單片空間后方交會(huì)內(nèi)部可靠性研究

吳 磊

（1.廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510500）

單片空間后方交會(huì)內(nèi)部可靠性研究

吳 磊1

（1.廣東省國(guó)土資源測(cè)繪院，廣東 廣州 510500）

根據(jù)Baarda的可靠性理論，以空間后方交會(huì)為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停谄讲钸^程中引入虛擬控制點(diǎn)和控制點(diǎn)整體平差，并運(yùn)用數(shù)據(jù)探測(cè)法進(jìn)行單個(gè)粗差探測(cè)。實(shí)驗(yàn)表明，加入虛擬控制點(diǎn)，能適當(dāng)提高每個(gè)觀測(cè)值上的多余觀測(cè)分量，減小控制點(diǎn)上粗差可發(fā)現(xiàn)的下界值。使用Baarda數(shù)據(jù)探測(cè)法檢測(cè)粗差更有效，提高了該平差系統(tǒng)的內(nèi)部可靠性。當(dāng)網(wǎng)形結(jié)構(gòu)不好、多余觀測(cè)分量過少時(shí)，這種方法還能探測(cè)到數(shù)據(jù)探測(cè)法不能探測(cè)到的粗差。

空間后方交會(huì)；數(shù)據(jù)探測(cè)法；內(nèi)部可靠性；粗差探測(cè)

由于各種因素的影響，觀測(cè)值中常帶有一定數(shù)量的粗差，如果對(duì)數(shù)據(jù)直接處理，會(huì)損壞參數(shù)估計(jì)的精度。因此，平差中需要探測(cè)粗差并排除或減弱粗差對(duì)數(shù)據(jù)處理的危害[1]。荷蘭Baarda教授在1967年首先提出了平差系統(tǒng)的可靠性理論，并導(dǎo)出了數(shù)據(jù)探測(cè)法[2]；陶本藻在相關(guān)權(quán)陣基礎(chǔ)上，從方差比檢驗(yàn)出發(fā)，構(gòu)建了一種新的數(shù)據(jù)探測(cè)法[3]；陶本藻、施闖等針對(duì)相關(guān)觀測(cè)的粗差探測(cè)，提出了一種基于相關(guān)分析的粗差理論，為多維相關(guān)觀測(cè)粗差的檢測(cè)開辟了一條新途徑[4,5]；於宗儔直接從最小二乘平差系統(tǒng)中的觀測(cè)誤差與殘差的關(guān)系出發(fā)，提出了多個(gè)粗差同時(shí)定位定值的方法[6]。

Baarda提出的測(cè)量平差系統(tǒng)中的單個(gè)模型誤差的可靠性理論已在大地測(cè)量、攝影測(cè)量、工程測(cè)量及變形觀測(cè)中得到廣泛的應(yīng)用，而從單個(gè)模型誤差到多個(gè)模型誤差，從單一備選假設(shè)到2個(gè)備選假設(shè)的發(fā)展，由于研究較為復(fù)雜，目前尚未得到廣泛的應(yīng)用[7]。本文遵循Baarda的可靠性理論與數(shù)據(jù)探測(cè)基本思想，以航空攝影測(cè)量空間后方交會(huì)為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，從觀測(cè)值的單個(gè)粗差出發(fā)，提出了一種外方位元素的求解方案。

1 基于虛擬觀測(cè)的空間后方交會(huì)平差模型

1.1 虛擬控制點(diǎn)的提出

一個(gè)平差系統(tǒng)的圖形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)好后，在一定的觀測(cè)精度下，給定顯著性水平σ0和檢驗(yàn)功效β0，則系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)每個(gè)點(diǎn)上粗差的下界是確定的。在航空及航天攝影測(cè)量中，由于航高及控制點(diǎn)分布的原因，導(dǎo)致圖形結(jié)構(gòu)可能很壞，圖形結(jié)構(gòu)的直接反映就是誤差設(shè)計(jì)矩陣A，如果能改善圖形結(jié)構(gòu)，就可能增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性。本文提出了通過布設(shè)虛擬點(diǎn)，改善圖形結(jié)構(gòu)，然后和地面控制點(diǎn)整體平差，并人為對(duì)控制點(diǎn)引入粗差，使用數(shù)據(jù)探測(cè)法檢測(cè)。

