基于蘭徹斯特方程的體系對(duì)抗過程分析與評(píng)估方法

叢紅日，褚 政，丁光強(qiáng)

（1.海軍航空工程學(xué)院指揮系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍裝備部駐上海地區(qū)軍事代表局，上海200129）

基于蘭徹斯特方程的體系對(duì)抗過程分析與評(píng)估方法

叢紅日1，褚 政1，丁光強(qiáng)2

（1.海軍航空工程學(xué)院指揮系，山東煙臺(tái)264001；2.海軍裝備部駐上海地區(qū)軍事代表局，上海200129）

以經(jīng)典蘭徹斯特方程為基礎(chǔ)，通過對(duì)蘭徹斯特方程的重新解釋和推導(dǎo)以及對(duì)體系對(duì)抗過程本質(zhì)的分析，建立了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程，為體系對(duì)抗作戰(zhàn)過程的定量分析提供了基本工具和方法。在此基礎(chǔ)上，分析了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用方法，給出了解算體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的具體方法。最后，通過一個(gè)實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程及其解算方法的合理性。

蘭徹斯特方程；體系對(duì)抗；評(píng)估方法；作戰(zhàn)模型；體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程

信息化戰(zhàn)爭(zhēng)背景下的體系對(duì)抗，是指依靠完整的作戰(zhàn)體系所具有的總體能力與對(duì)手所進(jìn)行的對(duì)抗[1]。在體系對(duì)抗中，作戰(zhàn)能力的大小不是取決于兵力規(guī)模的大小和單件武器裝備的性能，而主要取決于由各種作戰(zhàn)要素聚合而成的完整作戰(zhàn)體系的總體能力[2]。

體系對(duì)抗中，構(gòu)成作戰(zhàn)體系的諸多要素之間的關(guān)系非常復(fù)雜[3]，不僅作戰(zhàn)體系的能力形成機(jī)制和形成方式呈現(xiàn)典型的非線性特征[4]，而且體系對(duì)抗既是交戰(zhàn)雙方各作戰(zhàn)要素之間的直接對(duì)抗，如平臺(tái)與平臺(tái)之間的對(duì)抗，又是作戰(zhàn)體系總體能力之間的對(duì)抗[5]。

進(jìn)行體系對(duì)抗時(shí)，必須首先對(duì)作戰(zhàn)過程和作戰(zhàn)結(jié)果科學(xué)進(jìn)行規(guī)劃和預(yù)測(cè)，才能把握住主動(dòng)權(quán)，贏得最后勝利[6]。因此，必須對(duì)體系對(duì)抗科學(xué)地加以評(píng)估和研究，尤其是定量分析[7-8]。

作戰(zhàn)是一種典型的對(duì)抗且此消彼長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)過程，而蘭徹斯特方程以微分方程的形式描述作戰(zhàn)過程的對(duì)抗性和動(dòng)態(tài)性，反映了作戰(zhàn)過程的本質(zhì)特性[9-10]。因此，本文基于蘭徹斯特方程，對(duì)體系對(duì)抗的作戰(zhàn)過程進(jìn)行初步的定量分析與評(píng)估。

1 基于蘭徹斯特方程的體系對(duì)抗模型構(gòu)建

1.1 經(jīng)典蘭徹斯特方程

經(jīng)典的單兵種蘭徹斯特方程為[11]：

式（1）中：x、y分別是甲、乙雙方的兵力數(shù)量，即作戰(zhàn)單位的數(shù)量；a、b分別是甲、乙雙方的毀傷系數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)作戰(zhàn)單位的毀傷能力，是一個(gè)常量。

a×x、b×y分別是交戰(zhàn)雙方單位時(shí)間內(nèi)對(duì)于對(duì)方的毀傷能力，即單位時(shí)間內(nèi)甲乙雙方的作戰(zhàn)能力。

經(jīng)典蘭徹斯特方程中，作戰(zhàn)過程和結(jié)果由交戰(zhàn)雙方的初始兵力數(shù)量及其毀傷系數(shù)確定。其中，兵力數(shù)量作為變量，毀傷系數(shù)作為常量處理。這蘊(yùn)含了2個(gè)基本假定：一是每個(gè)作戰(zhàn)單位的毀傷能力均相同；二是每個(gè)作戰(zhàn)單位的毀傷能力在作戰(zhàn)過程中不發(fā)生變化，而發(fā)生變化的僅是兵力數(shù)量。此外，還有其他形式的蘭徹斯特方程，如多兵種蘭徹斯特方程等。但所有其他形式的蘭徹斯特方程，都是在經(jīng)典單兵種蘭徹斯特方程的基礎(chǔ)上發(fā)展而來[12-13]。

