多軸進(jìn)給系統(tǒng)的離散時(shí)間自適應(yīng)魯棒性調(diào)整*

余志鵬，蔡澤凡

（順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，廣東佛山528305）

多軸進(jìn)給系統(tǒng)的離散時(shí)間自適應(yīng)魯棒性調(diào)整*

余志鵬，蔡澤凡*

（順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，廣東佛山528305）

在進(jìn)給機(jī)械系統(tǒng)中，一個(gè)軸的慣性力影響著與之接觸的其他軸。其他機(jī)械部件的接觸力，接觸面間的摩擦力的量級(jí)有著巨大的差異，形成耦合效應(yīng)。在控制器的設(shè)計(jì)中考慮到這種耦合效應(yīng)的存在并克服它，可提升控制效果。因?yàn)轳詈闲?yīng)不能提前知釋，且大小會(huì)因?yàn)榄h(huán)境的變化（如溫度）而改變，因此設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)控制器，能對(duì)對(duì)象的不可預(yù)知的模型誤差干擾進(jìn)行魯棒性整定。一種基于線性矩陣不等式約束魯棒控制器應(yīng)用到控制器，并轉(zhuǎn)化為最小化問(wèn)題，得到優(yōu)化的解決方案。通過(guò)與非魯棒自適應(yīng)控制器的對(duì)比，誤差降低80%，驗(yàn)證了控制器的有效性。

自動(dòng)化技術(shù)；進(jìn)給系統(tǒng)；自適應(yīng)魯棒控制；動(dòng)態(tài)耦合

目前已有很多的研究致力于解決機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的精確控制問(wèn)題［1-2］。其中一種最有效的前饋控制器設(shè)計(jì)是由陳［3-4］和其他人提出零相位誤差追蹤控制器（ZPETC），它在機(jī)床控制中有著廣泛的應(yīng)用。Erkorkmaz［5］和Altintas提出了一種具有干擾因子的控制器，摩擦力補(bǔ)償器和ZPETC，并驗(yàn)證控制器在變化的等高線下的效果。

由于ZPETC設(shè)計(jì)是基于對(duì)兩極數(shù)據(jù)的刪除以及對(duì)反饋控制系統(tǒng)的優(yōu)秀的零點(diǎn)衰減控制，必須先知道對(duì)象的動(dòng)態(tài)。對(duì)于ZPETC在具有未知?jiǎng)恿W(xué)的工廠里的應(yīng)用，有學(xué)者提出應(yīng)用自適應(yīng)算法。Tsao［6］和Tomizuka提出一種自適應(yīng)ZPETC設(shè)計(jì)，需要一個(gè)可以穩(wěn)定反饋控制系統(tǒng)來(lái)消除反饋環(huán)極點(diǎn)的控制器。然而，這樣的控制器會(huì)產(chǎn)生統(tǒng)一的直流放大頻率響應(yīng)?？紤]到每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸里輪廓和跟蹤誤差的同步會(huì)對(duì)控制器參數(shù)的匹配產(chǎn)生困難。Lo［7］和Chung提出一種針對(duì)雙軸反饋驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)輪廓的基于坐標(biāo)變換控制算法。在這個(gè)算法里，每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸的跟蹤誤差被轉(zhuǎn)換成誤差分量，這些分量與期望的輪廓曲線正交和正切。這種觀點(diǎn)引導(dǎo)幾種后續(xù)的算法［8-11］。

以上進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)一般都忽略了多軸間的耦合效應(yīng)。因?yàn)橐粋€(gè)軸的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的慣性力影響其他軸的機(jī)械零件的接觸力，接觸面的摩擦力的量級(jí)是變化的。這樣的效應(yīng)可能影響多軸進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制效果。因?yàn)檫@樣的耦合效應(yīng)一般都是不可知的，還會(huì)因應(yīng)環(huán)境的變化（如溫度）而改變。

本文提出一種自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)以補(bǔ)償耦合效應(yīng)。這個(gè)控制器是文獻(xiàn)［12］里提出的多輸入多輸出系統(tǒng)的一個(gè)延展。文獻(xiàn)［12］的自適應(yīng)控制器的魯棒性較差，因?yàn)樗哂杏煽刂破骱凸S模型參數(shù)構(gòu)成的評(píng)價(jià)器組成的復(fù)雜機(jī)構(gòu)。在文獻(xiàn)［13］里的確定控制器里，通過(guò)合適的分派參數(shù)可以改善系統(tǒng)的魯棒性，我們期望在自適應(yīng)控制系統(tǒng)里引入一個(gè)確定控制器。

