利用圓心到直線的距離解題例說(shuō)

◇ 湖北 陳克林

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利用圓心到直線的距離解題例說(shuō)

◇ 湖北 陳克林

直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的求解主要涉及2種方法:代數(shù)法和幾何法．代數(shù)法通過(guò)將直線方程與圓的方程聯(lián)立,代入消元后得關(guān)于x的一元二次方程,利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系尋找已知與未知的關(guān)聯(lián)．幾何法主要是利用圓心到直線的距離建立橋梁．本文主要從幾何角度尋求問(wèn)題的求解思路．

例1(2016年全國(guó)卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( ).

本題求解中直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距,結(jié)合已知距離建立含參數(shù)a的方程,解方程即可得出正確結(jié)果．下面對(duì)圓心到直線的距離在有關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用舉例分析．

1 與面積有關(guān)的問(wèn)題

例2過(guò)點(diǎn)(2,0)引直線l與圓x2+y2=2相交于A、B2點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最大時(shí),直線l的斜率為( ).

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,不符合題意．

故正確選項(xiàng)為C.

變式設(shè)直線l:mx+ny-1=0 (m、n∈R*)與x、y軸相交于A、B2點(diǎn),且l與圓x2+y2=19相交所得弦長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最小值．

解析由題設(shè)可知,直線l與2坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(0,1/n)、B(1/m,0)．

點(diǎn)評(píng)例2是求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓相交所得的2個(gè)交點(diǎn)與圓心構(gòu)成的三角形面積最值.變式中將過(guò)定點(diǎn)的條件改為直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為定值,利用平面幾何性質(zhì)構(gòu)造出面積關(guān)系式,進(jìn)而利用均值不等式求最值．

2 與相切有關(guān)的問(wèn)題

例3(2015年江蘇卷) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0 (m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

解析將方程mx-y-2m-1=0整理得y+1=m(x-2),即直線過(guò)定點(diǎn)D(2,-1).易知圓心C到直線mx-y-2m-1=0的距離小于等于|CD|,最大半徑

此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=2.

變式在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是________.

解析圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,所以圓C的圓心為(4,0),半徑為1．

由題意可知直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)A(x0,kx0-2),以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，所以存在x0∈R,使得|AC|≤1+1成立,即|AC|min≤2．

點(diǎn)評(píng)以上2例通過(guò)直線與圓相切、圓與圓相切,找到取得最值的位置,進(jìn)而順利求解．

3 與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題

圖1

C[-2,2];

解析如圖1所示,由向量加法的平行四邊形法則,知

變式(2014年重慶卷) 已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B2點(diǎn),且△ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=________.

點(diǎn)評(píng)上述例4及變式均是通過(guò)將題目條件中所給幾何關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化為弦心距離問(wèn)題,利用點(diǎn)到直線距離公式構(gòu)造出不等式或方程來(lái)解決問(wèn)題．

綜上,可以看出圓心到直線的距離在上述問(wèn)題的求解中起了重要的作用．深入挖掘題目的隱含條件,準(zhǔn)確利用即可順利解題．

湖北省咸寧市青龍山高中)