1.2 以作戰(zhàn)能力為核心的蘭徹斯特方程

在經(jīng)典蘭徹斯特方程中，主要關(guān)注兵力數(shù)量的變化。因此，把兵力數(shù)量作為變量來處理。在現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)條件下，兵力數(shù)量已經(jīng)成為了次要問題，而交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力才是關(guān)注的重點(diǎn)[14]。因此，可以通過對(duì)蘭徹斯特方程的思想來描述和解決作戰(zhàn)問題。

作戰(zhàn)能力是指破壞、削弱對(duì)方的作戰(zhàn)能力的同時(shí)保護(hù)己方作戰(zhàn)能力免受對(duì)方損害的一種綜合能力。作戰(zhàn)能力事實(shí)上就是戰(zhàn)斗力，涉及人、武器、體制編制、作戰(zhàn)指揮、作戰(zhàn)保障等眾多因素，非常復(fù)雜。

需要說明的是，在蘭徹斯特方程中，主要體現(xiàn)對(duì)于對(duì)方的作戰(zhàn)能力進(jìn)行破壞、削弱的一種能力，即攻擊作戰(zhàn)能力，而保護(hù)己方作戰(zhàn)能力免受對(duì)方損害的能力即防御作戰(zhàn)能力則蘊(yùn)含其中。

基于對(duì)作戰(zhàn)能力的理解，主要關(guān)注作戰(zhàn)能力在作戰(zhàn)過程中的變化，則蘭徹斯特方程可改寫為：

式（2）與式（1）的區(qū)別在于：x、y是作為常量來處理，a、b則作為變量。常規(guī)表述中，通常以x、y為變量，為了與通常的表述習(xí)慣相一致，則式（2）可變?yōu)椋?/p>

式（3）與式（1）在形式上完全相同，但其本質(zhì)已發(fā)生了根本變化。式（3）中，a、b分別表示交戰(zhàn)甲、乙雙方的兵力數(shù)量，即作戰(zhàn)單位的數(shù)量；x、y則分別表示甲、乙雙方單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)作戰(zhàn)單位的的作戰(zhàn)能力，即作戰(zhàn)能力系數(shù)。顯然，a×x、b×y仍然是交戰(zhàn)甲乙雙方單位時(shí)間內(nèi)的作戰(zhàn)能力。這里，a、b不是變量，而是作為常量來處理。

1.3 蘭徹斯特方程的歸一化處理與體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的建立

因?yàn)槭剑?）中的x、y或是在式（3）中的a、b的取值與所采用的單位密切相關(guān)，而采用什么單位來表示兵力數(shù)量對(duì)蘭徹斯特方程并沒有本質(zhì)影響。例如，如果以“連”為作戰(zhàn)單位時(shí)，兵力數(shù)量為3。假設(shè)1個(gè)營(yíng)共有3個(gè)連，則與以“營(yíng)”為作戰(zhàn)單位時(shí)兵力數(shù)量為1，這是完全相同的。如果以“連”為作戰(zhàn)單位，假設(shè)3個(gè)連中2個(gè)已經(jīng)被消滅，則只剩下1個(gè)連。但如果以“營(yíng)”為單位，則仍然可以看做是1個(gè)營(yíng)，只不過該營(yíng)的作戰(zhàn)能力已被大大削弱。也就是說，可以認(rèn)為作戰(zhàn)單位的數(shù)量不發(fā)生變化，變化的只是作戰(zhàn)單位的作戰(zhàn)能力。依次類推，直至把交戰(zhàn)雙方的所有參戰(zhàn)兵力看做是1個(gè)整體，雙方均為1個(gè)作戰(zhàn)單位，即

則式（3）變?yōu)?/p>

式（5）中，x、y分別是交戰(zhàn)甲乙雙方在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)于對(duì)方整體作戰(zhàn)能力進(jìn)行破壞或削弱的能力，即體系對(duì)抗作戰(zhàn)能力系數(shù)。至于這一能力是表現(xiàn)為消滅對(duì)方的兵力，還是破壞對(duì)方的武器裝備，乃至于破壞或削弱對(duì)方的指揮控制、作戰(zhàn)保障、軍心士氣、戰(zhàn)爭(zhēng)潛力等，皆無不可。