首先，提出考慮到多軸間的耦合效果的進(jìn)給驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)分時(shí)模型。然后，提出一個(gè)分時(shí)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)，它在不可預(yù)見的車間模型誤差和因引入確定控制器而引起的失調(diào)下依然可以保持魯棒性。

1 進(jìn)給驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)及被控對(duì)象

一般進(jìn)給驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)被定義為如下的退耦線性系統(tǒng)

為考慮耦合效應(yīng)，本文以如圖1形式建立雙軸進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型。

圖1 雙軸系統(tǒng)模型

如果下層進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)移動(dòng)，慣性力將作用于該層與上一層進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的導(dǎo)螺桿的接觸面。這股力量改變接觸面的摩擦系數(shù)。因?yàn)槟Σ亮Φ臄?shù)量級(jí)和表面壓力的數(shù)量級(jí)成正比，考慮如下的效果：

式中，mij代表相對(duì)于移動(dòng)軸j軸的第i軸摩擦效應(yīng)。此公式包含了耦合效應(yīng)，而mij的值一般是未知的。本文將在下節(jié)提出一個(gè)自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)。

式（2）表示的動(dòng)力學(xué)被離散化，對(duì)數(shù)字計(jì)算機(jī)的使用一個(gè)離散時(shí)間控制器是有價(jià)值的。假設(shè)引入零階控制輸入，采樣時(shí)間T很小，相對(duì)適應(yīng)過(guò)程（如階躍擾動(dòng)）hi的改變是緩慢的，本文用近似的分時(shí)模型，和文獻(xiàn)［14］所用的類似。

式中，x[k]=[x1(kT),…,xn(kT)]T為每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸的位置矢量，v[k]=[v1(kT),…,vn(kT)]T是控制輸入電壓矢量，w[k]=[w1(kT),…,wn(kT)]T采樣常數(shù)k下的干擾矢量，d是時(shí)間延時(shí)（正整數(shù)），z-1是一階延時(shí)系數(shù)，如z-1x[k]=x[k-1]。本文中信號(hào)ai(kT)由ai(k)表示。y［k］的加入代表其他形式的擾動(dòng)，這項(xiàng)在文獻(xiàn)［14］里沒(méi)有。非奇異矩陣M如下所示：

對(duì)車間動(dòng)力學(xué)作如下假設(shè)，（1）矩陣M是未知的，所以B是未知的；（2）矢量w［k］是未知的；（3）時(shí)間延時(shí)常數(shù)d是未知的。對(duì)未知擾動(dòng)wi[k]的特性又作如下假設(shè)；（4）信號(hào)wi[k]是有界的；（5）信號(hào)wi[k]滿足下面關(guān)系：

（6）多項(xiàng)式階數(shù)Gi、nGi已知，但它的系數(shù)未知；（7）多項(xiàng)式Gi與(1+z-1)互質(zhì)。（8）信號(hào)ri(k)滿足以下關(guān)系：

式中fim是個(gè)常系數(shù)；（9）信號(hào)ri[k]是有界的；（10）多項(xiàng)式Fi,nfi的階數(shù)是已知的，但它們的系數(shù)未知；（11）多項(xiàng)式Fi與(1-z-1)互質(zhì)。下面是控制對(duì)象：

式中Di是一個(gè)被控制器指定的任意穩(wěn)定的多項(xiàng)式項(xiàng)。

2 自適應(yīng)反饋控制器設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)［12］提出的自適應(yīng)控制器有2個(gè)自由度，包括一個(gè)自適應(yīng)前饋控制器（AFFC）和一個(gè)自適應(yīng)反饋控制器（AFBC）。本節(jié)提出為多軸進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)AFBC的方法，此方法將耦合效應(yīng)納入考慮。

本設(shè)計(jì)使用了Diophantine方程：

式中nRi和nSi是多項(xiàng)式Ri和Si對(duì)應(yīng)的階數(shù)。rim和sim是常系數(shù)。Ci是由控制器指定的漸近穩(wěn)定多項(xiàng)式，如下：

式中，cim是常系數(shù)，nCi是多項(xiàng)式的階數(shù)。

從假設(shè)（7）可知，如果系數(shù)Ri和Si的階數(shù)各自被設(shè)為nRi=d，nSi=max(nGi+1,nCi-d-1)，它們的單獨(dú)性是確定的。把式（8）的兩邊乘以xi[k]并考慮式（3）和式（5），得：

