應(yīng)用于高動態(tài)接收機的分數(shù)階傅里葉變換實現(xiàn)

董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學(xué) 儀器儀表工程，上海200240）

應(yīng)用于高動態(tài)接收機的分數(shù)階傅里葉變換實現(xiàn)

董俊翔，趙健康，朱程廣，夏 軒

（上海交通大學(xué) 儀器儀表工程，上海200240）

針對傳統(tǒng)的FFT在高動態(tài)環(huán)境下難以長時間對高動態(tài)信號進行相干累積的難題，以及為了達到對高動態(tài)信號進行更有效跟蹤的目的，利用FrFT運算瞬時頻率隨時間呈線性變化的性質(zhì)，將其應(yīng)用到高動態(tài)接收機中去，對多普勒頻率和多普勒頻率變化率同時進行補償。運用基于Closed-form算法實現(xiàn)FrFT運算，并設(shè)計高動態(tài)接收機信號跟蹤環(huán)模塊，通過基于matlab的一、二維搜索仿真，根據(jù)測量得到的結(jié)果計算多普勒頻率和多普勒頻率變化率，將測量值與真實值相比較。仿真證明該跟蹤環(huán)提高了高動態(tài)接收機的跟蹤性能和抗干擾能力。

分數(shù)階傅里葉變換；接收機；高動態(tài)；Closed-form算法

高動態(tài)GNSS系統(tǒng)已經(jīng)越來越廣泛地應(yīng)用于軍事領(lǐng)域之中，尤其是制導(dǎo)武器方面，彈載高動態(tài)衛(wèi)星接收機的難點主要在于導(dǎo)彈的飛行時間短，在飛行過程中導(dǎo)彈彈體的速度、加速度和加加速度的變化非常劇烈，這導(dǎo)致接收機的接收信號它的載波多普勒變化劇烈，從而使接收機信號跟蹤難度增大[1]。此時多普勒頻移往往會超出一般鎖相環(huán)的捕獲帶寬，如果載波多普勒頻偏過大，將導(dǎo)致接收機信號跟蹤失鎖[2]的情況發(fā)生。

若在短時間內(nèi)將加速度視為恒定，則GNSS載波信號等效于一個線性調(diào)頻信號（Chirp信號）。Chirp信號最主要的性質(zhì)是瞬時頻率隨時間呈線性變化。FrFt作為一個有效的Chirp信號檢測工具，可以應(yīng)用到高動態(tài)接收機中去，增加其抗噪聲干擾，抗多徑干擾等能力，并能夠更有效地跟蹤到高動態(tài)信號。使用FrFT可以同時對多普勒頻率和多普勒頻率變化率分量進行有效補償，解決了傳統(tǒng)的FFT在高動態(tài)環(huán)境下難以對高動態(tài)信號進行長時間相干累積的難題[3-4]。

文中為了實現(xiàn)對高動態(tài)信號的分析檢測和參數(shù)估計，分析了整個接收機系統(tǒng)以及分數(shù)階傅里葉變換在高動態(tài)衛(wèi)星信號跟蹤的應(yīng)用并經(jīng)由結(jié)合Closed-form算法，設(shè)計了基于分數(shù)階傅里葉變換的高動態(tài)接收機跟蹤環(huán)模塊，通過二維搜索對測試信號進行檢測及估值，以達到對其精確跟蹤的目的。以此來證明該模塊具有能實現(xiàn)跟蹤高動態(tài)信號的能力。

1 接收機跟蹤環(huán)設(shè)計及分數(shù)階傅里葉變換

文中所設(shè)計的接收機整體主要由以下幾個部分組成：相關(guān)積分模塊，信號參數(shù)估計模塊和相位估計器；相關(guān)積分模塊負責(zé)對偽碼對齊后的中頻載波信號進行分段相關(guān)積分；信號參數(shù)估計模塊負責(zé)計算信號的FrFT，并對載波頻率和頻率變化率進行估計；相位估計器負責(zé)精確計算載波相位，最終對載波NCO進行精確調(diào)整，對信號進行跟蹤。

初始中頻信號經(jīng)過載波NCO1的初始解調(diào)后進入相關(guān)積分器，經(jīng)由FrFT模塊處理并計算得到多普勒頻率和多普勒頻率變化率后進入相位估計器，經(jīng)過載波NCO2的再解調(diào)后留下電文。

