幾類(lèi)代數(shù)、三角問(wèn)題的構(gòu)圓處理

福建省莆田第三中學(xué)(351100)翁國(guó)富

幾類(lèi)代數(shù)、三角問(wèn)題的構(gòu)圓處理

福建省莆田第三中學(xué)(351100)翁國(guó)富

圓是最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的且為人們所熟悉的一種曲線(xiàn),它具有許多優(yōu)美的性質(zhì).一些代數(shù)、三角問(wèn)題,表面上看去似乎與圓沒(méi)有聯(lián)系,但如果細(xì)心觀察,類(lèi)比聯(lián)想,就能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含圓的影子.解題時(shí),如果能根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),通過(guò)構(gòu)造輔助圓,靈活運(yùn)用圓的性質(zhì),往往能獨(dú)辟蹊徑、出奇制勝,使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷巧妙的解決.正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)家斯蒂恩所說(shuō),“如果一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形,那么思維就整體地把握了問(wèn)題,并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”又如笛卡爾所說(shuō),“沒(méi)有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了,因?yàn)橛?幾何)這種方式來(lái)表達(dá)事物是非常有益的”.普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出:加強(qiáng)幾何直觀,重視圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用,鼓勵(lì)學(xué)生借助直觀進(jìn)行思考,借助幾何直觀,揭示代數(shù)問(wèn)題的性質(zhì)和關(guān)系.下面舉例說(shuō)明幾類(lèi)代數(shù)、三角問(wèn)題的構(gòu)圓處理.

1.等式求值問(wèn)題的構(gòu)圓處理

例1已知7sinα+24cosα=25,求tanα的值.(2007年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)選試題)

(2008年全國(guó)高考江蘇卷(理)題(8)(答案:B))

2.條件等式證明問(wèn)題的構(gòu)圓處理

3.解方程(組)問(wèn)題的構(gòu)圓處理

評(píng)注本題有多種解法,這里從方程的結(jié)構(gòu)特征入手,賦等式以新的幾何解釋,解法標(biāo)新立異,給人以耳目一新之感.

第2屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

簡(jiǎn)析第二個(gè)方程含有”x2+y2”,由此構(gòu)造圓x2+y2=3?z2.由前兩個(gè)方程知直線(xiàn)x+y+(z?3)=0與該圓有公共點(diǎn)(x,y),其充要條件是圓心到直線(xiàn)的距離不大于半徑,即得(z?1)2≤0,由此易得z=1,同理可得x=y=1.可見(jiàn)前兩個(gè)方程有唯一組實(shí)數(shù)解x=y=z=1,它也適合第三個(gè)方程,故為原方程組的唯一組實(shí)數(shù)解.

4.不等式證明問(wèn)題的構(gòu)圓處理

例7記a,b,c為直角三角形ABC的兩直角邊和斜邊的長(zhǎng),求證a+b≤(加拿大第1屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

簡(jiǎn)析顯然有a2+b2=c2,構(gòu)造平面ao′b內(nèi)的圓

設(shè)a+b=m(m＞0),則直線(xiàn)

即a+b?m=0(m＞0)與此圓有公共點(diǎn)(a,b).由圓心到此直線(xiàn)的距離不大于半徑得

即原不等式成立.

5.取值范圍問(wèn)題的構(gòu)圓處理

例9已知1?3b,2a,1+3b成等比數(shù)列,則u=8a+9b的取值范圍是___.(第19屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)

簡(jiǎn)析由1?3b,2a,1+3b成等比數(shù)列得

6.最大(小)值問(wèn)題的構(gòu)圓處理

例11已知x2+y2+5x=0,求z=3x+4y的最小值.( 2007年大理市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

簡(jiǎn)析由已知等式構(gòu)造圓

則直線(xiàn)z=3x+4y,即3x+4y?z=0與該圓有公共點(diǎn)(x,y).由

得?20≤z≤50.則z的最小值為?20.

即x+y+1?u=0.此直線(xiàn)與單位圓有公共點(diǎn)(x,y),由

得

例13已知a,b∈R,關(guān)于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一個(gè)實(shí)根,求a2+b2的最小值.(2011年湖北省預(yù)賽高一試題)

簡(jiǎn)析構(gòu)造平面aOb內(nèi)的圓a2+b2=r2.設(shè)m是原方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則

(顯然m≠0).它表示平面aOb內(nèi)的直線(xiàn),此直線(xiàn)與圓a2+b2=r2有公共點(diǎn)(a,b),由

由上觀之,通過(guò)構(gòu)圓處理,使以上幾類(lèi)代數(shù)、三角問(wèn)題獲得了巧妙簡(jiǎn)捷的解決,在思路和方法方面有著出奇制勝之妙,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性和無(wú)窮魅力.這種從數(shù)、式中發(fā)現(xiàn)形的信息,借助形的性質(zhì)解決數(shù)的問(wèn)題的訓(xùn)練,不僅有利于開(kāi)拓和優(yōu)化學(xué)生的解題思路,而且對(duì)促進(jìn)知識(shí)的融匯貫通,加強(qiáng)知識(shí)間的橫向聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力,不無(wú)裨益,正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》所強(qiáng)調(diào)的:“教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系,通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、知識(shí)的遷移和應(yīng)用等方式,使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的整體性,進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),提高解決問(wèn)題的能力”.