運(yùn)用能量概念的“電路”課程教學(xué)方法

陳希有， 李冠林， 周惠巍

(大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部, 遼寧 大連，116023)

運(yùn)用能量概念的“電路”課程教學(xué)方法

陳希有， 李冠林， 周惠巍

(大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部, 遼寧 大連，116023)

本文的基本觀點(diǎn)是，在某些專門場合，能量概念比功率更重要，在“電路”課程教學(xué)的某些方面，應(yīng)適當(dāng)運(yùn)用能量概念。為此結(jié)合如下內(nèi)容，包括元件能量與功率、電感的無功功率、RLC串聯(lián)正弦電路的無功功率、耦合系數(shù)相等的證明、RLC串聯(lián)電路暫態(tài)響應(yīng)的能量交換關(guān)系以及均勻傳輸線駐波中的電磁能量分析等，闡述了運(yùn)用能量概念的教學(xué)方法，以便培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用能量概念思考問題的科學(xué)視角和工程觀點(diǎn)。

電路教學(xué)；能量；功率；工程觀點(diǎn)

能量和功率是電路理論中兩個(gè)不同用途的物理量，在某些情況下，能量概念比功率更重要。從因果關(guān)系上看，這是因?yàn)槟芰渴请娐焚囈怨ぷ鳎a(chǎn)生響應(yīng)的動(dòng)力基礎(chǔ)。從工作過程上看，電路其實(shí)是能量與信息的傳輸與轉(zhuǎn)化系統(tǒng)，而信息的傳輸與轉(zhuǎn)化也離不開能量的作用，功率只是描述能量傳輸與轉(zhuǎn)化的速率。從工程上看，雖然功率比能量更易計(jì)量，但當(dāng)發(fā)生經(jīng)濟(jì)行為時(shí)，仍然要使用能量。電力部門根據(jù)用電度數(shù)收取電費(fèi)就是最直接的示例。從更一般意義上看，人類活動(dòng)與自然現(xiàn)象的發(fā)生和演變，更是離不開能量的作用。所以在“電路”課程教學(xué)中，結(jié)合某些內(nèi)容，適度從能量角度加以闡述，往往能更深刻地揭示電路規(guī)律的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生深入思考、追根溯源的科學(xué)精神，逐漸養(yǎng)成自覺運(yùn)用能量觀點(diǎn)的工程意識(shí)。

本文結(jié)合如下六個(gè)教學(xué)實(shí)例，介紹筆者在這方面的實(shí)踐和體會(huì)以便與讀者交流。

1 六個(gè)教學(xué)實(shí)例

根據(jù)上述的“能量概念比功率更重要”的觀點(diǎn)，在介紹電路元件時(shí)，宜從能量到功率，而不是從功率到能量。后者側(cè)重把能量看作是功率積分后的數(shù)學(xué)結(jié)果，而功率又來自電壓與電流乘積的普遍規(guī)律，沒有區(qū)別特殊性。然而，電路元件的功率(如無特別強(qiáng)調(diào)，均指瞬時(shí)功率)對(duì)不同的元件，其物理意義是不同的，最好還是區(qū)分一下，以便理解元件性質(zhì)存在差異的物理原因。下面以電容為例加以說明，其他元件可以照此理解。

1)電容儲(chǔ)能與電容充、放電功率

從物理原型上看，電容是根據(jù)異性電荷之間存在吸引力的自然現(xiàn)象構(gòu)造的。在電容的極板上能夠儲(chǔ)存等量異性的電荷，在極板之間建立電場和電壓，儲(chǔ)存電場能。為了分析電容儲(chǔ)存的電場能，考察圖1所示的情形。設(shè)電容已從無到有地充得電荷Q，因而在極板間存在電壓U。當(dāng)再向電容移動(dòng)dQ電荷時(shí)，電源必須克服來自電容中已經(jīng)建立的電場的阻力做功。電源所做的功為

dA=UdQ

(1)

