計(jì)及CO2排放機(jī)組組合問(wèn)題的加速?gòu)V義Benders分解法*

鄭海艷

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧　530004)

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計(jì)及CO2排放機(jī)組組合問(wèn)題的加速?gòu)V義Benders分解法*

鄭海艷

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004)

(College of Mathematics and Information Science,Guangxi University,Nanning,Guangxi,530004,China)

摘要：提出求解計(jì)及CO2排放機(jī)組組合(unit commitment,UC)問(wèn)題的一個(gè)加速?gòu)V義Benders分解法：首先建立相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)近似混合整數(shù)二次規(guī)劃模型；然后根據(jù)UC問(wèn)題特點(diǎn)提出一類簡(jiǎn)單卻非常有效的整數(shù)割平面，并基于該割平面以及其他一些加速技術(shù)構(gòu)造求解UC問(wèn)題相應(yīng)模型的加速?gòu)V義Benders分解法；最后將所提方法在10～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段等6個(gè)系統(tǒng)上進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。與其他方法相比較,本文所提方法測(cè)試結(jié)果較優(yōu),說(shuō)明所提方法是有效的，從而為有效求解相關(guān)UC問(wèn)題提供了一條新的途徑。

關(guān)鍵詞：機(jī)組組合混合整數(shù)二次規(guī)劃整數(shù)割平面加速?gòu)V義Benders分解

0　引言

【研究意義】機(jī)組組合(unit commitment,UC)是電力系統(tǒng)運(yùn)行調(diào)度一個(gè)非常重要的方面，同時(shí)也是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域。經(jīng)典的UC問(wèn)題是指在一個(gè)調(diào)度周期內(nèi)滿足系統(tǒng)預(yù)測(cè)負(fù)荷需求和旋轉(zhuǎn)備用等約束條件下，確定機(jī)組的啟停計(jì)劃和機(jī)組出力情況，從而使發(fā)電總費(fèi)用最小[1]。UC問(wèn)題在數(shù)學(xué)上常被描述成一個(gè)大規(guī)模的混合整數(shù)組合優(yōu)化問(wèn)題，含有大量表示機(jī)組啟停狀態(tài)的0-1變量和表示機(jī)組出力的連續(xù)變量。【前人研究進(jìn)展】迄今為止，幾乎所有用于求解混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的確定性方法[2-7]以及源于對(duì)一些生物和社會(huì)現(xiàn)象的模擬而產(chǎn)生的智能算法[8-9]都被嘗試用于求解UC問(wèn)題，但由于其可行解集的組合性質(zhì)，該問(wèn)題很難在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)有效求解。此外，近年來(lái)由于大量溫室氣體排放所導(dǎo)致的全球變暖已成為全世界共同關(guān)心的重點(diǎn)問(wèn)題，而電力工業(yè)是溫室氣體的排放大戶，占全球二氧化碳(CO2)總排放的40%，因此， 考慮計(jì)及CO2排放的UC問(wèn)題并進(jìn)行有效求解具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值[10-12]。【本研究切入點(diǎn)】分解法是求解大規(guī)模復(fù)雜問(wèn)題的一種常用技術(shù)，其基本思想是先將復(fù)雜問(wèn)題分解為相對(duì)容易求解的主問(wèn)題和子問(wèn)題，然后通過(guò)逐次交替迭代求解這兩個(gè)問(wèn)題來(lái)達(dá)到求解原復(fù)雜問(wèn)題的目的。這類方法主要包括Benders分解法[13-14]和外逼近法[15]，并且已被嘗試用于求解經(jīng)典的UC問(wèn)題[16-19]。然而當(dāng)前Benders分解法在求解各類復(fù)雜問(wèn)題時(shí)存在一個(gè)計(jì)算方面的瓶頸——由于其在每次迭代中僅加入一個(gè)相應(yīng)的Benders割平面，所以該方法計(jì)算效率較低?！緮M解決的關(guān)鍵問(wèn)題】本文提出能有效求解計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的一個(gè)加速?gòu)V義Benders分解法,并將其在10～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段等6個(gè)系統(tǒng)上進(jìn)行數(shù)值測(cè)試,同時(shí)將測(cè)試結(jié)果與其他方法的結(jié)果進(jìn)行比較。

1　計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的混合整數(shù)二次規(guī)劃模型

計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是讓發(fā)電機(jī)組的運(yùn)行成本Fc與排放成本Ec加權(quán)和求最小，即

minTc=wfFc+weEc,

(1)