顯然，x、y的取值范圍為：

式（5）中，交戰(zhàn)雙方的所有參戰(zhàn)兵力均被作為統(tǒng)一整體來看待和處理，x、y所表示的作戰(zhàn)能力事實(shí)上是交戰(zhàn)雙方的體系作戰(zhàn)能力。因此，式（5）是描述體系對(duì)抗作戰(zhàn)過程的基本方程，稱為體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程，或面向體系對(duì)抗的作戰(zhàn)方程。該方程形式雖簡(jiǎn)單，但卻深刻反映了對(duì)抗作戰(zhàn)過程的本質(zhì)。

2 體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的應(yīng)用方法

2.1 體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程用于理論分析的基本方法

經(jīng)典蘭徹斯特方程曾廣泛應(yīng)用于傳統(tǒng)作戰(zhàn)的理論分析，例如沙基昌教授以經(jīng)典蘭徹斯特方程為基礎(chǔ)創(chuàng)立了數(shù)理戰(zhàn)術(shù)學(xué)[9]，體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程也能夠?yàn)楝F(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)條件下的體系對(duì)抗作戰(zhàn)的理論分析和研究提供基礎(chǔ)。

其基本方法主要有2種：一是以體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程為基礎(chǔ)，結(jié)合體系對(duì)抗的具體特征，采用一定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析與推導(dǎo)，得出能用于指導(dǎo)體系對(duì)抗作戰(zhàn)的結(jié)論。二是首先采用某種方法確定出交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，即x、y的具體函數(shù)表達(dá)；再以體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程為基礎(chǔ)，采用數(shù)值分析或仿真計(jì)算等方法進(jìn)行分析、計(jì)算；進(jìn)而通過對(duì)計(jì)算分析結(jié)果的研究總結(jié)出x、y在特定函數(shù)表達(dá)特別是在典型函數(shù)表達(dá)情況下體系對(duì)抗作戰(zhàn)過程的基本規(guī)律，用于指導(dǎo)體系對(duì)抗作戰(zhàn)。

2.2 體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的解算方法

由于體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程表現(xiàn)為微分方程，更重要的是x、y的取值，或者說是其函數(shù)表達(dá)，是后驗(yàn)的而通常不會(huì)是先驗(yàn)的，即x、y的取值通常需要隨著作戰(zhàn)過程的展開不斷進(jìn)行調(diào)整[15]，因而如果使用體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程對(duì)某一次具體的體系對(duì)抗作戰(zhàn)的動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行定量分析，直接解算該微分方程，不但計(jì)算不方便，而且也不科學(xué)，宜采用分步解算法。

所謂分步解算，就是以單位時(shí)間（即時(shí)間周期）為步長(zhǎng)進(jìn)行遞推，區(qū)分時(shí)間周期一步一步依次進(jìn)行解算。具體解算方法如圖1所示。

1）確定單位時(shí)間。x、y均為單位時(shí)間的作戰(zhàn)能力，時(shí)間單位不同，x、y的取值必然不同[16]。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合作戰(zhàn)規(guī)模、作戰(zhàn)持續(xù)時(shí)間等實(shí)際情況合理確定時(shí)間單位的顆粒度，如持續(xù)時(shí)間短的小規(guī)模戰(zhàn)斗通常應(yīng)以小時(shí)為單位，持續(xù)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)的中等規(guī)模的戰(zhàn)斗或戰(zhàn)役一般以天為單位，而戰(zhàn)爭(zhēng)則可以以周甚至月為單位。以上只是基本原則，具體使用時(shí)應(yīng)視情而定。

圖1體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程解算方法示意圖Fig.1 Schematic diagram of computing method

2）確定x0、y0的值。x0、y0即作戰(zhàn)起始時(shí)x、y的值。需要采用一定的方法經(jīng)科學(xué)評(píng)估得出。評(píng)估方法見文獻(xiàn)[17]。

3）計(jì)算下一時(shí)間周期x、y的值。使用體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程，即式（5），計(jì)算出下一個(gè)時(shí)間周期x、y的值。即：

式中，n為自然數(shù)，為時(shí)間周期數(shù)的度量，即第幾個(gè)時(shí)間周期。

4）歸一化處理。進(jìn)行歸一化處理，就是要把交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力系數(shù)始終調(diào)整為對(duì)于對(duì)方整體的作戰(zhàn)能力系數(shù)，以正確反映作戰(zhàn)過程中雙方作戰(zhàn)能力此消彼長(zhǎng)的實(shí)際情況。