1.2 虛擬控制點(diǎn)的模擬及平差過程

通過最小二乘平差迭代求得的外方位元素值、隨機(jī)生成的像點(diǎn)坐標(biāo)（xv，yv）以及給定的虛擬點(diǎn)深度范圍（Zmin，Zmax），利用共線方程可以生成虛擬點(diǎn)（Xv，Yv），此時(shí)每個(gè)虛擬點(diǎn)的像點(diǎn)坐標(biāo)（xv，yv）及三維坐標(biāo)（Xv，Yv，Zv）都已知，把虛擬點(diǎn)當(dāng)作觀測(cè)值和控制點(diǎn)一起參與下次平差。每一次迭代后通過新的外方位元素生成虛擬點(diǎn)（Xv，Yv），再次平差解算，如此循環(huán)，直到收斂輸出。未知參數(shù)估計(jì)的概略流程圖如圖1。

1.3 函數(shù)模型

圖1 平差流程圖

帶虛擬控制點(diǎn)的后方交會(huì)誤差方程為：

式中，pc、pv分別為控制點(diǎn)和虛擬控制點(diǎn)的權(quán)。

由于虛擬控制點(diǎn)的（Xv，Yv）是在迭代過程中根據(jù)外方位元素最新解算值不斷更新的：

當(dāng)虛擬點(diǎn)參與下次平差逐點(diǎn)組成誤差方程并法化時(shí)，可計(jì)算出lv：

其中，

因此可知：

誤差方程式（1）可變?yōu)椋?/p>

此時(shí)方程的解為：

與嚴(yán)格的最小二乘間接平差模型解相比，N陣多了一項(xiàng)：AvTPvAv。若虛擬控制點(diǎn)也是真實(shí)控制點(diǎn)，此時(shí)外方位元素的最小二乘解為：

1.4 參數(shù)的精度評(píng)定與數(shù)據(jù)探測(cè)

當(dāng)lv≠0，即使用式（7）計(jì)算X時(shí)，QVV陣有如下形式：

當(dāng)lv=0時(shí)，顧及式（5）與式（6），根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播定律，可以得到：

其中，

當(dāng)觀測(cè)值只存在一個(gè)粗差時(shí)，構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)殘差統(tǒng)計(jì)量，使用數(shù)據(jù)探測(cè)法對(duì)其檢驗(yàn)：

其中，

式中，r=2n-6；n為控制點(diǎn)和虛擬控制點(diǎn)總個(gè)數(shù)。

給定閾值Ka，當(dāng)ωi≥Ka，則認(rèn)為該觀測(cè)值可能含有粗差。平差時(shí)計(jì)算出每個(gè)控制點(diǎn)上的統(tǒng)計(jì)量ωi，再根據(jù)給定閾值進(jìn)行粗差檢測(cè)，文中給定Ka=3.29。

1.5 可靠性指標(biāo)[1]

在一個(gè)平差系統(tǒng)中，對(duì)于單個(gè)備選假設(shè)下的可靠性，設(shè)模型誤差為單個(gè)觀測(cè)值上的粗差，給定顯著性水平α0和檢驗(yàn)功效β0，可得到一個(gè)粗差被發(fā)現(xiàn)的下界值：

式中，ri=（QVVPll）ii，為第i個(gè)觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量；δ0為非中心化參數(shù)；σli為第i個(gè)觀測(cè)值的中誤差。

文中還將用到可控性數(shù)值：

1.6 實(shí)際平差解算方法與過程

平差時(shí)，外方位元素的估計(jì)值嚴(yán)格上應(yīng)使用式 （6）算出，此時(shí)觀測(cè)值殘差V與測(cè)量誤差l間關(guān)系式V=- （QvvPll）l不再成立；若使用式（7）計(jì)算，平差的幾何條件QvvPll反映了觀測(cè)值誤差對(duì)改正數(shù)的作用程度。由于該矩陣為冪等矩陣，具有一系列性質(zhì)，從中可以直接得到每個(gè)觀測(cè)值的多余觀測(cè)分量。如果使用式（6）計(jì)算，Qvv則具有式（10）的形式，此時(shí)QvvPll矩陣顯然不是冪等矩陣，其對(duì)角線元素不再反映多余觀測(cè)分量。為了方便分析問題，文中可靠性指標(biāo)多余觀測(cè)分量、可控性數(shù)值、粗差探測(cè)下限中改正數(shù)向量的協(xié)方差陣Qvv使用式（8）計(jì)算，此時(shí)理解為把生成的虛擬控制點(diǎn)加入很小的正態(tài)隨機(jī)誤差，這樣lv便不再為0，求出的QvvPll為冪等矩陣，對(duì)角線元素反映了多余觀測(cè)分量。而使用Baarda數(shù)據(jù)探測(cè)法進(jìn)行粗差探測(cè)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)化殘差統(tǒng)計(jì)量ωi按照式（12）構(gòu)建，其中改正數(shù)向量的協(xié)方差陣QVV按式（10）計(jì)算。