式中wf,we為各成本所占權(quán)重系數(shù)，F(xiàn)c與Ec的具體表達(dá)式如下：

(2)

(3)

其中N為機(jī)組總數(shù)，i=1,2,…,N為機(jī)組標(biāo)號(hào)；T為時(shí)段總數(shù)，t=1,2,…,T為時(shí)段標(biāo)號(hào)；αi,βi,γi為機(jī)組i的發(fā)電費(fèi)用參數(shù)；Ci,t為機(jī)組啟動(dòng)費(fèi)用；πi為機(jī)組i的排放懲罰因子；ai,bi,ci為機(jī)組i的耗量特性參數(shù)。此外，ui,t為0-1整數(shù)變量，表示機(jī)組i在第t時(shí)段的狀態(tài)，值為1時(shí)表示機(jī)組i處于運(yùn)行狀態(tài)，值為0時(shí)表示機(jī)組i處于停機(jī)狀態(tài)；Pi,t為連續(xù)變量，表示機(jī)組i在第t時(shí)段的出力。

計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的約束條件如下：

(4)

(5)

③爬坡約束

(6)

(7)

⑤最小啟停時(shí)間約束

(8)

式中NDi是給定參數(shù)，系數(shù)Ki,τ則由下述分段函數(shù)表示：

其中Chot,i、Ccold,i分別為機(jī)組i的熱啟動(dòng)費(fèi)用與冷啟動(dòng)費(fèi)用；Tcold,i為機(jī)組i的冷啟動(dòng)時(shí)間。此外，對(duì)于時(shí)間耦合且離散的非線性最小啟停時(shí)間約束(8)，則利用文獻(xiàn)[20]中方法進(jìn)行線性化處理，具體表示如下：

式中Wi,t是新引進(jìn)的變量，其表示機(jī)組i在第t時(shí)段的啟動(dòng)狀態(tài)，其余參數(shù)定義如下：

基于以上分析，計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題可方便地描述為如下近似混合整數(shù)二次規(guī)劃(mixed integer quadratic programming,MIQP)模型：

s.t.Auu+APP+ASS+AWW≤auc,

u=(ui,t),P=(Pi,t),S=(Si,t),W=(Wi,t),

ui,t∈{0,1},Pi,t,Si,t≥0,Wi,t∈[0,1],

i=1,…,N,t=1,…,T,

(9)

式中u,P,S,W為相應(yīng)變量所組成的向量，Au,AP,AS,AW是相應(yīng)變量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣,auc則為右端常數(shù)向量。

2　計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的加速?gòu)V義Benders分解法

2.1廣義Benders分解法

廣義Benders分解法(generalized Benders decomposition method,GBDM)[14]可直接用于求解混合整數(shù)非線性規(guī)劃(mixed integer nonlinear programming,MINLP)問(wèn)題，下面結(jié)合UC問(wèn)題特點(diǎn)，以如下形式的MINLP問(wèn)題為例簡(jiǎn)單介紹GBDM：

mincTy+f(x)

s.t.h(x)=0,

By+Cx≤b,

Dy≤d,

x∈Rn,y∈{0,1}m,

(10)

其中f(x)是光滑的非線性函數(shù)，h(x)是非線性向量值函數(shù)，B,C,D是相應(yīng)系數(shù)矩陣，c,b,d是常數(shù)向量。對(duì)于當(dāng)前給定的整數(shù)變量值yk，GBDM形成如下非線性子問(wèn)題：

mincTyk+f(x)

s.t.h(x)=0,

Byk+Cx≤b。

(11)

如果子問(wèn)題(11)有解，并記其解為xk，且λk為對(duì)應(yīng)于不等式約束Byk+Cx≤b的乘子向量，則根據(jù)這些數(shù)據(jù)可得到下述最優(yōu)性Benders割平面：

cTy+f(xk)+(λk)T(Cxk+By-b)≤μ。

(12)

相反，若子問(wèn)題(11)無(wú)解，則求解下述可行性子問(wèn)題

minη

s.t.h(x)=0,

Byk+Cx-η≤b。

(13)

(14)

此外，GBDM中的主問(wèn)題形式如下：

minμ

Dy≤d

cTy+f(xk)+(λk)T(By+Cxk-b)≤μ,

μ∈R,y∈{0,1}m。

(15)