圖1 計(jì)算電容儲(chǔ)存的電場能量

在理想電容條件下，電源所做的功完全轉(zhuǎn)化為電場能量。所以，使電容充電到電荷q或電壓u，電源所做的功就等于電容儲(chǔ)存的電場能量，即

(2)

電容儲(chǔ)能的變化率就是電容充放電功率，即

(3)

上述由電源對(duì)電容作功到電容儲(chǔ)能，再到電容作功的過程表明：①電源所克服的力來自電容已經(jīng)建立的電場；②電容儲(chǔ)存的能量來自電源克服電場力所作的功；③電容上的電壓越高，繼續(xù)向其移動(dòng)電荷便越需要電源作更多的功。而電荷越多，電容上的電壓就越高，這就解釋了電場能量與電容電壓平方成正比的原因。

2)電感儲(chǔ)能與無功功率和有功功率

無功功率對(duì)應(yīng)能量交換現(xiàn)象，因此從能量角度引出無功功率更符合物理原理。下面以電感為例說明這個(gè)過程。對(duì)偶地，也可以理解電容的情況。

(4)

其變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 討論電感的儲(chǔ)能和無功功率

取能量變化的一個(gè)典型周期T進(jìn)行分析。在T1對(duì)應(yīng)的半個(gè)周期內(nèi)，儲(chǔ)能在增加，說明電感從外電路吸收了電能；在T2對(duì)應(yīng)的半個(gè)周期內(nèi)，儲(chǔ)能在減少，說明電感又將儲(chǔ)存的能量釋放給外電路。顯然，能量增加和減少的量值是一樣的。所以在一個(gè)周期內(nèi)看，電感沒有消耗凈能量，即平均功率P=0。它的作用是與外電路進(jìn)行周期性能量交換，交換的量值無疑是需要計(jì)量的。不難理解，儲(chǔ)能的最大值就是用來交換的能量，即

(5)

可見，在ω一定的條件下，可以用UI代表能量交換的規(guī)模，據(jù)此將UI定義為電感的無功功率，即

QL=UI

(6)

在非正弦周期電路中，由于電感儲(chǔ)能是周期性變化的，即

Wm(t+T)=Wm(t)

(7)

亦即在一個(gè)周期內(nèi)，電感儲(chǔ)能的凈增量為零。因此，在非正弦周期電路中，電感的平均功率即有功功率也為零，即

PL[Wm(t+T)-Wm(t)]/T=0

(8)

3)RLC串聯(lián)正弦交流電路的無功功率

在正弦電路中，感性無功功率和容性無功功率是相互補(bǔ)償?shù)模@個(gè)結(jié)論可以用圖3(a)所示的RLC串聯(lián)電路結(jié)構(gòu)，并根據(jù)L、C儲(chǔ)能的變化規(guī)律來認(rèn)識(shí)，不是僅依據(jù)QC=-UI<0的數(shù)學(xué)原因[1]。

Q=QL-|QC|，X=XL-XC

(9)

(a)電路結(jié)構(gòu)

(b)電場能與磁場能圖3 RLC串聯(lián)電路

在能量的相互補(bǔ)償過程中，若XL>XC，則UL>UC，QL>|QC|，這表明磁場作用強(qiáng)于電場的作用。當(dāng)建立磁場時(shí)，所需要的能量除來自電場消失所放出的能量外還需電源供給一部分，而在磁場消失的過程中所放出的能量則除供建立電場和電阻消耗之外還有剩余返還給電源，這樣電路就表現(xiàn)出電感性。對(duì)偶地，若XL

