談?wù)勄娣e分的計(jì)算方法

張曉春

(江西工程學(xué)院，江西 新余 338029)

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談?wù)勄娣e分的計(jì)算方法

張曉春

(江西工程學(xué)院，江西 新余 338029)

這里介紹將第二型曲面積分化為二重積分來(lái)計(jì)算的方法,第二型曲面積分屬于向量函數(shù)的積分，在流體力學(xué)和電磁學(xué)等領(lǐng)域有極為廣泛的運(yùn)用。所以，正確選擇計(jì)算第二型曲面積分的方法對(duì)解決問(wèn)題有著很大的幫助。

曲面積分；二重積分；計(jì)算；轉(zhuǎn)換

1 第二型曲面積分定義

2 將第二型曲面積分化為二重積分來(lái)計(jì)算的方法

①第二型曲面積分?∑P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy可化為三個(gè)第二型曲面積分來(lái)計(jì)算：I1=?∑P(x,y,z)dydz,I2=?∑Q(x,y,z)dzdx,I3=?∑R(x,y,z)dxdy。

這就必須把曲面分別投影到y(tǒng)Oz、zOx、xOy面上，再分別按照前側(cè)為正后側(cè)為負(fù)、右側(cè)為正左側(cè)為負(fù)、上側(cè)為正下側(cè)為負(fù)的規(guī)則再次分解。這樣一來(lái)就需要六個(gè)式子來(lái)計(jì)算一個(gè)第二型曲面積分，運(yùn)算量相當(dāng)大且容易出錯(cuò)。

例：計(jì)算下列閉曲面上的曲面積分(積分沿區(qū)域 Ω之邊界曲面 的外側(cè))：

Ω={(x,y,z)|x2+y2≤1,x≥0,y≥0,0≤z≤1}；

解：在曲面?Ω上x(chóng)=0,y=0,z=0及z=1部分的S上?Sxzdydz=0，所以

在曲面?Ω上x(chóng)=0,z=0及z=1部分的S上?S(x3+z3)dzdx=0，所以

在曲面?Ω上x(chóng)=0,y=0及x2+y2=1部分的S上?S(x3-y3)dxdy=0，所以

②先將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分：

再將第一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分：

若在xOy面：

yOz，xOz面上以此類推。

最后利用二重積分計(jì)算得出結(jié)果。

較第一種方法，此方法更加靈活多變，在計(jì)算中可以省很多力氣。

例：計(jì)算曲面積分：?Sz(x2+y2)(dydz+dxdz)，其中 S 為球面 x2+y2+z2=R2

在第一、四卦限(x≥0，z≥0)的部分，積分沿S的上側(cè)；

解：S的單位正法向?yàn)?/p>

3 總結(jié)

利用向量形式計(jì)算第二型曲面積分直接將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)二重積分計(jì)算,避免了傳統(tǒng)計(jì)算方法對(duì)曲面?zhèn)鹊呐卸?，其顯著優(yōu)點(diǎn)是物理意義明確,計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單,適用于所有的第二型曲面積分的計(jì)算。但是，計(jì)算時(shí)要不斷地總結(jié)，學(xué)會(huì)根據(jù)題型的變化來(lái)選擇方法，尋求更加簡(jiǎn)便的方法，不能一味的追求某一種。

而且，高等數(shù)學(xué)這門科學(xué)是博大精深的，要不斷的學(xué)習(xí)研究才能領(lǐng)悟得更多。就自身而言，要抱著謙虛謹(jǐn)慎的態(tài)度，努力鉆研高數(shù)，希望能夠參透高等數(shù)學(xué)的一角。

[1] 數(shù)學(xué)分析講義.高等教育出版社上冊(cè)，第五版，2008年

[2] 微積分輔導(dǎo)及習(xí)題精解.延邊大學(xué)出版社，2010年(2012年重印).

O172.2

A

1671-1602(2016)22-0189-01