梯形明渠邊界平均剪切應(yīng)力計(jì)算方法

曹京京，申紅彬

(1. 黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004；2. 北京市水科學(xué)技術(shù)研究院，北京 100048； 3. 北京師范大學(xué) 水科學(xué)研究院，北京 100875)

梯形明渠邊界平均剪切應(yīng)力計(jì)算方法

曹京京1，申紅彬2, 3

(1. 黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 開封 475004；2. 北京市水科學(xué)技術(shù)研究院，北京 100048； 3. 北京師范大學(xué) 水科學(xué)研究院，北京 100875)

梯形斷面是渠道設(shè)計(jì)中廣泛采用的一種斷面形式，邊界剪切應(yīng)力分布規(guī)律是研究水流結(jié)構(gòu)及阻力特性的重要因素。經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)，建立了梯形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值隨過(guò)水?dāng)嗝鎸捝畋鹊挠?jì)算表達(dá)式，并與多家試驗(yàn)資料進(jìn)行了比較，結(jié)果表明兩者變化趨勢(shì)基本一致。針對(duì)梯形明渠不同邊坡角下的水力最優(yōu)斷面，分析了其床面、邊壁平均剪切應(yīng)力的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著邊坡角的減小，床面平均剪切應(yīng)力相對(duì)值變化不大，而邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。

梯形明渠；床面平均剪切應(yīng)力；邊壁平均剪切應(yīng)力；過(guò)水?dāng)嗝鎸捝畋?；水力最?yōu)斷面

1 研究背景

明渠水流與二維水流(如圓管流、平板流等)在許多方面存在著本質(zhì)的差別，主要表現(xiàn)在隨著斷面寬深比的減小及邊壁影響程度的不斷增大，水流呈現(xiàn)出三維流動(dòng)的特性。明渠剪切應(yīng)力沿邊界的分布規(guī)律是研究水流結(jié)構(gòu)及阻力特性的重要因素，對(duì)水流中的泥沙運(yùn)動(dòng)、污染物輸移規(guī)律等具有重要的影響，是渠道工程設(shè)計(jì)及理論研究的基本問(wèn)題之一。

根據(jù)Rajaratnam等[1]、Ghosh等[2]、Knight等[3]、胡春宏等[4]的一系列水槽試驗(yàn)結(jié)果表明，明渠過(guò)水?dāng)嗝嫘问绞菦Q定邊界剪切應(yīng)力分布的主要影響因素，與弗汝德數(shù)Fr無(wú)關(guān)。其中，矩形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力的相對(duì)值僅與斷面寬深比有關(guān)，這實(shí)質(zhì)上反映出床面與邊壁的不同影響。對(duì)于明渠床面與邊壁影響區(qū)的劃分，不同的學(xué)者提出了不同的方法。Keulegan[5]提出采用明渠2個(gè)底角的角平分線劃分過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)。Einstein[6]采用水力半徑分割法將明渠過(guò)水?dāng)嗝鎰澐譃榇裁嬗绊憛^(qū)和邊壁影響區(qū)，各區(qū)域內(nèi)水體分別與對(duì)應(yīng)邊界上的剪切力相平衡。楊樹清[7]認(rèn)為明渠床面與邊壁影響區(qū)的分割線是由通過(guò)床面與邊壁交點(diǎn)的一系列到床面與邊壁相對(duì)水力距離相等的點(diǎn)所組成，并推導(dǎo)得出了矩形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力的計(jì)算表達(dá)式。胡旭躍等[8]在楊樹清[7]分割法的基礎(chǔ)上，通過(guò)與試驗(yàn)資料適配進(jìn)行了改進(jìn)。Guo等[9]通過(guò)對(duì)明渠均勻流微分連續(xù)方程與動(dòng)量方程聯(lián)合近似求解，推導(dǎo)得到了矩形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力計(jì)算的近似解。申紅彬等[10]從明渠水流過(guò)水?dāng)嗝嫠w微團(tuán)能量二維輸送權(quán)重角度出發(fā)，推導(dǎo)得到了矩形光滑或均勻粗糙明渠床面與邊壁影響區(qū)分割線的二次近似表達(dá)式，并通過(guò)積分運(yùn)算得到床面與邊壁平均剪切應(yīng)力的計(jì)算表達(dá)式。

