拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中強(qiáng)傳遞集的一些性質(zhì)

李瑞佳， 朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 611731)

拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中強(qiáng)傳遞集的一些性質(zhì)

李瑞佳， 朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 611731)

在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中傳遞集的基礎(chǔ)上引入強(qiáng)傳遞集的概念。首先證明強(qiáng)傳遞集是嚴(yán)格強(qiáng)于傳遞集的，然后證明兩個(gè)強(qiáng)傳遞集的并是強(qiáng)傳遞的，但傳遞集沒有類似結(jié)果。在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)中分別討論強(qiáng)傳遞集與傳遞點(diǎn)集、回復(fù)點(diǎn)集、軌道集、映射傳遞之間的關(guān)系，得到了存在點(diǎn)x∈X使得x∈Rec(f)，但{x}不是強(qiáng)傳遞集，以及映射f是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)X中的任意非空開集為強(qiáng)傳遞集等一些等價(jià)刻畫和充分性結(jié)果，并且在符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)中利用強(qiáng)傳遞集證明了任意有限長(zhǎng)度柱形都為傳遞集，從而推廣了相關(guān)文獻(xiàn)得到的結(jié)果，最后通過反例證明了強(qiáng)傳遞集與映射傳遞集Transf是互不蘊(yùn)含的。

拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)；強(qiáng)傳遞集；符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)

引 言

2011年，Oprocha P等提出了拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中傳遞集的概念并獲得了傳遞集的一些充分條件與充要條件[1]。隨后，文獻(xiàn)[2]在超空間上，對(duì)傳遞集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行討論，得到了一些創(chuàng)新性的研究結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[3-5]對(duì)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)和符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的傳遞集進(jìn)行研究，給出了兩類系統(tǒng)中的傳遞子集是弱混合子集的一個(gè)充分條件，更多相關(guān)的研究成果參見文獻(xiàn)[6-11]。本文主要強(qiáng)化傳遞集的條件，進(jìn)而在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中引入強(qiáng)傳遞集的概念，研究強(qiáng)傳遞集與拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中傳遞點(diǎn)構(gòu)成的集合，回復(fù)點(diǎn)構(gòu)成的集合與集軌道的關(guān)系，以及強(qiáng)傳遞集與傳遞函數(shù)的關(guān)系，并且把強(qiáng)傳遞集應(yīng)用到符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)，使文獻(xiàn)[5]的命題2.1得到嚴(yán)格推廣。

動(dòng)力系統(tǒng)相關(guān)概念[12-13]：設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，若U、V?X，則通常用N(U,V)表示集合{n∈+:fn(U)∩V≠φ}，其中+是正整數(shù)集。系統(tǒng)(X,f)或者映射f:X→X稱為是傳遞的，如果對(duì)于任意兩個(gè)非空開集U、V?X有N(U,V)≠φ，稱點(diǎn)x∈X為f的一個(gè)傳遞點(diǎn)，如果，其中orb+(x,f)={x,fx,f2x,…}稱為點(diǎn)x的軌道，設(shè)φ≠A?是點(diǎn)x關(guān)于f的n次迭代，f的所有傳遞點(diǎn)的集合記為Transf，點(diǎn)x∈X稱為一個(gè)回復(fù)點(diǎn)是指存在序列ni→+∞使得fnix→x，并且用Rec(f)記全體回復(fù)點(diǎn)的集合。更一般地，設(shè)φ≠A?X，稱集合A是傳遞的，如果對(duì)于任意兩個(gè)非空開集U、V?X，若U∩A≠φ并且V∩A≠φ，則N(U∩A,V)≠φ。下面，引入強(qiáng)傳遞集的概念：

定義1 設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，φ≠A?X，稱A是強(qiáng)傳遞的，如果對(duì)于X的任意非空開集U、V，若U∩A≠φ，則N(U∩A,V)≠φ。

