抗差估計(jì)在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

馬 琳，鄧文彬，張廣泰

（1.新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

抗差估計(jì)在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

馬 琳1，鄧文彬1，張廣泰1

（1.新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

對(duì)抗差估計(jì)及其迭代初值進(jìn)行了研究分析，并且針對(duì)不同估計(jì)方法所得到的迭代初值，利用Matlab對(duì)其進(jìn)行模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，對(duì)其“抗差性”進(jìn)行比較，結(jié)合模擬結(jié)果選取“抗差性”較好的迭代初值進(jìn)行下一步的抗差估計(jì)。最后利用某變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)采用最小二乘法和抗差估計(jì)兩種方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了抗差估計(jì)對(duì)粗差的“抗干擾性”。

抗差估計(jì)；M估計(jì)；變形監(jiān)測(cè)；迭代初值；ρ函數(shù)

在變形監(jiān)測(cè)工作中，不論采用何種精密測(cè)量儀器或測(cè)量方法，都有可能出現(xiàn)粗差[1,2]。粗差的出現(xiàn)，會(huì)使數(shù)據(jù)處理分析結(jié)果出現(xiàn)偏差，進(jìn)而給后期的監(jiān)測(cè)工作帶來一定的困擾。在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，由于所測(cè)變形值很小，與觀測(cè)中的誤差極易混淆，這就要求在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析時(shí)，盡可能避免或減小粗差對(duì)整體數(shù)據(jù)解算的干擾，以免影響對(duì)變形的正確分析[3]。

抗差估計(jì)與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)方法相比，可以在數(shù)據(jù)中有粗差存在的情況下，減少粗差影響，從而得到具有“抗干擾性”的解算結(jié)果。本文以某工程項(xiàng)目的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行抗差估計(jì)分析，驗(yàn)證其對(duì)粗差的“抗干擾性”。

1 抗差估計(jì)

抗差估計(jì)是指在有粗差存在的情況下，選擇合適的估計(jì)方法，盡可能降低粗差對(duì)未知量估值的影響，得出最優(yōu)估值[1]。抗差估計(jì)基本上可分為3大類：M估計(jì)、L估計(jì)和R估計(jì)。本文中所用到的是M估計(jì)。

M估計(jì)是經(jīng)典的極大似然估計(jì)的推廣，稱為廣義極大似然型估計(jì)。

在對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析時(shí)，常采用線性回歸法，若將抗差M估計(jì)與線性回歸法結(jié)合在一起，可以有效抵抗粗差的干擾。

令φ（Vi）/Vi=Wi（權(quán)因子）為等價(jià)權(quán)元素，則有，將誤差方程帶入式（5），則有：

對(duì)式（6）的求解采用選權(quán)迭代法，選擇合適的迭代初值解算參數(shù)第一次估值，由其解算出誤差，進(jìn)而確定新的等價(jià)權(quán)，得到下一次的參數(shù)估值，以此類推，直至前后兩次解的差值符合一定的限差要求，即得到最終的參數(shù)估值[1,2,4]。

2 迭代初值以及ρ函數(shù)

抗差M估計(jì)的關(guān)鍵是選擇合適的迭代初值和ρ函數(shù)。

2.1 迭代初值

2.1.1 最小二乘估計(jì)

目前一般都是采用最小二乘估計(jì)值來作為迭代初值，最小二乘估計(jì)的原理是最小化殘差平方總和，即但由于最小二乘估計(jì)對(duì)粗差具有均衡作用，且對(duì)粗差不敏感，往往會(huì)降低抗差估計(jì)的抗差性[5,6]。

2.1.2 一次范數(shù)最小估計(jì)的線性規(guī)劃算法

線性規(guī)劃是研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問題的數(shù)學(xué)理論和方法，其數(shù)學(xué)模型為：

把X、V均視為待求參數(shù)，由于線性規(guī)劃要求所有參數(shù)均為非負(fù)，而X、V可正可負(fù)，故設(shè)：

X+與X-、V+與V-互不獨(dú)立，且不能同時(shí)存在非零解，則得到數(shù)學(xué)模型為：

即，

求解式（11），則可以得到X的估值[4]。

2.1.3 最小中位數(shù)平方

最小中位數(shù)平方的原理是最小化殘差平方的中位數(shù)，即Median（）= min。最小中位數(shù)平方估值可以利用重復(fù)抽樣算法來求解，其基本步驟為：從n個(gè)誤差方程中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為p+1的子樣本，其中p為自變量的維數(shù)，解算參數(shù)X，并計(jì)算p+1組的殘差及其平方的中位數(shù)，選擇殘差平方中位數(shù)最小值所對(duì)應(yīng)的參數(shù)估值為最終的抗差估值[7-9]。

2.2ρ函數(shù)

抗差M估計(jì)的對(duì)粗差的“抗干擾性”主要取決于迭代計(jì)算時(shí)所選取的ρ函數(shù)。一般情況下，ρ函數(shù)應(yīng)盡量滿足以下條件：