概括對(duì)以往明渠床面與邊壁影響區(qū)的分割方法特點(diǎn)： ① Keulegan、楊樹清的分割線以及胡旭躍等的改進(jìn)線型均為直線，形式過(guò)于簡(jiǎn)單，理論假定的合理性也有待商榷；② Einstein方法只是模糊而籠統(tǒng)地給出了虛擬的分割面積；③ Guo等基于簡(jiǎn)化方程及坐標(biāo)變換雖然具有一定的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)及物理意義，但得到的分割曲線形式較為復(fù)雜，難以在工程實(shí)際中推廣應(yīng)用；④ 申紅彬等的分割曲線形式介于簡(jiǎn)單與復(fù)雜之間，具有一定的物理基礎(chǔ)，剪切應(yīng)力計(jì)算結(jié)果也與實(shí)測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為相符。

明渠過(guò)水?dāng)嗝娴男问桨ň匦?、梯形與復(fù)式斷面。其中，梯形是渠道設(shè)計(jì)中廣泛采用的一種斷面形式。以往研究對(duì)象多為矩形光滑或均勻粗糙明渠，斷面形式略顯單一。筆者在上述研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究梯形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力的計(jì)算方法與變化規(guī)律。

2 梯形明渠床面與邊壁影響區(qū)的劃分

對(duì)于梯形明渠，以最大流速點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，垂直床面方向?yàn)閥軸，平行床面方向?yàn)閦軸，α為邊坡角，考慮到過(guò)水?dāng)嗝娴膶?duì)稱性，取一半建立yoz坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 梯形明渠過(guò)水?dāng)嗝孀鴺?biāo)系Fig.1 Coordinate system of trapezoidal open channel

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)分割線的微分方程為

(1)

式中τw，τb分別為左側(cè)及底部剪切應(yīng)力。

將微分方程(1)的解近似表示成二次多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)為

y≈az2+bz+c 。

(2)

式中a，b，c為系數(shù)。

明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)的分割曲線應(yīng)通過(guò)床面與邊壁的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)處，由于明渠過(guò)水?dāng)嗝嫜刂行妮Sy軸的左右對(duì)稱性，分割曲線的導(dǎo)數(shù)等于0。在床面和邊壁交點(diǎn)處，床面與邊壁的受力情況主要與其表面的粗糙程度有關(guān)，對(duì)于光滑或均勻粗糙明渠，有τb=τw。

在圖1中，進(jìn)一步以與床面平行方向?yàn)閦′ 軸，與邊壁平行方向?yàn)閥′ 軸，建立y′oz′坐標(biāo)系。yoz坐標(biāo)系與y′oz′坐標(biāo)系之間存在如下坐標(biāo)變換關(guān)系：

y=y′sinα ；

(3)

z =z′-y′cosα 。

(4)

對(duì)于光滑或均勻粗糙梯形明渠， 在y′oz′坐標(biāo)系下，在床面和邊壁交點(diǎn)處為

(5)

則在yoz坐標(biāo)系下，梯形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)分割線在床面和邊壁交點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中矩形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)分割線的求解方法，可以求出yoz坐標(biāo)系下梯形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁媾c邊壁影響區(qū)分割線的二次近似表達(dá)式如式(7)、式(8)。

(7)

(8)

式中：B1，H，α分別為梯形明渠底寬、水深、邊坡角。

3 梯形明渠過(guò)水?dāng)嗝孢吔缙骄羟袘?yīng)力計(jì)算表達(dá)式

根據(jù)式(7)、式(8)，通過(guò)積分運(yùn)算，可以分別得到梯形明渠床面及邊壁影響區(qū)域的面積與水力半徑，進(jìn)而可以求出床面及邊壁平均剪切應(yīng)力與邊界平均剪切應(yīng)力相對(duì)值的計(jì)算表達(dá)式，即：

(9)

(10)

根據(jù)Knight等[11-12]梯形均勻粗糙明渠床面、邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值實(shí)測(cè)資料，分別對(duì)梯形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁?、邊壁平均剪切?yīng)力相對(duì)值計(jì)算表達(dá)式(9)、式(10)進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖2所示。另外，圖3分別給出了當(dāng)邊坡角α=90°時(shí)，對(duì)應(yīng)矩形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁?、邊壁平均剪切?yīng)力相對(duì)值計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比情況。

圖2 梯形明渠床面、邊壁平均剪切應(yīng)力計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results of average shear stress of the sidewall and bed of trapezoidal open channel

圖3 矩形明渠床面、邊壁平均剪切應(yīng)力計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of average shear stress of the sidewall and bed of orthogonal open channel