第k次時(shí)間片采樣誤差εi[k]定義如下：

式中，

此處使用常量追蹤算法［15］來(lái)選擇σi1(k)和σi2(k)?？梢宰C明ζi[k-d]是有界的，當(dāng)k→∞時(shí)，εi[k]→0。通過(guò)這些屬性，得出以下關(guān)系：

3 魯棒控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于不可預(yù)見的車間模型誤差和擾動(dòng)，自適應(yīng)控制系統(tǒng)的魯棒性不夠好。本文提出一種算法，引進(jìn)一個(gè)預(yù)置（非自適應(yīng)）控制器來(lái)提高魯棒性。從式（14）、式（15）可得下式：

可以漸近地得到以下單輸入單輸出脈沖傳遞函數(shù)：

一種魯棒預(yù)置控制器被設(shè)計(jì)出來(lái)，假設(shè)式（17）是車間環(huán)境表達(dá)式?？紤]到以下指定控制器Wi和Xi產(chǎn)生ui[k]：

式中，rfi[k]是一個(gè)經(jīng)過(guò)濾波的參考信號(hào)。把Wi和Xi的階數(shù)設(shè)成nWi=d以及，通過(guò)求解以下的Diophantine方程，可得到Wi和Xi唯一的系數(shù)。

假設(shè)Ci和Di是2階向量，因?yàn)槭剑?）中的A是2階矩陣，對(duì)Wi和Xi分別得到階數(shù)nWi=d以及nXi=1。

因?yàn)镈i是二階矩陣，它是穩(wěn)定的如滿足以下條件：

如果以下條件滿足，零點(diǎn)和極點(diǎn)控制器穩(wěn)定：

4 自適應(yīng)前饋控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)提出一種設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)AFFC的方法，用于在一個(gè)類似文獻(xiàn)［12］的方式改進(jìn)跟蹤性能。下面引入Diophantine方程設(shè)計(jì)AFFC：

式中nEi和nQi是多項(xiàng)式Ei和Qi對(duì)應(yīng)的階數(shù)，eim和qim是常系數(shù)。

從假設(shè)（11）可知，若Ei和Qi的階數(shù)被設(shè)置成nEi=d和nQi=max(nFi-1,nDi-nXi-d-1)常系數(shù)，它們的獨(dú)特性就能確定。把等式（25）的兩邊右乘ri[k]，結(jié)合等式（6），得：

由于Qi的系數(shù)未知，使用式（26）對(duì)其估值。將Qi的系數(shù)用式（26）在第k個(gè)采樣點(diǎn)[k](m=0,1,…,nQ)的估計(jì)值代替，得出多項(xiàng)式：

式中，xim′是多項(xiàng)式(1+z-1)Xi的第z-m項(xiàng)的系數(shù)。第k個(gè)采樣點(diǎn)的估計(jì)誤差εfi[k]被定義如下：

圖2 控制器的組成

本設(shè)計(jì)所使用指定循跡算法通過(guò)更新λi1[k]、λi2[k]的值實(shí)現(xiàn)，下面的等式可通過(guò)估值等式（30）獲得［15］：

因?yàn)閰⒖夹盘?hào)ri[k]，信號(hào)ζi[k-d]是有界的，式（31）中Γi[k-1]的元素的值也是有界的［15］。因此，從式（31）可得，當(dāng)k→∞,εfi[k]→0，且能得到以下關(guān)系：

從式（15）、式（17）、式（20）和式（21）可確認(rèn)控制對(duì)象方程（7）得到滿足。

5 實(shí)驗(yàn)

計(jì)劃控制系統(tǒng)被應(yīng)用到工具制造機(jī)械系統(tǒng)，以直流伺服電機(jī)和絲桿驅(qū)動(dòng)，如圖3所示。僅把X1和X2軸的軸向運(yùn)動(dòng)納入實(shí)驗(yàn)。每個(gè)進(jìn)給驅(qū)動(dòng)軸的最大系數(shù)是m1=1.6×10-2以及m2=4.6×10-3V2s/mm。進(jìn)給系統(tǒng)的位置由軸上的線性電子尺測(cè)量，電子尺的分辨率是0.1μm。