1）對(duì)稱函數(shù)，即ρ（-v）= ρ（v）。

2）ρ（0）=0；ρ（v）在（-∞，0）區(qū)間上非增；ρ（v）在（0，-∞）區(qū)間上非降。

3）ρ（v）在（-∞，∞）區(qū)間上處處連續(xù)。

IGG法屬于有淘汰區(qū)的M估計(jì)，權(quán)因子之間變化較平緩，同時(shí)這種估計(jì)方案充分考慮了測(cè)量數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，是一種適合處理測(cè)量數(shù)據(jù)的抗差方案[1,10]。本文采用IGG法，其ρ函數(shù)及權(quán)函數(shù)為：

式中，u為標(biāo)準(zhǔn)化殘差（ui= vi/σ）；ρ（u）為ρ函數(shù)；w （u）為權(quán)函數(shù)；b、c為調(diào)和系數(shù)，選取時(shí)可以參考有關(guān)文獻(xiàn)推薦值[11]；d為常數(shù)；k為很小的數(shù)，避免u為0時(shí)出現(xiàn)計(jì)算問題[12]。

3 數(shù)據(jù)處理及分析

3.1 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)與分析

針對(duì)上文提到的3種迭代初值的計(jì)算方法，采用線性回歸模型，利用Matlab進(jìn)行模擬比較，選取較為合適的迭代初值。

采用模型yi= a1+a2xi+ε，令a1=5.0，a2=-2.9，模擬自變量x服從正態(tài)分布N （2，22），ε服從正態(tài)分布N（0，0.22），針對(duì)模型計(jì)算系數(shù)a1、a2，對(duì)于粗差，模擬分布yi～N（-3，0.52），j為粗差個(gè)數(shù)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為100個(gè)，粗差為30個(gè)，其模擬結(jié)果見表1。

表1 3種不同迭代初值計(jì)算結(jié)果比較

從表1可以看出，3種迭代初值計(jì)算方法中，最小二乘法對(duì)粗差的抗干擾能力比較弱，其余兩種方法均可以較好地抵抗粗差。本文采用最小中位數(shù)平方估值作為迭代初值，進(jìn)行下一步抗差估計(jì)。

3.2 變形觀測(cè)數(shù)據(jù)的處理及分析

本文選取某工程的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行抗差線性回歸分析，原始數(shù)據(jù)如表2。

表2 原始數(shù)據(jù)

利用Matlab畫出散點(diǎn)圖，依據(jù)散點(diǎn)圖選用指數(shù)模型y=a×eb/x對(duì)其進(jìn)行抗差線性回歸分析。由于指數(shù)模型本身不是線性模型，故先將指數(shù)模型線性化：y=a×eb/x?（lny）=（lna）+b×（1/x），然后利用后面線性化后的模型進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與分析。

若在第4、8、12、16天的下沉量上各加入2、5、7、9 mm的粗差，采用常用的最小二乘法對(duì)其進(jìn)行線性回歸，同時(shí)采用以最小中位數(shù)平方估值作為迭代初值，以IGG法作為權(quán)函數(shù)的抗差估計(jì)與其進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1所示。

圖1 最小二乘法與抗差估計(jì)繪制的擬合結(jié)果圖

從圖1可以直接看出，在有粗差存在的情況下，采用的最小二乘法所繪制出來的擬合圖已經(jīng)完全偏離了真實(shí)數(shù)據(jù)，偏向有粗差的數(shù)據(jù)；而抗差估計(jì)計(jì)算繪制出來的擬合圖則沒有受到粗差數(shù)據(jù)的影響，正確預(yù)測(cè)出了變形數(shù)據(jù)的趨勢(shì)。從表3中的各項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)中也可以看出，最小二乘法的解算結(jié)果沒有抗差估計(jì)的解算結(jié)果好。

表3 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

4 結(jié) 語

常用的最小二乘法在有粗差存在的情況下，所得的估值有一定的偏差，而抗差估計(jì)則可以在有粗差存在的情況下，仍然對(duì)其進(jìn)行無偏估計(jì)。所以將抗差估計(jì)應(yīng)用在變形監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)處理中，不但可以對(duì)其進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，還可以使其在有粗差的情況下，避免粗差對(duì)分析預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生干擾。但是在變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，影響因素往往有多個(gè)，而本文中所用到的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)只有一個(gè)影響因素，若將抗差估計(jì)應(yīng)用在有多個(gè)影響因素的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，則抗差估計(jì)的結(jié)果可能會(huì)更好，這還有待進(jìn)一步的驗(yàn)證研究。

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P258

B

1672-4623（2016）01-0089-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.01.026

馬琳，碩士，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量、工程測(cè)量。

2014-12-31。

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51368056）；武漢大學(xué)精密工程與工業(yè)測(cè)量國家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目（PF2012-20）；新疆大學(xué)校院聯(lián)合基金資助項(xiàng)目（XY110135）。