這里假定經(jīng)過一個(gè)時(shí)間周期的作戰(zhàn)，一方對(duì)另一方的作戰(zhàn)既削弱了對(duì)方的攻擊能力，也同比例地削弱對(duì)方的防御能力。當(dāng)然，這一假定不能始終成立，但在大多數(shù)情況下，可以認(rèn)為該假定是成立的。如果該假定不成立，則需要在步驟5）中對(duì)x、y的取值進(jìn)行必要調(diào)整。

歸一化處理的方法為：

5）對(duì)該時(shí)間周期x、y的取值進(jìn)行調(diào)整。使用某種評(píng)估方法，對(duì)交戰(zhàn)雙方在該時(shí)間周期的作戰(zhàn)能力進(jìn)行評(píng)估，并把評(píng)估結(jié)果與步驟4）中經(jīng)計(jì)算得出的值進(jìn)行比較，如果相符，則說明2種評(píng)估方法殊途同歸，如果差異較大，則需要對(duì)造成差異的原因進(jìn)行分析。一般是因?yàn)樵谧鲬?zhàn)過程中由于作戰(zhàn)指揮、作戰(zhàn)保障等因素發(fā)生了比較重大的變化；或是由于增援、補(bǔ)充等使交戰(zhàn)中的一方甚至雙方的作戰(zhàn)能力發(fā)生了較大變化；或者是由于一方或雙方由于重要目標(biāo)、重要節(jié)點(diǎn)遭到攻擊后作戰(zhàn)能力發(fā)生了顯著變化，等等?？傊?，體現(xiàn)了體系對(duì)抗非線性作戰(zhàn)的典型特征。此時(shí)，須把2種方法評(píng)估的結(jié)果進(jìn)行綜合，得出一個(gè)相對(duì)合理、準(zhǔn)確的x、y在該時(shí)間周期的取值。

6）對(duì)作戰(zhàn)結(jié)束條件進(jìn)行評(píng)判。此對(duì)作戰(zhàn)結(jié)束條件進(jìn)行評(píng)判主要基于作戰(zhàn)本身來考察作戰(zhàn)結(jié)束的條件。一般情況下，可把交戰(zhàn)雙方作戰(zhàn)能力的對(duì)比作為作戰(zhàn)結(jié)束的評(píng)判條件。在作戰(zhàn)過程中，交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力的變化非常復(fù)雜。但由于單位時(shí)間取值不同所帶來的影響，雙方作戰(zhàn)能力系數(shù)的絕對(duì)值并不能說明問題，關(guān)注雙方作戰(zhàn)能力的比較。應(yīng)首先把該時(shí)間周期雙方作戰(zhàn)能力相除，得出比值K=x/y。至于K為多大才能作為作戰(zhàn)結(jié)束的判定條件要視情而定。一般分3種情況：①該比值已足夠大（或足夠小），如達(dá)到10以上（或0.1以下），而且還一直呈擴(kuò)大（或縮小）的趨勢(shì)，則說明雙方的實(shí)力懸殊越來越大，可以認(rèn)定作戰(zhàn)結(jié)束（一方取勝）；②該比值始終在初始值附近小范圍變動(dòng)，這說明隨著作戰(zhàn)進(jìn)程的展開，雙方實(shí)力對(duì)比基本上沒有變化，雙方均無取勝的希望；③該比值逐漸向1收斂，這說明經(jīng)過一段時(shí)間的作戰(zhàn)后雙方勢(shì)均力敵，繼續(xù)作戰(zhàn)只可能相互消耗、同歸于盡，則也說明作戰(zhàn)應(yīng)該結(jié)束（如通過談判），可以作為作戰(zhàn)結(jié)束的判定條件。

如果經(jīng)判定認(rèn)為滿足了作戰(zhàn)結(jié)束的條件，則作戰(zhàn)結(jié)束，計(jì)算和分析過程也隨之結(jié)束。反之，如果經(jīng)判定認(rèn)為不滿足作戰(zhàn)結(jié)束的條件，則轉(zhuǎn)入步驟2），進(jìn)入下一時(shí)間周期的計(jì)算與分析，如此循環(huán)往復(fù)，直至滿足作戰(zhàn)結(jié)束的條件，過程結(jié)束。

