體之間的轉(zhuǎn)化，我們將函數(shù)抽象性問題分為如下幾類：

2.1 具體——抽象——具體

有些函數(shù)問題已知條件明確具體，若用常規(guī)辦法處理會導(dǎo)致非常繁瑣，若能結(jié)合條件把問題抽象，上升到一般角度，考慮函數(shù)抽象性的性質(zhì)表征，再從性質(zhì)出發(fā)解決具體函數(shù)問題，往往能收到意想不到的效果，我們稱這個過程為具體函數(shù)抽象化。

分析： 此題可直接代入計算，但運算量巨大易錯，注意到所求中自變量互為相反數(shù)，我們可以研究此具體函數(shù)的定義域及奇偶性，得到?x∈(-1,1)，都有f(-x)=-f(x)，即f(x)+f(-x)=0，從而得解。

2.2 抽象——具體——抽象

與上一類問題相對的是，題中條件均抽象不具體時，倘若能把抽象函數(shù)具體化、圖形化，通過自然語言表述加工轉(zhuǎn)化，可能會收到意想不到的結(jié)果，打開解題思路，我們稱這個過程為抽象函數(shù)具體化，通常采用的方法有：變量賦值具體化、函數(shù)圖形具體化、函數(shù)解析式具體化。

例2 已知函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且當(dāng)x>1時f(x)>0，f(x)=1，求證：f(x)是偶函數(shù)

分析：深入分析f(x1x2)可知，只需證f(-x)=f(-1)+f(x)即可，所以重點思考f(-1)=0，即證f(1)=0，此時結(jié)合條件將x1,x2均具體化為1，即找到解題思路。也可結(jié)合f(x1x2)=f(x1)+f(x2)將函數(shù)解析式具體化為f(x)=log2|x|分析。

通過抽象函數(shù)具體化只是為了找到題目解決的切入點、突破口，即通過具體函數(shù)的解析式、圖像來推測抽象函數(shù)的性質(zhì)，同時也要注意不能完全代替應(yīng)用，要把握分寸，防止以偏概全的解決問題。

2.3 純抽象性問題

解決純抽象性函數(shù)問題要求學(xué)生有較完備的知識結(jié)構(gòu)，有一定的解題經(jīng)驗，充分利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化劃歸等數(shù)學(xué)思想，是對學(xué)生綜合素質(zhì)的鍛煉與提高。除此之外，還要求學(xué)生能從眾多條件中把握此函數(shù)最本質(zhì)性質(zhì)，并深入分析應(yīng)用，重視知識點的交匯處，善于利用函數(shù)圖像的抽象表征。

例3 設(shè)f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)=f(3)=0.(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2005,2005]上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

分析：從條件中不難得到函數(shù)的周期、對稱軸、零點等信息，若學(xué)生能據(jù)此簡單勾畫出函數(shù)草圖便可得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，明確解題方向：欲證非奇非偶只需利用周期性找一特殊位置說明函數(shù)沒有對稱性即可，如(-3,f(-3))與(3,f(x))；同樣，零點個數(shù)問題，也是結(jié)合草圖利用周期性證明函數(shù)在[4,7]和[7,10]上無零點，在[0,10]上只有1和3兩個零點。

以上是從函數(shù)解題時思維發(fā)生發(fā)展的角度，對函數(shù)問題進(jìn)行分類，探尋在解題中如何將抽象化與具體化相結(jié)合來降低函數(shù)抽象性帶給學(xué)生的認(rèn)知障礙，以期尋找克服函數(shù)因其抽象性而難教難學(xué)的有效解決策略[4]。

[1]鄭正亞·數(shù)學(xué)抽象概念教學(xué)隨筆[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報, 1999(1):75-78.

[2]史寧中·數(shù)學(xué)的抽象[J].東北師大學(xué)報哲學(xué)社會科學(xué)版, 2008(5):169-169.

[3]中華人民共和國教育部·普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[4]王康·高一數(shù)學(xué)函數(shù)抽象性教學(xué)研究[M].山西:山西師范大學(xué),2014.

(責(zé)任編輯：王德紅)

Analysis of the Function Categorization form the Perspective of Abstractness

Wang Kang

(Lvliang College Fenyang Teachers’ School Branch,Fenyang 032200,Shanxi,China)

Analysing the abstract characteristics of the function from the perspective of variation of thinking modes towards the concrete objects, the paper focuses on the categorization of the function so as to find the best strategy to tackle the issue of abstractness of the function.

function，abstract，thinking modes

2016-09-10

王康(1982～)，男，呂梁學(xué)院汾陽師范分校講師，碩士。研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

G634.6

A

1673-9507(2016)06-0115-03