4)耦合系數(shù)相等的證明

互感元件耦合系數(shù)存在相等關(guān)系，即M12=M21，這一結(jié)論在教材和教學(xué)中被漸漸省略了。查閱相關(guān)物理學(xué)和電磁學(xué)教材，大都說可以證明，但卻沒有證明。這使得學(xué)生有惑于這一結(jié)論的根基。其實(shí)，借助作功和儲(chǔ)能等概念，嚴(yán)格證明M12=M21并不復(fù)雜，此外還能表明，即使在線性介質(zhì)中，互感系數(shù)相等的結(jié)論也是有條件的。下面簡要介紹證明過程，詳見文獻(xiàn)[ 2,3]。

考察圖4。為了證明耦合系數(shù)相等，假設(shè)要建立線圈1的電流為 且線圈2的電流為I2的磁場，可以分兩步來計(jì)算此時(shí)耦合電感儲(chǔ)存的磁場能量。

首先令線圈2開路，讓線圈1的電流從零按任意規(guī)律上升到I1。這時(shí)只有電源1做功。

圖4 互感磁場能量的建立

然后維持線圈1的電流不變，讓線圈2的電流從零按任意規(guī)律上升到I2。在這個(gè)過程中，除了電源2要作功外，電源1也要克服互感電動(dòng)勢e12而作功，這是為了維持線圈1 的電流不變。

當(dāng)線圈1有電流I1且線圈2有電流I2時(shí)，總的磁場能量為

(10)

如果交換兩個(gè)線圈的通電順序，也就是先使線圈2 的電流達(dá)到I2，然后保持I2不變，再使線圈1的電流達(dá)到I1。根據(jù)上述原理，此時(shí)建立的磁場能量為

(11)

一般說來能量是狀態(tài)的單值函數(shù)，所以上述按照兩種順序建立的磁場能量應(yīng)該是相等的，也就是說磁場能量只與I1和I2有關(guān)，不應(yīng)與這些電流的建立順序和建立過程有關(guān)，或者說不應(yīng)與電流變化的“歷史”有關(guān)。因此，比較上述二式可知M12=M21。

上述證明過程涉及了能量是狀態(tài)的單值函數(shù)的概念，一般說來確實(shí)如此，但特殊情況下也不盡然。例如，如果在某個(gè)線圈通電的過程中，線匝之間由于電磁力的作用發(fā)生了相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)當(dāng)然也要消耗能量，這就使得不同的通電順序，互感儲(chǔ)存的能量是不同的，因而得不出M12=M21的結(jié)論。

5)RLC電路暫態(tài)響應(yīng)的能量關(guān)系

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)是二階電路的教學(xué)重點(diǎn)，其中的欠阻尼過程對(duì)應(yīng)的響應(yīng)電壓和電流都是衰減的自由振蕩。振蕩的根本原因是能量的相互轉(zhuǎn)換，所以在得出自由振蕩的響應(yīng)以后，最好再從電場能量和磁場能量的變化規(guī)律上加以解釋[3,4]。

假如已經(jīng)建立了電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)，如下所示：

(12)

(13)

波形如圖5(a)所示。它們儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的變化規(guī)律分別由下列二式給出：

(14)

(15)

據(jù)上述表達(dá)式可以做出電容儲(chǔ)能和電感儲(chǔ)能的變化曲線，如圖5(b)所示。教學(xué)中，借助于計(jì)算機(jī)繪制這樣的曲線是不難的。兩種儲(chǔ)能具有此消彼漲的變化規(guī)律，說明它們發(fā)生了相互轉(zhuǎn)換。但由于電阻在不斷消耗著能量，所以總的儲(chǔ)能在波動(dòng)式地不斷減少，直至消失。這就把自由振蕩歸結(jié)為能量的相互轉(zhuǎn)換。不僅電路如此，機(jī)械上的自由振蕩，其實(shí)也是能量的相互轉(zhuǎn)化，例如在由彈簧和重物組成的系統(tǒng)中，彈性勢能與重物的動(dòng)能或與重力勢能相互轉(zhuǎn)換。

(a)零輸入響應(yīng)