3 算例

假設(shè)作戰(zhàn)起始時(shí)交戰(zhàn)雙方的作戰(zhàn)能力系數(shù)分別為：x0=0.2、y0=0.1。

為了簡(jiǎn)化問題，進(jìn)一步假設(shè)交戰(zhàn)雙方在作戰(zhàn)過程中作戰(zhàn)指揮、作戰(zhàn)保障、環(huán)境條件等不發(fā)生明顯變化，也沒有補(bǔ)充或增援，也不考慮采用非線性作戰(zhàn)方法所帶來的作戰(zhàn)能力的變化，也就是說，在每一時(shí)間周期均不對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results

計(jì)算結(jié)果可見：在其他條件不變的情況下，隨著作戰(zhàn)過程的持續(xù)，雙方的作戰(zhàn)能力不斷發(fā)生變化，而且初始能力較強(qiáng)的一方，其作戰(zhàn)能力不斷提高；而初始作戰(zhàn)能力較弱的一方，其作戰(zhàn)能力則持續(xù)降低，雙方作戰(zhàn)能力的對(duì)比越來越向著初始作戰(zhàn)能力較強(qiáng)的一方傾斜。在本例中，經(jīng)過4個(gè)時(shí)間周期后，雙方作戰(zhàn)能力之間的比值已由初始作戰(zhàn)時(shí)的2提高到了超過10的水平，這充分說明了初始作戰(zhàn)能力的重要性。因此，在戰(zhàn)前，應(yīng)著力加強(qiáng)己方作戰(zhàn)能力建設(shè)，力爭(zhēng)處于優(yōu)勢(shì)地位。這一結(jié)果也與集中優(yōu)勢(shì)等軍事常識(shí)相一致。

當(dāng)然，交戰(zhàn)雙方在作戰(zhàn)過程中其戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)、作戰(zhàn)保障等影響作戰(zhàn)能力的因素會(huì)不斷進(jìn)行調(diào)整，如果方法得當(dāng)或條件有利時(shí)，甚至?xí)儽粍?dòng)為主動(dòng)、變?nèi)鮿?shì)為優(yōu)勢(shì)，這在戰(zhàn)爭(zhēng)史上也屢見不鮮。這也正是2.2節(jié)中的解算方法步驟5）中為什么專門需要對(duì)雙方的作戰(zhàn)能力進(jìn)行調(diào)整的原因所在，否則，體系對(duì)抗就不能正確地反映和描述體系對(duì)抗作戰(zhàn)的復(fù)雜情況。

4 結(jié)束語

體系對(duì)抗作戰(zhàn)過程的定量分析非常復(fù)雜，本文以經(jīng)典蘭徹斯特方程為基礎(chǔ)，通過對(duì)蘭徹斯特方程的重新解釋和推導(dǎo)以及對(duì)體系對(duì)抗過程本質(zhì)的分析，建立了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程，為體系對(duì)抗作戰(zhàn)過程的定量分析提供了基本工具和方法。在此基礎(chǔ)上，分析了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用方法，給出了解算體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的具體方法。最后，通過一個(gè)實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程及其解算方法的合理性。

需要說明的是，使用體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程進(jìn)行計(jì)算和分析時(shí)，x、y所代表的作戰(zhàn)能力系數(shù)需要采用某種評(píng)估方法得出，在本文中是作為已知量來處理。因此，體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的應(yīng)用，必須與其他作戰(zhàn)能力評(píng)估方法相結(jié)合。也就是說，本文提出的基于體系對(duì)抗作戰(zhàn)方程的體系對(duì)抗分析評(píng)估方法與其他作戰(zhàn)能力評(píng)估方法應(yīng)相互補(bǔ)充，相互協(xié)作，共同解決體系對(duì)抗作戰(zhàn)定量分析研究的問題。

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SoS Combat Process Analysis and Evaluation Method Based on Lanchester Equation

CONG Hongri1,CHU Zheng1,DING Guangqiang2
（1.Department of Command,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.Military Representatives Bureau of NED in Shanghai,Shanghai 200129,China）

Based on classical Lanchester equation,by re-explaining and deducing Lanchester equation,and analysing the inbeing of SoS Combat,the SoS Combat equation was set up.It could offer the basic tool and method for quantificationally analyzing the SoS Combat course.On this base,the applying domain and method of SoS Combat equation were analyzed, and the detailed calculating method is offered.In the end,the rationality of the SoS Combat equation and its calculating method was validated by a practical calculation example.

Lanchester equation;SoS combat;evaluation method;operating model;SoS combat equation

E843

A

1673-1522（2016）06-0666-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.06.012

2016-09-28；

2016-10-13

叢紅日（1966-），男，副教授，博士。