下面給出GBDM求解問(wèn)題(10)的基本步驟。

初始步取初始上界UB=∞，同時(shí)選取初始整數(shù)變量值yk，并令k∶=0。

步驟1形成并求解子問(wèn)題。

若子問(wèn)題(11)有最優(yōu)解，則可得到相應(yīng)最優(yōu)性Benders割平面，若進(jìn)一步還有

UB>cTyk+f(xk)，

則令UB=cTyk+f(xk),x*=xk,y*=yk；

若子問(wèn)題(11)無(wú)解，則求解可行性子問(wèn)題(13)，并得到可行性Benders割平面或者直接計(jì)算如下組合Benders割平面[21],

∑j∈Soneyj-∑j∈Szeroyj≤|Sone|-1,

(16)

步驟2求解主問(wèn)題。

將步驟1中所產(chǎn)生的割平面加入到上一次的主問(wèn)題(15)中，重新求解主問(wèn)題，并記yk+1為主問(wèn)題最優(yōu)解中對(duì)應(yīng)于整數(shù)變量的值，zmilp為相應(yīng)的最優(yōu)值。若zmilp≥UB，則算法終止，當(dāng)前(x*,y*)就是原MINLP問(wèn)題(10)的最優(yōu)解；否則，令k∶=k+1，返回步驟1。

2.2UC問(wèn)題的整數(shù)割平面

UC問(wèn)題整數(shù)割平面的導(dǎo)出是源于對(duì)其一種非常自然的理解，即先去找每個(gè)時(shí)段必須投入運(yùn)行機(jī)組數(shù)的有效下界，因此對(duì)于每個(gè)時(shí)段先求解如下線性規(guī)劃問(wèn)題：

minUt

Auu+APP+ASS+AWW≤auc,

u=(ui,t),P=(Pi,t),S=(Si,t),W=(Wi,t),

ui,t∈[0,1],Pi,t,Si,t≥0,Wi,t∈[0,1],

i=1,…,N,t=1,…,T。

(17)

(18)

2.3求解計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的加速GBDM

首先根據(jù)前面所述內(nèi)容可知計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的近似MIQP模型中僅在目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)非線性項(xiàng)，若將該項(xiàng)除去，所求問(wèn)題便變成一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃(mixed integer linear programming,MILP)，其與原MIQP有相同的可行域，因此在不追求精度的情況下，可調(diào)用著名商業(yè)軟件CPLEX快速得到MILP的一個(gè)可行解，從而計(jì)算出原MIQP目標(biāo)函數(shù)值的一個(gè)上界。其次，在應(yīng)用GBDM求解MIQP時(shí)，初始主問(wèn)題是原MIQP的一個(gè)松弛問(wèn)題，僅包含原問(wèn)題的部分約束和變量，故其最優(yōu)值是原MIQP目標(biāo)函數(shù)值的一個(gè)下界。而2.2節(jié)所提的整數(shù)割平面僅含有0-1整數(shù)變量，并且加入這些割平面可以使得原MIQP的連續(xù)松弛問(wèn)題變緊，故在應(yīng)用GBDM求解相關(guān)UC問(wèn)題時(shí)，相應(yīng)的主問(wèn)題也會(huì)變緊，從而能夠提供一個(gè)更好的下界。此外，為進(jìn)一步減少計(jì)算量，當(dāng)相應(yīng)的非線性子問(wèn)題(11)不可行時(shí)，不去計(jì)算相應(yīng)的可行性子問(wèn)題，而是直接利用顯式公式(16)計(jì)算相應(yīng)的組合Benders割平面?；谇笆黾夹g(shù)，可得到求解計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的一個(gè)加速?gòu)V義Benders分解法，具體算法流程如圖1所示。

3　數(shù)值仿真

為方便起見(jiàn)，將本文所提出的加速?gòu)V義Benders分解法簡(jiǎn)記為AGBDM，為驗(yàn)證其計(jì)算效率，下面就不計(jì)CO2排放UC問(wèn)題情形在10～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段等6個(gè)系統(tǒng)上進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果與已有的Berders分解法以及另外一些有效方法進(jìn)行比較，同時(shí)以10臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)為例詳細(xì)說(shuō)明該方法求解計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的有效性。10臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)的基本數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[2]，20～100臺(tái)機(jī)組的相關(guān)數(shù)據(jù)是通過(guò)復(fù)制10臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)的基本數(shù)據(jù)得到，而CO2排放數(shù)據(jù)則來(lái)源于文獻(xiàn)[22]。旋轉(zhuǎn)備用取總負(fù)荷的10%。運(yùn)行環(huán)境為AMD Athlon Dual Core Processor 4400+ 2.3 GHz,1 GB RAM，并在Matlab 2010環(huán)境下調(diào)用CPLEX 11[23]求解主問(wèn)題與子問(wèn)題以及相應(yīng)線性規(guī)劃問(wèn)題。此外，在調(diào)用CPLEX得到相應(yīng)可行解時(shí)精度取為0.05。