2 算 例

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明

選用某地區(qū)航空區(qū)域網(wǎng)內(nèi)的一張航片為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，航片的外方位元素由光束法區(qū)域網(wǎng)平差求得，由于一張航片覆蓋范圍內(nèi)不可能有大量控制點(diǎn)，因此在本文實(shí)驗(yàn)中，把相片覆蓋范圍內(nèi)的加密點(diǎn)當(dāng)作控制點(diǎn)使用。選用了相片近似標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)位的9個(gè)加密點(diǎn)，從而可以反解得6個(gè)外方位元素。相機(jī)為框幅式相機(jī)；幅面大小為108．000 mm×72．000 mm；像素大小為0．009 mm。

平差過程中參數(shù)說明如下：

1）外方位角元素光束法平差值為：φ=1.286 5°，ω=1.060 2°，κ=-5.547 8°，在有無虛擬控制點(diǎn)2種情況下的初始角元素值都取為：φ=0°，ω=0°，κ=0°。

2）進(jìn)行了6點(diǎn)法和9點(diǎn)法2組實(shí)驗(yàn)解求外方位元素；實(shí)驗(yàn)中分別模擬6個(gè)和9個(gè)虛擬控制點(diǎn)：像點(diǎn)坐標(biāo)（xv，yv）在像平面內(nèi)隨機(jī)生成，高程Zv在（Z0-100 m，Z0-100 m）中隨機(jī)生成，其中Z0為相片覆蓋區(qū)內(nèi)的平均高程，然后按式（2）計(jì)算出虛擬控制點(diǎn)的物方平面坐標(biāo)（Xv，Yv），進(jìn)而可與控制點(diǎn)一起平差計(jì)算。

3）平差過程迭代結(jié)束條件設(shè)置為3個(gè)角元素改正數(shù)都小于0．03'。

2.2 使用9個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

1）首先測(cè)試純控制點(diǎn)解外方位元素，按公式（14）、（15）及ri=（QVVPll）ii分別計(jì)算每個(gè)點(diǎn)上的粗差發(fā)現(xiàn)下限、可控性數(shù)值、多余觀測(cè)分量，結(jié)果如表1（單位權(quán)中誤差為0．003 9 mm，迭代次數(shù)為3）。

表1 無虛擬點(diǎn)時(shí)每個(gè)點(diǎn)位上可靠性指標(biāo)

2）引入9個(gè)虛擬控制點(diǎn)整體平差解求，進(jìn)行了20次實(shí)驗(yàn)，每次虛擬點(diǎn)的像平面坐標(biāo)及Z坐標(biāo)隨機(jī)生成，因此每次虛擬點(diǎn)3個(gè)坐標(biāo)都不同，平差的網(wǎng)形也不同。計(jì)算中控制點(diǎn)、虛擬控制點(diǎn)權(quán)分別設(shè)置為Pc=1，Pv=1/10，可靠性指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2（平均單位權(quán)中誤差為0．002 5 mm，平均迭代次數(shù)為3．3）。

表2 加入虛擬點(diǎn)后每個(gè)點(diǎn)位上可靠性指標(biāo)

3）在純控制點(diǎn)解算未知數(shù)情況下，將確定大小的粗差C，分18次加入到9個(gè)點(diǎn)共18個(gè)坐標(biāo)觀測(cè)值中，即第1次對(duì)第1個(gè)點(diǎn)的x加入粗差后解算，第2次對(duì)第1個(gè)點(diǎn)的y加入粗差，第3次對(duì)第2個(gè)點(diǎn)的x加入粗差，以此類推，直至第18次對(duì)第9個(gè)點(diǎn)的y加入粗差，保證每次觀測(cè)值中只有一個(gè)粗差，在解算過程中使用數(shù)據(jù)探測(cè)法進(jìn)行粗差探測(cè)。表3為引入0．04 mm（4．5個(gè)像素）粗差所統(tǒng)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

