輪換對(duì)稱不等式的證明方法

汕頭澄海蘇北中學(xué)(515829)郝良

輪換對(duì)稱不等式的證明方法

汕頭澄海蘇北中學(xué)(515829)郝良

輪換對(duì)稱不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中很有趣味的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),雖然證明的方法技巧繁多,但是其中大部分的證明方法是有一定規(guī)律性的.本文選擇具有代表性的四個(gè)方法,希望這些易操作的方法可以對(duì)讀者朋友有所幫助.

輪換對(duì)稱不等式 配湊 變換 切線 基本不等式

輪換對(duì)稱不等式涉及的方法是多種多樣的,對(duì)常見(jiàn)的解法歸納一下發(fā)現(xiàn)它們主要有四種,下面針對(duì)這些方法舉例說(shuō)明:

一、配湊法

對(duì)于左右次數(shù)不等的不等式,可以利用重要不等式或者基本不等式“湊”一些項(xiàng)來(lái)輔助證明.

二、變換法

變換是一種十分有用的方法,通常可以起到化繁為簡(jiǎn)的目的,針對(duì)題目的特點(diǎn)選擇合適的變換是使用變換法的要點(diǎn).

例題:已知:a,b,c為三角形三邊,求證:

分析:設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)度為a,b,c,則存在三個(gè)正數(shù)x,y,z,使得

這個(gè)方程有唯一解

利用代換(?),可以簡(jiǎn)潔的證明有關(guān)三角形三邊長(zhǎng)的不等式.形如f(a,b,c)≠g(a,b,c)的不等式在(?)變換后轉(zhuǎn)化為φ(x,y,z)≠ψ(x,y,z),相應(yīng)的條件則由較難的

變?yōu)楸容^容易的

從而達(dá)到化簡(jiǎn)題目的作用.

證明:作變換(?),則(1)等價(jià)于

三、切線法

切線法是解答一類特定問(wèn)題的有利工具,這個(gè)方法體現(xiàn)了不等式和函數(shù)之間巧妙的聯(lián)系,把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問(wèn)題是這個(gè)解法的核心.

證明:設(shè)f(x)=6x3?x2,(0＜x＜1).原不等式即化為

四、利用基本不等式

利用基本不等式是解答輪換對(duì)稱不等式的主要方法,這個(gè)方法的使用首先是要對(duì)題目結(jié)構(gòu)有所了解,利用結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)解題,所以這類題目也比較靈活.

解:由a2+b2≥2ab,得

這里例舉了四個(gè)解答輪換對(duì)稱不等式的方法,雖然這些方法未必面面俱到,但這些方法都是針對(duì)一些有類似特點(diǎn)的問(wèn)題提出的,同類型的題目可以參照使用.

[1]蔣明斌.通過(guò)構(gòu)造“零件不等式”證明不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究. 2008,7.

[2]張祖寅.輪換對(duì)稱不等式的證明技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)參考.2003,4.

[3]姚勇.用Schur分拆方法證明不等式競(jìng)賽題[J].中等數(shù)學(xué).2008,1.