高次交錯群不可解性的一個證明

郝才攀,劉亞蘋

(沈陽工業(yè)大學 數(shù)學系,遼寧 沈陽 110870)

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高次交錯群不可解性的一個證明

郝才攀,劉亞蘋

(沈陽工業(yè)大學 數(shù)學系,遼寧 沈陽 110870)

給出了一個關于高次交錯群An不可解性的新的證明.此證明過程比其是單群的證明更容易理解.

代數(shù)方程;單群;交錯群;不可解性

1 問題引入

5次以上的代數(shù)方程是否有根式解,或者說是否可以利用代數(shù)方法求解,這一著名的問題早在18世紀就由兩位年輕的數(shù)學家阿貝爾和伽羅瓦徹底解決了,我們現(xiàn)在稱解決這一問題的方法為伽羅瓦理論[1]. 所謂方程的伽羅瓦理論是指應用伽羅瓦理論解決多項式的求根問題[2]. 拉格朗日、阿貝爾及伽羅瓦等人利用群的觀點解決了方程根式解的存在性問題,即方程存在根式解等價于方程根的置換群是可解群.

研究5次以上代數(shù)方程沒有根號解的問題通常轉化為證明5次以上交錯群An不可解,而其不可解性是通過證明其是單群來實現(xiàn)的.本文對于高次交錯群An的不可解性給出一個直接證明,此證明比其單性證明更易理解.

2 主要結果

為了方便,我們規(guī)定:

設G為有限群,πe(G)表示G的所有元素的階的集合,有時也稱為G的譜.

π(G)表示|G|的所有素因子的集合,|π(G)|表示|G|的所有素因子的個數(shù).

在上述引理1中令m=p1p2(其中α1=α2=1)可得到如下推論.

推論 設An是交錯單群,則:

1) 當m=p1p2為奇數(shù)時,An含有階為m=p1p2的元素當且僅當p1+p2≤n;

2) 當m=p1p2為偶數(shù)時,An含有階為m=2p2的元素當且僅當4+p2≤n.

當n≥48時,s(n)=6;

當42≤n≤47時,s(n)=5;

當38≤n≤41時,s(n)=4;

當18≤n≤37時,s(n)=3;

當14≤n≤17時,s(n)=2;

當6≤n≤13時,s(n)=1.

引理3[5]設G是一個有限群,|π(G)|≥3,若存在三個素數(shù)r,s,t∈π(G)滿足{rs,rt,st}∩πe(G)=?,則G是不可解群.

定理 交錯群An(n≥5,n≠9,10,12)是不可解群.

p2+p3>n.由引理1的推論知,交錯群An(n≥18)不含有階為p1p2,p1p3,p2p3的元素,再根據引理3可知{p1p2,p1p3,p2p3}∩πe(An)=?,故An(n≥18)不可解;

當n=17時,只要取p1=11,p2=13,p3=17,由推論可知An不可解;

當13≤n≤16時,只要取p1=7,p2=11,p3=13,由推論可知An不可解;

當n=11時,只要取p1=5,p2=7,p3=11,由推論可知An不可解;

當n=8時,只要取p1=2,p2=5,p3=7,由推論可知An不可解;

當n=7時,只要取p1=3,p2=5,p3=7,由推論可知An不可解;

當n=5,6時,只要取p1=2,p2=3,p3=5,由推論可知An不可解;

從而定理得證.

[1] 馮麗莉,華 劍,祝青芳.淺析代數(shù)方程求解的伽羅華理論[J].數(shù)學教學與研究,2009,38:73-74

[2] 張廣祥.抽象代數(shù)[M].北京:科學出版社,2005

[3] ZAVARNITSIN A,MAZUROV V D.Element orders in coverings of symmetric and alternating[J].Algebra and Logic,1999,38:159-170

[4] KONDRAT’EV A S,MAZUROV V D.Recognition of alternating groups of prime degree from their element orders[J].Siberian Math,2000,41:294-302

[5] LUCIDO M S,MOGHADDAMFAR A R.Groups with complete prime graph connect components[J].Group Theory,2004,7:373-384

A Proof of Insolubility of Alternating Groups of Higher Degrees

HAO Caipan, LIU Yaping

(Department of Mathematics,Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

A new proof of insolubility of alternating groups of higher degrees is given.This proof is easier to understand than the proof of they are simple groups.

algebraic equation;simple group;alternating group;insolubility

2016-04-12

郝才攀(1988-),女,河北邯鄲人,沈陽工業(yè)大學數(shù)學系在讀碩士研究生,主要從事群論及其應用研究.

1672-2027(2016)02-0017-02

O152.1

A