結(jié)合數(shù)學(xué)史的負(fù)數(shù)概念教學(xué)

廣州市越秀區(qū)育才學(xué)校(510080) 謝啟敏

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 湯志娜

結(jié)合數(shù)學(xué)史的負(fù)數(shù)概念教學(xué)

廣州市越秀區(qū)育才學(xué)校(510080) 謝啟敏

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 湯志娜

1.問題提出

有理數(shù)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的一章,為后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了一個(gè)基礎(chǔ),大部分的教材都是將其放在七年級(jí)第一章進(jìn)行教學(xué),在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)有理數(shù)的教學(xué)有明確的規(guī)定:

①理解有理數(shù)的意義,能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù),會(huì)比較有理數(shù)的大小.

②借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義,會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值(絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母).

③理解乘方的意義,掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算(以三步為主).

④理解有理數(shù)的運(yùn)算律,并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.

⑤能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問題.

小學(xué)階段學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)有正數(shù)、零以及對(duì)負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí),因此對(duì)于正數(shù)和零,七年級(jí)學(xué)生已很熟悉,但對(duì)于負(fù)數(shù),小學(xué)階段只是對(duì)其有一個(gè)模糊的認(rèn)識(shí),很多學(xué)生難以理解,在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí),由于思維定勢(shì),很多學(xué)生常常把負(fù)數(shù)中的“-”號(hào)丟掉,從而把負(fù)數(shù)當(dāng)成正數(shù)來運(yùn)算,因此錯(cuò)誤不斷.在教學(xué)中,學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)的表面概念通常為:在正數(shù)前加入符號(hào)“-”:較小的正數(shù)減去較大數(shù)的差:比0小的數(shù).造成這些理解錯(cuò)誤的根本原因就是學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)概念沒有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí),而對(duì)負(fù)數(shù)概念的正確認(rèn)識(shí)則需要追溯到負(fù)數(shù)的產(chǎn)生及發(fā)展背景.所以,在有理數(shù)教學(xué)中,教師應(yīng)該適當(dāng)?shù)匾霐?shù)學(xué)史,潛移默化地使學(xué)生自己對(duì)負(fù)數(shù)有一個(gè)明確的概念.

2.教學(xué)中的數(shù)學(xué)史的定義及作用

在許多的訪問調(diào)查中,一部分老師對(duì)于教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的態(tài)度為“我們主要關(guān)注升學(xué)率,數(shù)學(xué)史的運(yùn)用可能會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度.”“數(shù)學(xué)史沒有時(shí)間用.”“數(shù)學(xué)史的知識(shí)我們(指教師)都知道得很少,怎么用?”“數(shù)學(xué)史也就是講講故事、看看圖片,激發(fā)一下興趣而已吧!”“用數(shù)學(xué)史?大概得等到上公開課的時(shí)候吧?”“數(shù)學(xué)史確實(shí)對(duì)教學(xué)有促進(jìn)作用,但我們用得很少,幾乎不用”等看法.[2]而對(duì)于這些情況,根本原因在于教師對(duì)教學(xué)中運(yùn)用的數(shù)學(xué)史有著錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)和理解,教學(xué)中的數(shù)學(xué)史并不是要教師和學(xué)生去重演歷史發(fā)生的所有過程,對(duì)于歷史發(fā)生的原理,弗賴登塔爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)史乃是一個(gè)不斷進(jìn)步的系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)過程.兒童無需重蹈人類的歷史,但他們也不可能從前人止步的地方開始.從某種意義上說,兒童應(yīng)該重蹈歷史,盡管不是實(shí)際發(fā)生的歷史,而是倘若我們的祖先已經(jīng)知道我們今天有幸知道的東西,將會(huì)發(fā)生的歷史.”弗賴登塔爾指出數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思想是“再創(chuàng)造”,實(shí)行“再創(chuàng)造”,也就是由學(xué)生自己把發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造要學(xué)的東西,教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造,而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生.這種“再創(chuàng)造”并非要求數(shù)學(xué)教學(xué)完全重現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,而是指應(yīng)該使學(xué)生體會(huì)到:如果當(dāng)時(shí)的人有幸具備了現(xiàn)在有了的知識(shí),他們是怎樣把這些知識(shí)創(chuàng)造出來的.

在許多概念教學(xué)中,教師教學(xué)的規(guī)律通?？梢詺w結(jié)為,把結(jié)果作為出發(fā)點(diǎn)告訴學(xué)生,推出其它知識(shí),這種教學(xué)法通常稱為“教學(xué)法的顛倒”,它掩蓋了思維的過程,沒有通過學(xué)生的角度出發(fā),使學(xué)生自己難以形成概念,而通過在教學(xué)中引用上述數(shù)學(xué)史方法可以還原學(xué)生概念形成的思維過程,有效地提高學(xué)生對(duì)概念的掌握及理解.

