直線與圓錐曲線的綜合問題

葉海明

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）24-0102-02

兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究曲線，發(fā)現(xiàn)用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；當(dāng)平面再傾斜一些就可以得到雙曲線，當(dāng)平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點(diǎn)，結(jié)果退化為一條直線。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是平面與圓錐相交的產(chǎn)物。通常我們把圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，直線與圓錐曲線的綜合問題，通常涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)為直線與圓錐曲線相切與相交問題，可以采用幾何方法或代數(shù)方法來(lái)求解。

一、直線與圓的綜合問題

圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，圓有兩個(gè)基本量：圓心、半徑。直線與圓的綜合問題可以用代數(shù)法和幾何法求解，一般情況下，利用幾何法求解直線與圓的綜合問題比較簡(jiǎn)便明了。

例1：已知圓O：x2+y2=4。（1）求過點(diǎn)A（-1，）的圓的切線方程；（2）求過點(diǎn)（1，2）的圓的切線方程。

這時(shí)直線與圓的切線問題，切線問題通常涉及兩種題型：已知切點(diǎn)；未知切點(diǎn)。已知圓心O（0，0），半徑為2。第一小題點(diǎn)A（-1，）是切點(diǎn)，求得直線OA的斜率為-，因?yàn)橹本€OA與切線垂直，則切線的斜率為，可得切線方程為x-y+4=0。第二小題點(diǎn)（1，2）不是切點(diǎn)，這時(shí)就要利用圓心到切線的距離等于半徑這一特征，可設(shè)切線的斜率為k，利用點(diǎn)到直線的距離公式，易得k=0或k=-，即切線方程為y=2或4x+3y-10=0。要注意假設(shè)直線的斜率時(shí)，要考慮直線的斜率是否存在的情況。

例2：已知圓O：x2+y2=8內(nèi)一點(diǎn)P（-1，2），過點(diǎn)P的直線l的斜率為-1，直線l與圓交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。

直線與圓的弦長(zhǎng)問題須借助垂徑定理，運(yùn)用弦心距（即圓心到弦的距離）、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成的直角三角形計(jì)算。已知圓心O（0，0），半徑為2，圓心到直線AB：x+y=1的距離為，從而根據(jù)勾股定理，可得|AB|=。直線與圓的弦長(zhǎng)問題中，上述直角三角形是關(guān)鍵，本質(zhì)上是直角三角形中的三個(gè)量的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。

二、直線與橢圓、雙曲線及拋物線的綜合問題

例3：已知直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A。（1）求實(shí)數(shù)b的值；（2）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。

直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系問題，主要涉及方程的思想和韋達(dá)定理。第一小題是直線與拋物線的切線問題，由y=x+b、x2=4y聯(lián)立方程組，得x2-4x-4b=0，則△=16+16b=0，解得b=-1。直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個(gè)數(shù)問題，利用判別式△與0的大小關(guān)系來(lái)判斷解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷直線與橢圓、雙曲線及拋物線的位置關(guān)系。第二小題是直線與圓的切線問題，求得圓心A（2，1），半徑為2，則圓的方程為（x-2）2+（y-1）2=4。兩題均為切線問題，卻體現(xiàn)了兩種截然不同的解題思路，一個(gè)是代數(shù)方法，另一個(gè)是幾何方法，都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，一個(gè)是幾何問題代數(shù)化，另一個(gè)是代數(shù)問題幾何化。

例4：已知直線l：y=kx+m與雙曲線C：x2-3y2=3交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分線過點(diǎn)A（0，-1），求實(shí)數(shù)的取值范圍。

此題是直線與雙曲線的相交問題，涉及弦的中點(diǎn)問題，又是取值范圍問題，綜合性較強(qiáng)。圓錐曲線中最值與取值范圍問題是解析幾何的核心問題，是?？键c(diǎn)之一。取值范圍問題常常與不等式有關(guān)，求特定字母的取值范圍時(shí)，可首先考慮利用題目給出的幾何元素的位置關(guān)系以及幾何量的代數(shù)關(guān)系，建立特定字母的不等式，從而求得其取值范圍。

根據(jù)題意，由y=kx+m、x2-3y2=3，可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，所以1-3k2≠0且 >0，這里因?yàn)槭乔髮?shí)數(shù)m的取值范圍，所以將參數(shù)m與k分離，則可得m2>3k2-1且1-3k2≠0①。為了求實(shí)數(shù)m的取值范圍，須將參數(shù)k轉(zhuǎn)化為參數(shù)m，所以須尋找關(guān)于參數(shù)m與k的方程。易得線段MN的中點(diǎn)B（），由線段MN垂直于線段AB，所以兩直線的斜率的乘積等于-1，可得3k2=4m+1。代入①式，得m2-4m>0且4m+1>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-0.25，0）U（4，+∞）。

最值與取值范圍問題的求解需注意兩個(gè)方面：一是利用判別式的符號(hào)可限制參數(shù)的取值范圍；二是求解目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，要根據(jù)解析式的特征靈活選擇相應(yīng)的方法：配方法、均值不等式、導(dǎo)數(shù)法等，通常利用前兩種方法，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)在函數(shù)中已經(jīng)考查，一般不會(huì)重復(fù)考查。

例5：已知拋物線C：x2=4y，過點(diǎn)M（0，2）任作一直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。（1）證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；（2）作C的任意一條切線l（不含x軸），與直線x=2相交于點(diǎn)N1，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2-|MN1|2為定值，并求此定值。

定值、定點(diǎn)等問題是一個(gè)熱點(diǎn)，其解法充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想：運(yùn)用坐標(biāo)法逐步將題目條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，然后綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識(shí)化簡(jiǎn)求值。

第一小題設(shè)直線AB的方程為y=kx+2，代入C：x2=4y，得x2-4kx-8=0。設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則有x1x2=-8，直線AO的方程為y=x，直線BD的方程為x=x2，解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x2，），注意得到x1x2=-8及x12=4y1，則有y=-2，所以動(dòng)點(diǎn)D在定直線y=-2上。第二小題依題意，切線l的斜率存在且不等于0，則切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代入C：x2=4y，得x2-4ax-4b=0，由于 =0，得到b=-a2。故切線l的方程為y=ax-a2，分別令y=2，y=-2，得N1、N2的坐標(biāo)分別為（+a，2），（-+a，-2），利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|MN2|2-|MN1|2=8，所以|MN2|2-|MN1|2為定值8。

直線與圓錐曲線的綜合問題本質(zhì)上是以直線與圓錐的位置關(guān)系（相切或相交）為載體，考查切線、相交線、弦長(zhǎng)、最值及取值范圍等問題，直線與圓的問題要注意利用直線與圓的圖像來(lái)輔助解題，而直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題基本上是用代數(shù)方法來(lái)解題，要注意判別式的取值范圍，在有多個(gè)參數(shù)的情況下，要注意建立參數(shù)間的相互聯(lián)系，從而將多個(gè)參數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為單個(gè)參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而求最值及取值范圍。

（責(zé)任編輯 陳 利）