為了問題討論的需要，設(shè)符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)為：

而

定義σ:∑k→∑k，其中：σ(x)=x1x2…(對(duì)于?x=x0x1…∈∑k)，并稱映射σ為∑k的位移映射。

1 主要結(jié)果及其證明

定理1 強(qiáng)傳遞集一定是傳遞集，但存在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)，它有傳遞集不是強(qiáng)傳遞的，即強(qiáng)傳遞集是嚴(yán)格強(qiáng)于傳遞集的。

證明 由傳遞集與強(qiáng)傳遞集的定義直接得知：強(qiáng)傳遞是傳遞的。下面證明存在傳遞集不是強(qiáng)傳遞的。

設(shè)X=[0,1]，而f:X→X定義為：f(x)=4x(1-x)，x∈X。則(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)。

(1){0}是傳遞集。

N(U∩{0},V)=N({0},V)?N({0},[0,q))=

從而，N(U∩{0},V)≠φ，即{0}是傳遞集。

(2){0}不是強(qiáng)傳遞集。

取X中的開集U=[0,1]，當(dāng)然0∈U，又取V=(0,1)。顯然V為X中的非空開集并且當(dāng)x=0時(shí)，有orb+(x,f)={0}∩V=φ，所以N(U∩{0},V)=N({0},V)=φ。因此，{0}不是強(qiáng)傳遞集。

在文獻(xiàn)[1]中有：設(shè)一個(gè)(X,f)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，x∈Rec(f)當(dāng)且僅當(dāng){x}是傳遞集。結(jié)合定理1，自然可得：

推論1 在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)中，存在x∈X使得x∈Rec(f)，但{x}不是強(qiáng)傳遞集。

定理2 在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)中，任意兩個(gè)強(qiáng)傳遞集的并集一定是強(qiáng)傳遞集。

證明 設(shè)A,B為拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)的任意兩個(gè)強(qiáng)傳遞集。任取X中的任意非空開集U、V，滿足U∩(A∪B)≠φ，不妨設(shè)U∩A≠φ，因?yàn)锳是強(qiáng)傳遞集，所以N(U∩A,V)≠φ。從而N(U∩A,V)?N(U∩(A∪B),V)≠φ，所以A∪B是強(qiáng)傳遞集。

定理3 存在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)，它的兩個(gè)傳遞集的并集不是傳遞的。即，兩個(gè)傳遞集的并集不一定是傳遞集。

取非空集合A?[0,1]，B={2}有A、B都是傳遞集，但A∪B不是傳遞集。

再任取X中的任意非空開集U、V，滿足U∩A≠φ且V∩A≠φ。因?yàn)閁∩A也為X中的開集，所以存在m∈+使得

又因?yàn)閒m(B)=[0,1]?fm(A∩U)，所以fm(A∩U)∩V≠φ，即N(U∩A,V)≠φ，所以A是傳遞集。任取X中的任意非空開集U、V，滿足U∩B≠φ且V∩B≠φ。因?yàn)閒(U∩B)=2∈V，所以有N(U∩B,V)≠φ，所以B是傳遞集。但A∪B不是傳遞集，事實(shí)上，取X中的開集U=[0,1]，V={2}，滿足U∩(A∪B)≠φ，V∩(A∪B)≠φ，顯然有N(U∩(A∪B),V)?N(U,V)=φ，所以A∪B不是傳遞集。

系統(tǒng)(X,f)傳遞的一個(gè)等價(jià)刻畫：

定理4 設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，f是傳遞的當(dāng)且僅當(dāng)X中的任意非空開集為強(qiáng)傳遞集。

證明 必要性，設(shè)A為X中的任意非空開集，因?yàn)閒是傳遞的，所以對(duì)X的任意兩個(gè)非空開集U，V有N(U,V)≠φ。令W=U∩A，由A為X中的開集得W也為X中的開集。若W≠φ，則N(W,V)≠φ，所以A為強(qiáng)傳遞集。