圖1算法流程圖

Fig.1Flow chat of algorithm

3.1不計(jì)CO2排放UC問(wèn)題情形

為驗(yàn)證本文所提AGBDM在求解不計(jì)CO2排放UC(此時(shí)wf=1,we=0)問(wèn)題時(shí)的加速效果，對(duì)于不計(jì)爬坡約束情形，將相同精度下的測(cè)試結(jié)果同時(shí)與廣義Benders分解法[18](簡(jiǎn)記為GBDM) 以及松弛型Benders分解法[19](簡(jiǎn)記為RBDM) 所得結(jié)果進(jìn)行比較(表1)，其中Niter表示迭代次數(shù)，CPU表示計(jì)算時(shí)間，Cost表示總費(fèi)用，數(shù)據(jù)中的粗體部分表示最好結(jié)果，后面表格中的記法類似。通過(guò)表1可以看出本文所提AGBDM均能在合理的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)一次迭代后便收斂，說(shuō)明該方法具有良好的穩(wěn)定性。此外，除10臺(tái)機(jī)組與20臺(tái)機(jī)組24時(shí)段兩個(gè)較小的系統(tǒng)外，其他系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果均優(yōu)于另外兩種方法，這也說(shuō)明整數(shù)割平面以及2.3節(jié)所介紹的加速技術(shù)能很好地改進(jìn)Benders分解法求解UC問(wèn)題的計(jì)算效果，也正是因?yàn)锳GBDM在求解相關(guān)問(wèn)題時(shí)可得到更好的上下界，所以整個(gè)算法的迭代次數(shù)要少。

表110～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)3種算法結(jié)果比較

Table 1 The results of three algorithms for 10～100 units and 24 hours

機(jī)組數(shù)NumberofunitsGBDMRBDMAGBDMNiterCost($)NiterCost($)NiterCPU(s)Cost($)105565,5372563,93812.73564,2092051,123,61921,123,642112.331,124,3854042,243,64622,243,787119.772,242,2856043,363,87623,363,760123.973,362,1608044,485,44324,481,813144.704,480,72110035,603,49625,603,450165.315,601,020

為進(jìn)一步說(shuō)明本文所提AGBDM求解相關(guān)UC問(wèn)題的有效性，對(duì)于不計(jì)爬坡約束情形，將其測(cè)試結(jié)果同當(dāng)前一些數(shù)值表現(xiàn)良好的確定性方法如拉格朗日松弛(LR)法[2]、混合整數(shù)線性規(guī)劃(MILP)法[3]、二階錐規(guī)劃(CONE)法[5]、外逼近法(OAM)[16]、內(nèi)外逼近法(OIAM)[17]等進(jìn)行比較(表2)，表中記號(hào)“—”表示原文中沒(méi)有給出相應(yīng)結(jié)果。通過(guò)表2可以看出：對(duì)于40臺(tái)機(jī)組與80臺(tái)機(jī)組這兩個(gè)系統(tǒng)，AGBDM的測(cè)試結(jié)果優(yōu)于當(dāng)前最好的內(nèi)外逼近法，而其余系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果稍稍遜于最好結(jié)果。此外，作為測(cè)試效果優(yōu)秀的外逼近與內(nèi)外逼近，在求解相關(guān)UC問(wèn)題時(shí)其迭代次數(shù)均為兩次，而本文所提AGBDM由于加入整數(shù)割平面，并利用2.3節(jié)所介紹的加速技術(shù)，其迭代次數(shù)均為1次。

表210～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)不同算法結(jié)果比較(＄)

Table 2The results of different algorithms for 10～100 units and 24 hours (＄)

表310～100臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)(計(jì)及爬坡約束)

Table 3System for 10～100 units and 24 hours(with ramp rate constraints)

機(jī)組數(shù)NumberofunitsCPU(s)NiterCost($)102.531568,8712014.1211,133,9654024.8912,264,3506065.9713,394,2528087.1914,526,773100110.1715,660,380