從圖2、圖3可以看出，根據(jù)式(9)、式(10)計(jì)算得到的一般梯形與矩形明渠過(guò)水?dāng)嗝娲裁?、邊壁平均剪切?yīng)力與邊界平均剪切應(yīng)力相對(duì)值的變化規(guī)律與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)基本一致。因此，式(9)、式(10)的計(jì)算適用范圍更廣，可以用來(lái)計(jì)算不同邊坡角下梯形明渠的床面與邊壁平均剪切應(yīng)力。

4 梯形明渠水力最優(yōu)斷面邊界平均剪切應(yīng)力變化規(guī)律

在渠道設(shè)計(jì)中，底坡一般由地形條件所決定，糙率取決于渠壁材料，故渠道輸水能力只取決于過(guò)水?dāng)嗝娲笮『托螤睢?duì)于梯形明渠，水力最優(yōu)斷面寬深比的計(jì)算表達(dá)式為

(11)

式中βh為梯形明渠水力最優(yōu)斷面寬深比。

根據(jù)梯形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力的計(jì)算表達(dá)式(9)、式(10)，可以得到梯形明渠不同邊坡角下床面、邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值隨過(guò)水?dāng)嗝鎸捝畋鹊淖兓?guī)律，同時(shí)基于式(11)可以進(jìn)一步得到不同邊坡角下水力最優(yōu)斷面床面、邊壁平均剪切應(yīng)力的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 梯形明渠水力最優(yōu)斷面床面、邊壁平均剪切應(yīng)力變化情況Fig.4 Variations of average bed shear stress and average sidewall shear stress of the optimum section of trapezoidal channel

從圖4可以看出：①對(duì)于梯形明渠，隨著邊坡角的減小，床面平均剪切應(yīng)力所占比重逐漸增大，而邊壁平均剪切應(yīng)力所占比重逐漸減??；②梯形明渠不同邊坡角下水力最優(yōu)斷面均位于相對(duì)窄深斷面區(qū)域；③對(duì)于梯形明渠，隨著邊坡角的減小，床面平均剪切應(yīng)力相對(duì)值變化不大，基本在0.66左右，而邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。

5 結(jié) 論

(1) 經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)，建立了梯形明渠床面與邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值隨過(guò)水?dāng)嗝鎸捝畋鹊挠?jì)算表達(dá)式，并與多家試驗(yàn)資料進(jìn)行了比較。結(jié)果表明兩者變化趨勢(shì)基本相符，可以用來(lái)計(jì)算不同邊坡角下梯形明渠的床面與邊壁平均剪切應(yīng)力。

(2) 對(duì)于梯形明渠，隨著邊坡角的減小，床面平均剪切應(yīng)力所占比重逐漸增大，而邊壁平均剪切應(yīng)力所占比重逐漸減小。

(3) 梯形明渠不同邊坡角下水力最優(yōu)斷面均位于相對(duì)窄深斷面區(qū)域，而且隨著邊坡角的減小，床面平均剪切應(yīng)力相對(duì)值變化不大，而邊壁平均剪切應(yīng)力相對(duì)值呈現(xiàn)出減小的趨勢(shì)。

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(編輯：王 慰)

Method of Calculating Average Boundary Shear Stress inTrapezoidal Open Channels

CAO Jing-jing1, SHEN Hong-bin2,3

(1.Yellow River Conservancy Technical Institute, Kaifeng 475004, China; 2.Beijing Water Science and Technology Institute, Beijing 100048, China; 3. College of Water Sciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Trapezoidal section is widely used in the design of channels. The regularity of boundary shear stress distribution is an important factor in the research of flow structure and resistance.In this article, the expressions of the relative values of average bed and sidewall shear stress with width-depth ratio of flow section are derived through integration. Comparison between the present calculation method and Knight’s experimental data reveals relatively small error. The variation regularity of average bed and sidewall shear stresses of optimal hydraulic section in trapezoidal open channels with different side angels is analyzed. The result shows that the optimal hydraulic section in trapezoid open channel is narrow and deep, the average bed shear stress changes little while the average sidewall shear stress reduces with the decrease of side angel.

trapezoidal open channel; average bed shear stress; average sidewall shear stress; width-depth ratio of flow section; optimal hydraulic section

2015-05-17；

2015-09-11

曹京京(1981-), 女, 河南開封人, 講師, 主要從事水利工程設(shè)計(jì)、水工建筑材料檢測(cè)方面的教學(xué)與研究工作, (電話)13937862885(電子信箱)405376748@qq. com。

10.11988/ckyyb.20150416

2016,33(12):51-54

TV14

A

1001-5485(2016)12-0051-04