充分性，任取X中的非空開集U、V，因?yàn)閁是強(qiáng)傳遞集并且U不是空集，所以N(U∩U,V)≠φ，即N(U,V)≠φ，所以f是傳遞的。

定理4證明了：拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)中，f是傳遞函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)X是強(qiáng)傳遞集。于是，有如下推論：

推論2 設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，則以下命題等價(jià)：

(1)f是傳遞的；

(2)X是強(qiáng)傳遞集；

(3)X中的任意非空開集為強(qiáng)傳遞集。

證明 設(shè)A為強(qiáng)傳遞集，則對(duì)X的任意非空開集U、V，若有U∩A≠φ，則N(U∩A,V)≠φ，即對(duì)X的任意非空開集V存在m∈+使得fm(U∩A)∩V≠φ，因此。反過來，對(duì)X的任意開集U，若有A∩U≠φ，因?yàn)?，所以?duì)X的任意非空開集V存在m∈+使得fm(U∩A)∩V≠φ，從而對(duì)X的任意非空開集U、V，若有U∩A≠φ，則N(U∩A,V)≠φ，所以A是強(qiáng)傳遞集。

推論3 設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)，x∈X。若x∈Transf當(dāng)且僅當(dāng){f(x)}是強(qiáng)傳遞集。

定理6 符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)(∑k,σ)中任意有限長(zhǎng)度柱形是一個(gè)強(qiáng)傳遞集。

因?yàn)槿我鈴?qiáng)傳遞集為傳遞集，所以符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)(∑k,σ)中任意有限長(zhǎng)度柱形都為傳遞集，這是文獻(xiàn)[5]中命題2.1的推廣。

最后，討論在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中強(qiáng)傳遞集與傳遞點(diǎn)集之間的關(guān)系。

定理7 存在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(X,f)，Transf不是強(qiáng)傳遞集也存在系統(tǒng)(X,f)，它有強(qiáng)傳遞集不是Transf。

2 結(jié)束語(yǔ)

本文在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中提出的強(qiáng)傳遞集強(qiáng)化了傳遞集的條件，得到了一些比傳遞集更好的性質(zhì)。另外，通過對(duì)強(qiáng)傳遞集與傳遞點(diǎn)集、回復(fù)點(diǎn)集以及映射傳遞性之間關(guān)系的研究，豐富了拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)傳遞性理論。

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Some Properties of Strong Transitive Sets on Topological Dynamical System

LIRuijia,ZHUPeiyong

(School of Mathematical Science, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

The concept of strong transitive sets on the basis of transitive sets in topological dynamical systems are introduced. First, it is proved that the strong transitive set is strictly stronger than the transitive set, and then it is proved that the union of two strong transitive sets is strong transitive set, but the transitive sets have no similar results. Then, the relationships between the strong transitive set, the transitive point set, the recurrent point set, the orbit set, and the transitive map in topological dynamical systems(X,f) are discussed. The x∈X such that x∈Rec(f), but{x}is not a strong transitive set, and the mapping of f is transitive if and only if the arbitrary nonempty open set is strong transitive set and so on.Besides, some equivalent characterizations and sufficient results are obtained. And in the symbolic dynamical system, the strong transitive set is used to prove that any finite length cylinder is a transitive set, which generalizes a result obtained by Liu Lei in the near future. Finally, the counter example shows that strong transitive set and Transfare not implied in each other.

topological dynamical system; strong transitive set; symbolic dynamical system

2016-09-02

國(guó)家自然科學(xué)基金(11501391)

李瑞佳(1992-)，男，四川自貢，碩士生，從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)方面的研究，(E-mail)1142698760@qq.com; 朱培勇(1956-)，男，四川自貢，教授，主要從事拓?fù)鋵W(xué)和混沌理論方面的研究，(E-mail)zpy6940@sina.com

1673-1549(2016)06-0090-04

10.11863/j.suse.2016.06.18

O189.11

A