FrFT（Fractional Fourier Transform，分數(shù)階傅里葉變換），是廣義的傳統(tǒng)傅里葉變換[5]，它含有變量p，被稱為p階傅里葉變換。函數(shù)x（t）的分數(shù)階傅里葉變換的表達式如下[6]：

圖1 高動態(tài)接收機跟蹤環(huán)設(shè)計

Fp[x（t）]（u）為連續(xù)分數(shù)階傅里葉變換的運算符。

變換核

其中0＜|p|＜2，變換角度θ=pπ/2。

變換角度為θ=pπ/2的p階傅里葉變換的時頻圖如圖1所示。若我們將Fourier變換看作為一種線性算子，在時頻平面中當(dāng)時θ=2nπ+π/2，時域轉(zhuǎn)為頻域。那么FrFT算子就是一個可旋轉(zhuǎn)任意角度θ的算子，所以我們可以認為FrFT是廣義的傅里葉變換[7]。

圖2 分數(shù)階傅里葉變換時頻圖

我們使用FrFT，通過上述計算得到了高動態(tài)環(huán)境下的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，并運用之后的跟蹤模塊來跟蹤高動態(tài)信號。

2 算法分析

離散FrFT常用的方法有兩種，一種是由Ozaktas提出的分解型算法，將FRFT的定義式積分變換分解為幾步簡單的計算步驟，然后經(jīng)過離散化處理得到離散卷積表達式，這樣可以利用FFT來計算FrFT；另一種是Pei、Ding等人研究出的一種閉合的DFrFT算法，從連續(xù)Fourier變換的特征函數(shù)是Hermite函數(shù)出發(fā)，對特征函數(shù)Hermite函數(shù)經(jīng)過離散正交處理，得到DFT矩陣的正交向量，而此正交向量也同樣是Hermite特征向量。因此可以構(gòu)造離散分數(shù)階Fourier變換核矩陣。最后通過對信號的時域和分數(shù)階Fourier域選擇合適的采樣間隔，得到離散分數(shù)階Fourier變換。

2.1 Ozaktas算法

Ozaktas的分解型算法[10-12]將FRFT定義式的計算過程分為了3個步驟：

可以看出該算法運用了3步FFT的運算來得到分數(shù)階傅里葉變換結(jié)果。

2.2 Closed-form算法

我們將采樣函數(shù)x（t）和輸出函數(shù)Fp[x（t）]（u）分別按Δt，Δu的間隔進行采樣，y（n）=x（n*Δt）；Yα（m）=X（m*Δu），其中n=-N，-N+1，…，N；m=-M，-M+1，…，M；這里值得注意的是我們采樣的起始點并不在t=0以及uθ=0處。我們將DC成分置于中心位置[13-14]。于是我們將上式轉(zhuǎn)化為：

這樣Yα（m）可逆；當(dāng)M≥N時將Yα（m）的反變換表示為Fα（m，n）的赫米特轉(zhuǎn)置形式，可以得到[15]：

根據(jù)式（8）和（9），

其中|S|是2M+1的一個整數(shù)質(zhì)數(shù)，這樣的話式（9）可以變成

由式（16）我們可以看出Closed-form算法[13-14]相對于Ozaktas算法更簡便，它避免了Ozaktas算法中繁瑣的卷積計算，從計算量出發(fā)來考慮的話，Closed-form算法的1次FFT運算所需的計算量要遠遠小于Ozaktas算法卷積運算中用到的3次FFT運算。所以總體來說Closed-form算法計算復(fù)雜度相較Ozaktas法要小。

3 算法實現(xiàn)與模塊仿真

經(jīng)過對兩種算法的比較，Closed-form算法的結(jié)構(gòu)相對更簡單，復(fù)雜度更小，故選擇該法作為FrFT模塊[16]的算法。

具體模塊實現(xiàn)步驟如下：

1）原信號與某一線性調(diào)頻函數(shù)相乘；

2）對1）的結(jié)果進行Fourier變換（其變元乘以尺度系數(shù)）；

3）將2）的結(jié)果再與（1）中的線性調(diào)頻函數(shù)相乘；

在仿真測試信號選方面，選擇載波信號參數(shù)如下：加速度a=200 g，g=10 m/s2，加加速度為0，初始相位為φ≠0，采樣頻率為fs=10 MHz，中頻頻率為2.046 MHz，初始多普勒頻率為fd0=50 Hz，濾波器點數(shù)為512點，信號觀測時間為；將載波信號x（t）=exp（j（2πf0t+πhat+φ））作為輸入信號，在分數(shù)階傅里葉變換階次p分別為p=1，p=1.136時，仿真結(jié)果分別如圖3所示。