接下來,將給出一個(gè)教材中對(duì)于有理數(shù)教學(xué)的設(shè)計(jì),再給出一個(gè)用數(shù)學(xué)史來引入有理數(shù)的案例,對(duì)兩種教法進(jìn)行比較.

3.教材中的負(fù)數(shù)教學(xué)(以人教版為例)

3.1 由問題引入概念

在生活、生產(chǎn)和科研中,遇到的問題:

(1)北京冬季里某一天的氣溫為-3°C～3°C.“-3”的含義是什么?這一天北京的溫差是多少?

(2)某年,我國(guó)花生產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)1.8%,油菜籽產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)-2.7%.“增長(zhǎng)-2.7%”表示什么意思?

(3)夏新通過撿、賣廢品,既保護(hù)了環(huán)境,又積攢了零花錢.下表是他某個(gè)月的部分收支情況.這里,“結(jié)余-1.2”是什么意思?怎么得到的?

收支情況表 年 月

結(jié)論:把數(shù)的范圍擴(kuò)充至有理數(shù),研究數(shù)的表示、大小比較和運(yùn)算等.

3.2 正數(shù)與負(fù)數(shù)概念

像3,1.8%,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)

像-3,-2.7%,-4.5,-1.2這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).

3.3 練習(xí)題

4.數(shù)學(xué)史引入負(fù)數(shù)概念

4.1 負(fù)數(shù):學(xué)生分組進(jìn)行以下游戲并報(bào)告結(jié)果

問題情境1: 兩個(gè)人一組搖骰子,一人兩個(gè)骰子,同一輪兩骰子相加總數(shù)多的勝,并累計(jì)1分,另一個(gè)則0分,五輪后累計(jì)分?jǐn)?shù)多者為勝.以表格形式統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

問題情境2:現(xiàn)在游戲增加至3人,一人兩個(gè)骰子,同一輪兩骰子相加總數(shù)多的勝,并累計(jì)1分,那么剩下的兩個(gè)人該如何計(jì)分才能使游戲公平?你還能有其他的計(jì)分方式嗎?以表格形式統(tǒng)計(jì)結(jié)果.

通過學(xué)生們匯報(bào)的結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)在情景2中有些學(xué)生對(duì)于每輪輸?shù)耐瑢W(xué)累計(jì)的分?jǐn)?shù)記為“-1”,而對(duì)于勝和輸我們都知道是一對(duì)反義詞,同樣的有這種相反的性質(zhì),除了正數(shù)我們就需要更多的數(shù),類似于語文的反義詞,我們把正數(shù)的相反數(shù)稱為負(fù)數(shù).

4.2 負(fù)數(shù)的產(chǎn)生

4.2.1 國(guó)內(nèi):劉徽首先給出了正負(fù)數(shù)的定義,他說:“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之.意思是說,在計(jì)算中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負(fù)數(shù)來區(qū)分它們.他說:“正算赤,負(fù)算黑:否則以邪正為異”意思是說,用紅色的小棍擺出的數(shù)表示正數(shù),用黑色的小棍擺出的數(shù)表示負(fù)數(shù):也可以用斜擺的小棍表示負(fù)數(shù),用正擺的小棍表示正數(shù).我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》(公元一世紀(jì))中,最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則:“正負(fù)數(shù)曰:同名相除,異名相益,正無入負(fù)之,負(fù)無入正之:其異名相除,同名相益,正無入正之,負(fù)無入負(fù)之.”這里的“名”就是“號(hào)”,“除”就是“減”,“相益”、“相除”就是兩數(shù)的絕對(duì)值“相加”、“相減”,“無”就是“零”.用現(xiàn)在的話說就是:“正負(fù)數(shù)的加減法則是:同符號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相減,異號(hào)兩數(shù)相減,等于其絕對(duì)值相加.零減正數(shù)得負(fù)數(shù),零減負(fù)數(shù)得正數(shù).異號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相減,同號(hào)兩數(shù)相加,等于其絕對(duì)值相加.零加正數(shù)等于正數(shù),零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù).”這段關(guān)于正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則的敘述是完全正確的,與現(xiàn)在的法則完全一致,負(fù)數(shù)的引入是我國(guó)數(shù)學(xué)家杰出的貢獻(xiàn)之一.用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)的習(xí)慣,一直保留到現(xiàn)在.現(xiàn)在一般用紅色表示負(fù)數(shù),報(bào)紙上登載某國(guó)經(jīng)濟(jì)上出現(xiàn)赤字,表明支出大于收入,財(cái)政上虧了錢:又財(cái)經(jīng)頻道里播出股票的走勢(shì),一般用綠色字體表示跌,紅色字體表示漲.

