例析帶電粒子在不同形狀最小磁場區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動

◇ 寧夏 魏廷智 權(quán) 浩

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例析帶電粒子在不同形狀最小磁場區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動

◇ 寧夏 魏廷智 權(quán) 浩

近年來在高考試題中多次出現(xiàn)帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域的運(yùn)動時,求磁場的最小面積問題,這類問題對學(xué)生的平面幾何知識與物理知識的綜合運(yùn)用能力要求較高.其難點在于帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的軌跡不是完整的圓,其進(jìn)入邊界未知的磁場后一般只運(yùn)動一段圓弧后飛出磁場邊界,運(yùn)動過程中的臨界點(如運(yùn)動形式的轉(zhuǎn)折點、軌跡的切點、磁場的邊界點)難以確定.此類問題解決的關(guān)鍵是依據(jù)題意分析帶電粒子的運(yùn)動過程和運(yùn)動形式,抓住運(yùn)動過程中的臨界點,應(yīng)用幾何知識,找出運(yùn)動軌跡的圓心,確定半徑,畫出帶電粒子運(yùn)動的部分軌跡,再利用題目中規(guī)定形狀的最小磁場覆蓋粒子運(yùn)動軌跡,然后利用數(shù)學(xué)知識和相應(yīng)的物理規(guī)律分析解出所求磁場的最小面積.下面筆者以實例對此類問題進(jìn)行分析.

1 帶電粒子在圓形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動

圖1

例1如圖1,一帶電質(zhì)點質(zhì)量為m,電荷量為Q,以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域.為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出,可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xOy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi),試求這圓形磁場區(qū)域的最小面積.重力忽略不計.

圖2

解析質(zhì)點在磁場中做半徑為R的圓周運(yùn)動,則有QvB=mv2/R,解得R=mv/QB.根據(jù)題意,質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周,這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切.過a點作平行于x軸的直線,過b點作平行于y軸的直線,則與這2條直線均相距R的O′點就是圓的圓心.如圖2所示,質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌跡就是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓上的圓弧MN,M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上.

點評求解圓形磁場最小面積的關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點,圓心必在兩臨界點速度方向垂線的交點上,并且圓心到這2個臨界點的距離相等,同時還需要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運(yùn)動軌跡的弦長.

2 帶電粒子在矩形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動

圖3

(1) 電子經(jīng)過Q點的速度v;

(2) 該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁場的最小面積S.

解析(1) 電子從P點開始，在電場力作用下做類平拋運(yùn)動到Q點.

水平方向:L-L/4=3L/4=v0t.

(2) 如圖4所示,電子以與x軸負(fù)方向成30°進(jìn)進(jìn)入第四象限后,先沿QM做勻速直線運(yùn)動,然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動,恰好以沿y軸正方向的速度經(jīng)過O點.可知圓周運(yùn)動的圓心O′一定在x軸上,且O′點到O點的距離與到直線QM上M點(M點即為磁場的邊界點)的垂直距離相等,找出O′點,畫出其運(yùn)動的部分軌跡為弧MNO,這樣磁場的右邊界和下邊界就確定了.

圖4

點評電子在第一象限內(nèi)運(yùn)動類似于平拋運(yùn)動,加速度a由電場力產(chǎn)生,水平方向為勻速直線運(yùn)動,豎直方向為初速度為0的勻加速直線運(yùn)動.電子在第四象限進(jìn)入磁場中的運(yùn)動,洛倫茲力提供向心力,圓心、半徑、臨界點的確定是關(guān)鍵,另外要注意數(shù)學(xué)知識在物理學(xué)中應(yīng)用.

3 帶電粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動

圖5

例3如圖5,一質(zhì)量為m、帶電荷量為+Q的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC.為了使該粒子能在AC邊上的N點(CM=CN)垂直于AC邊飛出三角形ABC,可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場.若此磁場也分布在一個正三角形的區(qū)域內(nèi),粒子的重力不計,求:

(1) 粒子在磁場中運(yùn)動的半徑和周期;

(2) 該粒子在磁場中運(yùn)動的時間t;

(3) 該正三角形磁場區(qū)域的最小邊長.

圖6

(2) 由題意可知,粒子剛進(jìn)入磁場時應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn),不可能直接在磁場中由M點做圓周運(yùn)動到達(dá)N點,當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時,其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑,如圖6所示,粒子的運(yùn)動軌跡為圓弧GDEF,圓心為O,G點為軌跡圓半徑與初速度方向的切點,在F點為軌跡圓半徑與出射方向的切點. 畫出三角形abc,與圓弧在D、E2點相切,并與圓交于F、G2點,此為符合題意的最小磁場區(qū)域. 由數(shù)學(xué)知識可知∠FOG=60°,所以粒子在磁場中運(yùn)動圓弧所對應(yīng)圓心角為300°,由于ω=θ/t=2π/T,所以該粒子在磁場中運(yùn)動的時間t=5T/6=5πm/3QB.

點評題中粒子運(yùn)動軌跡和磁場邊界臨界點的確定比較困難,須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長線相交后,根據(jù)運(yùn)動半徑已知的特點,再由幾何知識才能確定.另外,在計算最小邊長時一定要注意圓周運(yùn)動軌跡并不是三角形磁場的內(nèi)切圓.

4 帶電粒子在樹葉形磁場區(qū)域內(nèi)運(yùn)動

圖7

例4如圖7所示,ABCD是邊長為a的正方形. 質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域.在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場. 電子從BC邊上的任意點入射,都只能從A點射出磁場.不計重力,求:

(1) 此勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小;

(2) 此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積.

圖8

點評本題情景設(shè)計簡潔,但命題立意較高,難度大,涉及找角度、找圓心、找坐標(biāo)、三角函數(shù)的應(yīng)用、參數(shù)方程的建立,考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動、空間想象能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力.以電子從C點進(jìn)入為突破口,即可求解第(1)問,從其他位置進(jìn)入,也一定是勻速圓周運(yùn)動,并且半徑相同.

高考物理在考查知識的同時注重考查能力,并把對能力的考查放在首要位置.其中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力是高考考查的5種能力之一,要求能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析.帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動,是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的典型模塊,特別是求解磁場最小面積問題,能力要求較高,是近幾年高考命題的熱點之一.希望上述實例的分析解答對同學(xué)們的學(xué)習(xí)能起到潛移默化的效果.

寧夏六盤山高級中學(xué))