圖3 階次p=1、p=1.136的分數(shù)階傅里葉變換仿真結(jié)果

從仿真圖中圖3可以看出，仿真信號聚集成為一個沖激函數(shù)，證明了當(dāng)且僅當(dāng)分數(shù)階傅里葉變換階次p為最佳階次時，Chirp信號能量聚集為一個沖激函數(shù)的結(jié)論，即對我們的仿真信號在階次p=1.136時達到最佳階次，其信號積聚性最好，從而驗證了該模塊應(yīng)用的正確性。

之后我們在一維算法實現(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過改變分數(shù)階傅里葉變換階次，對chirp信號分數(shù)階傅里葉變換結(jié)果作出二維分布，并對其峰值進行搜索，得到圖4所示。

將搜索范圍定在p∈[1，1.2]，搜索步長Δp=0.001，時間步長為Δu=0.2 ms，得到峰值坐標為（1.136，315，3.412*104）。由上得出在p=1.136，即旋轉(zhuǎn)角度θ=0.568π=102.24°時可搜索到仿真信號峰值。此時我們將得到的計算結(jié)果代入式（4），得到多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

圖4 仿真信號分數(shù)階傅里葉變換二維分布圖

而當(dāng)加速度a=100g時（其余參數(shù)不變），得到二維分布結(jié)果圖如圖5所示。

圖5 a=100g時，仿真信號分數(shù)階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標為（1.068，289，4.514*104），即在p=1.068，旋轉(zhuǎn)角度θ=0.534π=96.12°時可搜索到仿真信號峰值。此時的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為：

加速度a=50g時，得到二維分布結(jié)果圖6如下。

圖6 a=50g時，仿真信號分數(shù)階傅里葉變換二維分布圖

峰值坐標為（1.034，275，3.611*104），即在p=1.068，旋轉(zhuǎn)角度θ=0.517π=93.06°時可搜索到仿真信號峰值。此時的多普勒頻率變化率為，多普勒頻率為

表1 不同加速度下仿真信號多普勒頻率的測量值和計算值及其誤差

整理以上計算結(jié)果，得到下表：

經(jīng)過對在不同加速度的高動態(tài)信號下的多普勒頻率估計值與計算真實值的比較，誤差都在1%以內(nèi)，可見該模塊可以實現(xiàn)對高動態(tài)信號的跟蹤，且精度較高。

4 結(jié)束語

文中針對接收機的高動態(tài)環(huán)境下多普勒頻移大，跟蹤信號相對困難的特點，研究了分數(shù)階傅里葉變換針對跟蹤高動態(tài)信號的應(yīng)用，利用Closed-form算法和FrFT運算設(shè)計了高動態(tài)接收機信號跟蹤環(huán)模塊，并計算得出高動態(tài)信號的多普勒頻率和多普勒頻率變化率，以達到跟蹤到高動態(tài)信號的目的；該方法在保證精度的同時，盡量減小了運算量，最后給出對仿真測試信號的一維仿真以及二維搜索仿真結(jié)果，對該算法應(yīng)用進行了驗證，證實了該算法的可行性和正確性。可以在之后將此模塊運用于實際工程項目中去，以體現(xiàn)其滿足高動態(tài)信號跟蹤的精確性和實時性。

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The application and realization of Fractional Fourier Transformation to high-dynamic GNSS receiver

DONG Jun-xiang，ZHAO Jian-kang，ZHU Cheng-guang，XIA Xuan
（Instrument Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

For the problem that traditional FFT can't accumulate coherently under high-dynamic environment during a longtime period，and in order to track high-dynamic signal more efficiently，we use the feature of FrFT that its instantaneous frequency varies with time，to compensate Doppler frequency and Doppler frequency rate in the high-dynamic receiver. Closed-form algorithm is used to realize FrFT and design the tracking loop of high-dynamic receiver.Through one-dimension and two-dimension simulation based on Matlab，calculating Doppler frequency and Doppler frequency rate，and compare measurement value with the real value.The simulation proves that this tracking loop improve the tracking performance and the ability of anti-interference of the high-dynamic receiver.

fractional Fourier transformation；GNSS receiver；High-dynamic；closed-from algorithm

TN911

A

1674－6236（2016）24-0070-04

2015-12-09 稿件編號：201512113

董俊翔（1991—），男，上海人，碩士研究生。研究方向：高動態(tài)接收機。