4.2.2 負(fù)數(shù)產(chǎn)生(國(guó)外)

出現(xiàn)原因地點(diǎn)時(shí)間人物、著作印度公元7世紀(jì)婆羅摩友多《婆羅摩歷算書》解釋負(fù)債與損失阿拉伯公元10 世紀(jì)艾布·瓦更一般的兩位數(shù)乘法簡(jiǎn)捷算法西方公元18 世紀(jì)前方程出現(xiàn)負(fù)根

4.3 負(fù)數(shù)發(fā)展緩慢的原因: 十八世紀(jì)以前,歐洲數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)大都持保留態(tài)度,他們認(rèn)為零是最小的量,比零還小是不可思議的,看不到正負(fù)數(shù)間的關(guān)系.而導(dǎo)致這種觀點(diǎn)的原因則是,類似于復(fù)數(shù),只要一涉及實(shí)際的問題,它們就是一個(gè)虛擬的存在.

例:父親56歲,他的兒子29歲,問什么時(shí)候徐父親的歲數(shù)將是兒子的2倍?討論并給出結(jié)果.

通過解答的過程可以看出如果設(shè)x年后父親的歲數(shù)是兒子的2倍,可以得到x=-2.

如果我們?cè)O(shè)x年前父親的歲數(shù)是兒子的2倍,可以得到x=2.

這個(gè)例子也是數(shù)學(xué)家德摩根無法接受負(fù)數(shù)的原因,同樣的也可以反映出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家排斥負(fù)數(shù)的原因—負(fù)數(shù)是現(xiàn)實(shí)不存在的.直到現(xiàn)代,負(fù)數(shù)才算被真正透徹的理解.

4.4 負(fù)數(shù)帶來的變化:

①“0”不再是最小的數(shù),而是正負(fù)數(shù)之間的界點(diǎn),它的存在更具有重要性.

②減法運(yùn)算范圍更大,不再局限于大的數(shù)減去小的數(shù).

③“+”“-”不再是簡(jiǎn)單的運(yùn)算符號(hào),他們分別表示兩種互為相反的數(shù)—正負(fù)數(shù).同時(shí)整數(shù)與分?jǐn)?shù)的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大

④加法運(yùn)算得到的結(jié)果不再局限于變大,加減法得到了統(tǒng)一.

⑤出現(xiàn)負(fù)根的方程也被接納.

⑥在生活中,為許多記數(shù)問題提供了更多的便利.

4.5 練習(xí)題

指出下列運(yùn)算過程中的“+”“-”分別代表的意義

①+5+(-3)=5-3=2

②(-9)-2=-9+(-2)=-(9+2)=-11

③-1+1=1-1=0

5.小結(jié)

對(duì)于現(xiàn)在普遍的教學(xué)教材來說,負(fù)數(shù)的教學(xué)都缺乏了對(duì)負(fù)數(shù)的引入,無法讓學(xué)生更好的體會(huì)到先人在從負(fù)數(shù)的產(chǎn)生,到排斥,再到欣然接受這種虛擬數(shù)的過程,許多教授的過程就是直接給學(xué)生灌輸這個(gè)概念,學(xué)生只能機(jī)械地接受,無法做到讓學(xué)生自己去尋找,發(fā)現(xiàn),掌握這些知識(shí),教材直接給了“-”這個(gè)符號(hào),然后就直接有了負(fù)數(shù)這個(gè)概念—在正數(shù)前面加“-”,這樣的一個(gè)冷冰冰的結(jié)果,而學(xué)生的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)、漸進(jìn)的過程,如同負(fù)數(shù)的出現(xiàn)在人們的眼球,它為何而來,有何用,人們?yōu)楹螘?huì)接受它,學(xué)生的學(xué)習(xí)也需要這樣一個(gè)過程,雖然沒那么復(fù)雜,但卻賦予其生命力.數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以幫助教師去引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中進(jìn)行這樣的學(xué)習(xí)過程.John Fauvel總結(jié)了數(shù)學(xué)史的各種用法如下:(1)介紹歷史上數(shù)學(xué)家的故事:(2)運(yùn)用歷史引入新概念:(3)促使學(xué)生理解,為他們所學(xué)概念提供解答的歷史問題:(4)講授數(shù)學(xué)史課:(5)利用歷史上的數(shù)學(xué)教材設(shè)計(jì)課堂練習(xí)和作業(yè):(6)舉辦歷史主題的展覽:(7)運(yùn)用歷史上的典型例子來說明方法和技術(shù):(8)探索過去的錯(cuò)誤、另類觀點(diǎn)以幫助今天的學(xué)習(xí)者理解并解決困難:(9)借鑒歷史設(shè)計(jì)一個(gè)話題的教學(xué)方法: (10)基于歷史信息進(jìn)行課程的整體設(shè)計(jì).

大眾數(shù)學(xué)是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的目標(biāo),利用數(shù)學(xué)史引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)方法是非常值得研究,對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),實(shí)施到教學(xué)活動(dòng)中,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力過程,讓學(xué)生自主地在學(xué)習(xí)過程中挖掘知識(shí),學(xué)生學(xué)習(xí)的應(yīng)該是過程的體會(huì)而不是結(jié)果.