3.2計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題情形

類似于文獻(xiàn)[22]，下面僅以10臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)并計(jì)及爬坡約束為例，詳細(xì)說(shuō)明本文所提AGBDM求解計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的有效性。在數(shù)值測(cè)試中取權(quán)重因子wf=we=1。根據(jù)表4可以看出所考察系統(tǒng)在24時(shí)段內(nèi)所排放的CO2總額為260 067(Ton)，若取排放懲罰因子πi=1＄Ton(i=1,…,N)，則排放費(fèi)用為260 067＄。由此可見(jiàn)，排放費(fèi)用不容忽視，特別是在大力倡導(dǎo)節(jié)能減排以及高科技發(fā)展迅速的今天，很有必要在經(jīng)典電力系統(tǒng)機(jī)組組合問(wèn)題中考慮一些清潔可再生能源，如結(jié)合太陽(yáng)能發(fā)電、風(fēng)力發(fā)電以及可入網(wǎng)電動(dòng)汽車等。

4　結(jié)論

本文提出計(jì)及CO2排放UC問(wèn)題的一個(gè)加速?gòu)V義Benders分解法，首先利用線性化技術(shù)建立一個(gè)近似MIQP模型，然后結(jié)合UC問(wèn)題特點(diǎn)提出一個(gè)針對(duì)機(jī)組組合問(wèn)題而言非常簡(jiǎn)單卻效果很明顯的有效割平面——整數(shù)割平面，同時(shí)基于該整數(shù)割平面以及文中所介紹的加速技術(shù)提出求解相關(guān)UC問(wèn)題近似MIQP模型的加速?gòu)V義Benders分解法，最后將所提方法在不同系統(tǒng)上進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。不同情形下的測(cè)試結(jié)果以及與當(dāng)前其他一些有效方法的比較表明，本文所提方法能有效求解相關(guān)UC問(wèn)題，并且具有良好的穩(wěn)定性和收斂性。

表410臺(tái)機(jī)組24時(shí)段系統(tǒng)調(diào)度計(jì)劃及CO2排放情況

Table 4Unit scheduling and corresponding costs for the 10 units and 24 hours system

時(shí)段Hour機(jī)組Unit12345678910CO2排放CO2emission(Ton)1455250000000006827245529500000000754734552650130000000772844552351301300000007965545528513013000000086546455360130130250000010226745541013013025000001130584554551301302500000124109455455130130852025000129271045545513013016233251000135581145545513013016273251010013866124554551301301628025431010141541345545513013016233251000135581445545513013085202500012927154554551301302500000124101645531013013025000009302174552601301302500000853618455360130130250000010226194554551301302500000124102045545513013016233251000135582145545513013085202500012927224553401301300202500010113234553151300000000851024455345000000008423

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(責(zé)任編輯：米慧芝)

Accelerating Generalized Benders Decomposition Method for the Unit Commitment Problem with CO2-Emission

ZHENG Haiyan

Key words：unit commitment,mixed integer quadratic programming,integer cut,accelerating generalized Benders decomposition

Abstract：An accelerating generalized Benders decomposition method(AGBDM) is presented for the unit commitment (UC) problem with CO2-emission:An approximate mixed integer quadratic programming model for the related problem is established by some linearization technique first;then an integer cut is put forward according to the characteristics of the UC problem,which is simple but highly efficient,and AGBDM is proposed for solving the corresponding model of the UC problem,which is based on the integer cut and some other strengthening techniques;the proposed AGBDM is used to solve the six systems which range in size from 10 to 100 units with 24 h finally.The simulation results and the comparison results with other methods show that the proposed method is efficient,and it proposes a new approach for solving the relevant unit commitment problem.

收稿日期：2016-08-05

作者簡(jiǎn)介：鄭海艷(1977-)，女，博士，主要從事最優(yōu)化理論與方法及其在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用研究，E-mail:zhenghaiyan166@126.com。

中圖分類號(hào)：TM76

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-9164(2016)05-0409-07

修回日期：2016-09-19

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271086)和廣西自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2014GXNSFFA118001)資助。

廣西科學(xué)Guangxi Sciences 2016,23(5):409～415

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版時(shí)間：2016-11-21【DOI】10.13656/j.cnki.gxkx.20161121.017

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先數(shù)字出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/45.1206.G3.20161121.1546.034.html