(b)儲(chǔ)能變化曲線

6)駐波中的電磁能量分析

無損均勻傳輸線在終端開路或短路時(shí)，在正弦電源作用下，均勻線上存在駐波現(xiàn)象。以終端開路情況為例，終端必然是電壓的波腹和電流的波節(jié)。從終端向始端看去，每隔λ/4(λ表示波長)，必然出現(xiàn)一個(gè)波節(jié)，或是電壓波節(jié)，或是電流波節(jié)。在電壓或電流的波節(jié)處，傳輸?shù)墓β蕿榱?，說明沒有能量經(jīng)過電壓或電流的波節(jié)處。在兩個(gè)波節(jié)之間的任何位置都存在隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，這是由于這之間的電場能量與磁場能量周期性交換的結(jié)果，對(duì)此分析如下：

(16)

(17)

其中x′表示線上一點(diǎn)距終端的距離，在t=0時(shí)刻的電壓與電流分布波形如圖6所示。

圖6 t=0時(shí)刻的電壓與電流沿線分布波形

考慮從0到λ/4波長內(nèi)的情況。這段長度內(nèi)電場能量與磁場能量隨時(shí)間的變化規(guī)律分別為

(18)

(19)

兩種能量分別按照cos2ωt和sin2ωt的規(guī)律隨時(shí)間變化，變化的最大值是一樣的。這說明它們隨時(shí)間在此消彼長地進(jìn)行著能量交換，并且兩種能量之和是常量，等于這個(gè)最大值：

(20)

這說明電場能量最大時(shí)，磁場能量一定為零；反之亦然。沒有能量通過電壓或電流的波節(jié)處。這樣便從能量角度認(rèn)識(shí)了駐波的規(guī)律。

2 結(jié)語

本文就“電路”教學(xué)中的六個(gè)實(shí)例，介紹了從能量角度來認(rèn)識(shí)電路規(guī)律的教學(xué)方法，可以本著因材施教的原則加以試用?！半娐贰苯毯蛯W(xué)效果的提高，除了靠先進(jìn)的教學(xué)手段外，更要靠教師和學(xué)生對(duì)電路規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)。

[1] 俞大光.《電工基礎(chǔ)》(修訂本，上，中，下) [M]. 北京：人民教育出版社，1964年，1965年6月，1982年2月. [2] 趙凱華,陳熙謀. 電磁學(xué)(第3版)(M). 北京：高等教育出版社， 2012年8月. [3] 陳希有. 電路理論教程(M). 北京：高等教育出版社，2013年8月.[4] Robert L. Boylestad著,陳希有,張新燕，李冠林等譯. 電路分析導(dǎo)論(第12版) [M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014年12月. [5] 捷米爾強(qiáng)等編著，趙偉，肖曦，王玉祥等譯. 電工理論基礎(chǔ)(第4版)[M]. 北京：高等教育出版社，2011年1月.

About Teaching Methods of Electric Circuit Course Using Energy Concepts

CHEN Xi-you, LI Guan-lin, ZHOU Hui-wei

(FacultyofElectronicInformationandElectricalEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023，China)

The main viewpoint of this paper is that in some issues, the concept of energy is more important than power. Therefore, the concept of energy should be emphasized during the Circuit course teaching. In order to cultivate the scientific view and engineering point of the students thinking the problem from energy, some teaching ways based on the viewpoint of energy are introduced in this paper combined with the following contents. which are energy and power of the circuit elements, the reactive power of the inductor, the reactive power of the sinusoidal series RLC circuit, the proof of equality of the coupling coefficients, the energy exchanging in the transient response of series RLC circuit, analysis of the electromagnetic energy of the standing wave for uniform transmission line.

circuit theory teaching; energy; power; engineering viewpoint

2015-05-12;

2015-07- 06

陳希有(1962-)，男，博士，教授，主要從事電路教學(xué)以及電力電子技術(shù)的研究，E-mail:chenxy@dlut.edu.cn

TM13

A

1008-0686(2016)02-0091-05