表3 無虛擬控制點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差

4）在同時(shí)使用虛擬控制點(diǎn)和控制點(diǎn)求解的情況下，同樣對(duì)9個(gè)控制點(diǎn)的xi、yi分18次加入一定大小的粗差。表4是在2種求解方式下，加入不同大小的粗差，能檢測(cè)到粗差的次數(shù)，表5為引入0．04 mm粗差（4．5個(gè)像素）所統(tǒng)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

表4 粗差探測(cè)統(tǒng)計(jì)表

表5 有虛擬控制點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差

從表1～5可以看出：

1）給定顯著行水平σ0和校驗(yàn)功效β0，實(shí)驗(yàn)中σ0=0.1%，β0=80%，非中心化參數(shù)δ0=4.13。加入虛擬控制點(diǎn)后，每個(gè)控制點(diǎn)的多余觀測(cè)分量適量增加，可控性數(shù)值降低，粗差檢測(cè)的下限降低。

2）令標(biāo)準(zhǔn)化殘差的閾值為Ka=3.29，對(duì)于一定大小的粗差（本次實(shí)驗(yàn)中為2～6個(gè)像素粗差），加入虛擬控制點(diǎn)后的檢測(cè)效率明顯好于只使用控制點(diǎn)。2.3 使用6個(gè)控制點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)

如果只使用地面控制點(diǎn)平差，單位權(quán)中誤差為0．002 6 mm，迭代次數(shù)為3，進(jìn)行20次隨機(jī)模擬虛擬控制點(diǎn)，每次模擬6個(gè)，和地面控制點(diǎn)整體平差，平均單位權(quán)中誤差為0．001 5 mm，平均迭代次數(shù)為3．58次。具體的可靠性指標(biāo)統(tǒng)計(jì)見表6、表7。

表6 無虛擬點(diǎn)時(shí)每個(gè)點(diǎn)位上可靠性指標(biāo)

表7 加入虛擬點(diǎn)后每個(gè)點(diǎn)位上可靠性指標(biāo)

對(duì)于不加虛擬控制點(diǎn)的情況，每次對(duì)每個(gè)點(diǎn)的x或y坐標(biāo)加入0．9 mm（100個(gè)像素）的粗差，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表8；加入虛擬控制點(diǎn)后，加入0．09 mm（10個(gè)像素）的粗差，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表9。

表8 無虛擬控制點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差

表9 有虛擬控制點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差

由以上結(jié)果可知：

1）在一定的圖形條件和觀測(cè)精度下，多余觀測(cè)過少，使用數(shù)據(jù)探測(cè)法探測(cè)粗差是失效的；

2）加入虛擬控制點(diǎn)后，雖然每個(gè)點(diǎn)上的多余觀測(cè)分量無明顯增加，但使得粗差可以探測(cè)，同時(shí)也說明了Baarda的可靠性理論與數(shù)據(jù)探測(cè)并不是統(tǒng)一的[2]。

6點(diǎn)法、9點(diǎn)法點(diǎn)位分布圖分別如圖2、圖3所示。

圖2 6點(diǎn)法點(diǎn)位分布圖

圖3 9點(diǎn)法點(diǎn)位分布圖

3 結(jié) 語(yǔ)

在已設(shè)計(jì)好的網(wǎng)形中，對(duì)模型誤差只存在粗差的情況，粗差的可發(fā)現(xiàn)下界是確定的。如果在平差過程中加入虛擬控制點(diǎn)，降低了粗差可發(fā)現(xiàn)下界閾，提高了數(shù)據(jù)探測(cè)法效率，并在一定條件下探測(cè)出使用數(shù)據(jù)探測(cè)法不可探測(cè)的粗差，提高了后方交會(huì)的內(nèi)部可靠性。

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[2] Baarda W． A Testing Procedure for Use in Geodesy Net Works [J]．Neth． Geod． Publ． on Geodesy,1968 ,2(5):23-31

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P207

B

1672-4623（2016）02-0088-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.02.030

吳磊，工程師，研究方向?yàn)楹娇諗z影測(cè)量與遙感影像處理。

2015-04-03。