多題一法和一題多解的雙線流解題教學(xué)

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中至關(guān)重要的一環(huán)，面對基礎(chǔ)不一、眾口難調(diào)的學(xué)生，在圓的標準方程復(fù)習(xí)課上，以多題一法為主線，一題多解為分線，進行了一次雙線流解題教學(xué)的嘗試。

[關(guān) 鍵 詞] 多題一法；一題多解；待定系數(shù)法；圓的標準方程

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）08-0153-01

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中至關(guān)重要的一環(huán)，比較常見的是一題多解，它可以讓學(xué)生多方位、多角度地去思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。然而現(xiàn)實中我們既有基礎(chǔ)扎實的學(xué)生，又有學(xué)業(yè)薄弱的學(xué)生，太強調(diào)發(fā)散思維的重要性容易忽視對聚合思維的培養(yǎng)。有學(xué)生跟我說：“老師，你一節(jié)課講了那么多方法，我來不及記，能不能只用一種方法就解決很多問題啊。”“是啊，凡事都能來個‘一劍破萬法’的絕招，該多開心啊?！?/p>

為此，筆者在圓的標準方程的復(fù)習(xí)課上，以多題一法為主線，一題多解為分線，進行了一次雙線流解題教學(xué)的嘗試。

這主線的一法是待定系數(shù)法，它是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，也是一種常見的解題技巧。要了解一個問題是否適用待定系數(shù)法來求解，主要關(guān)鍵是看能否根據(jù)已知條件，正確列出含一些特定系數(shù)的等式或方程。而圓的標準方程恰好符合該條件。

通過對（x-a）2+（y-b）2=r2的剖析可以發(fā)現(xiàn)，該方程中分別含有三個待定字母參數(shù)a，b，r，只要能根據(jù)已知條件列出參數(shù)方程，再代入相關(guān)條件，即可求出剩下的參數(shù)，這樣就能求出圓的標準方程了。

主線一法解多題，分線發(fā)散多法解。筆者抓住待定系數(shù)法這一主線，由易到難，層層遞進地設(shè)計了三道例題。引導(dǎo)學(xué)生解一題通一類題，多題歸一解，有助于學(xué)生聚合思維能力的養(yǎng)成，促成高效教學(xué)，讓學(xué)力不足的學(xué)生跟上來。而每一例題的教學(xué)，又開展一題多解的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的發(fā)散思維能力，實現(xiàn)有效教學(xué)，讓學(xué)有余力的學(xué)生也能吃飽。

例1.求以點（-2，5）為圓心，并且過點（3，-7）的圓的標準方程。

主線解一：由圓心（-2，5），可設(shè)圓的方程為（x+2）2+（y-5）2=r2

點（3，-7）代入，得（3+2）2+（-7-5）2=r2

∴r2=169

∴圓的標準方程為（x+2）2+（y-5）2=169。

分線解二：由圓上一點到圓心的距離是半徑，直接求r。

r=■=13

∴圓的標準方程為（x+2）2+（y-5）2=169。

例2.已知點A（4，3）、B（6，-1），若以線段AB為圓的直徑，求出該圓的標準方程。

主線解一：先求圓心坐標，即AB中點為（■，■）=（5，1），

可設(shè)圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=r2

取點A（4，3）代入，得（4-5）2+（3-1）2=r2

r2=5

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5。

分線解二：先求圓心（5，1）

r=■=■

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5

分線解三：先求圓心（5，1）

直徑d=■=2■

r=■

注意不要將直徑d當作r代入圓的方程。

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5。

例3.已知經(jīng)過點P（-2，4）和點Q（0，2），并且圓心在直線x+y=0上，求出圓的標準方程。

主線解一：圓心在直線x+y=0，設(shè)圓心（a，-a）

則圓的標準方程為（x-a）2+（x+a）2=r2

點P（-2，4）和點Q（0，2）代入，

則（-2-a）2+（4+a）2=r2 （1）（0-a）2+（2+a）2=r2 （2）

得：a=-2，r2=4；

∴圓的標準方程為（x+2）2+（x-2）2=4。

分線解二：圓上的點到圓心的距離等于半徑，設(shè)圓心（a，-a），

則■=■

得：a=-2 ∴r2=4

∴圓的標準方程為（x+2）2+（x-2）2=4。

一題多解的發(fā)散思維和多題一法的聚合思維是兩種互逆的解題思維方式，在解決數(shù)學(xué)問題中都具有重要的地位。面對基礎(chǔ)不一、眾口難調(diào)的學(xué)生，我們教師需要創(chuàng)新精神，因材施教，靈活地運用各種方法，優(yōu)化解題教學(xué)，盡量讓每個學(xué)生都有提高。

參考文獻：

[1]顧鳳.待定系數(shù)法在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2014（9）.

[2]王海青.深入淺出，觸類旁通[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（4）.