下面設(shè)計(jì)出2種控制器，并比較它們的控制效果。

（1）不考慮耦合效應(yīng)的自適應(yīng)控制器。

圖3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

（2）在控制器里包含預(yù)置控制器的魯棒自適應(yīng)控制器。

在控制器（1）中，等式（4）中的所有元素被設(shè)為0，因此等式（14）里的矩陣的非對(duì)角線元素為0。

以下參考信號(hào)將在實(shí)驗(yàn)里使用：

式中，Rim是參考信號(hào)的振幅，它被設(shè)成R11=R22=0.5 mm，R12=R21=1.5mm。控制時(shí)間和采樣周期分別設(shè)為Tf=20s，T=4ms。

首先證明該控制器能有效消除耦合效應(yīng)。把等式（3）里的d設(shè)為2。因?yàn)槊織l驅(qū)動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)函數(shù)是二階的，等式（7）里面的控制對(duì)象的多項(xiàng)式別設(shè)為：

在實(shí)驗(yàn)里，式（34）中的控制系統(tǒng)極點(diǎn)η從0.9減少到0.05，因?yàn)闉榱巳〉梅€(wěn)定的控制，η的量級(jí)必須小于1。η取更小的量級(jí)可得到更好的控制表現(xiàn)，但穩(wěn)定邊界會(huì)縮小。當(dāng)它取0.9時(shí)，（1）和（2）控制器中會(huì)出現(xiàn)不可接受的追蹤誤差。圖4展示了η=0.85時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在圖3的系統(tǒng)中，X1軸的運(yùn)動(dòng)增加了X2軸的耦合效應(yīng)。這個(gè)結(jié)論受圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果支持，因?yàn)橹挥姓`差量級(jí)e2[k]被減少。

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果（左邊沒(méi)有擾動(dòng)補(bǔ)償，右邊有擾動(dòng)補(bǔ)償）

為證實(shí)結(jié)果的重復(fù)性，相同的實(shí)驗(yàn)運(yùn)行5次，每次實(shí)驗(yàn)的平均跟蹤誤差量級(jí)在圖5顯示出來(lái)。平均量級(jí)數(shù)值會(huì)在時(shí)間t=3 s后評(píng)價(jià)，這個(gè)時(shí)間點(diǎn)后所有被評(píng)價(jià)的參數(shù)都處在較穩(wěn)定狀態(tài)。

在所有跟蹤過(guò)程中，考慮消減耦合效應(yīng)后，平均追蹤誤差量級(jí)|e2[k]|被減少，e1[k]有輕微的改變。這個(gè)結(jié)果支持了本文的結(jié)論。平均誤差量級(jí)|e2[k]|減少了28.7%。

圖5 追蹤誤差量級(jí)的比較

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果（自適應(yīng)補(bǔ)償和魯棒自適應(yīng)補(bǔ)償）

然后驗(yàn)證魯棒控制器（2）的有效性。把控制器（1）和（2）的η設(shè)為0.8，由于建立模型時(shí)產(chǎn)生不可遇見的的誤差及擾動(dòng)，使控制系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。其中一次的控制效果如圖6所示，圖中控制輸入的方差v2[k]明顯增加。調(diào)節(jié)等式（21）中的多項(xiàng)式Ci使所有的零點(diǎn)為0.9，解決最優(yōu)化問(wèn)題可得到|xi0|的值。圖6（b）展示了當(dāng)η=0.55時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，控制器的極點(diǎn)更接近零點(diǎn)，這意味著需要在更好的控制表現(xiàn)下，控制系統(tǒng)依然能保持穩(wěn)定。

此外，2個(gè)軸的追蹤誤差被大大的減少。圖7展示了參數(shù)鑒定結(jié)果。若把η設(shè)為0.5來(lái)繼續(xù)改善控制表現(xiàn)，但控制系統(tǒng)會(huì)開始變得不穩(wěn)定。

圖7展示控制系統(tǒng)的極點(diǎn)位置和預(yù)置魯棒控制器的平均跟蹤誤差量之間的關(guān)系。在圖7所示的所有極點(diǎn)中，控制系統(tǒng)都保持穩(wěn)定。當(dāng)η=0.55時(shí)，把圖7和圖5的誤差量級(jí)作對(duì)比，可以確定使用預(yù)置魯棒控制器后，誤差量級(jí)減少了80%。

圖7 魯棒控制下的每次追蹤誤差量級(jí)極點(diǎn)位置

6 結(jié)論

為改進(jìn)機(jī)械工具進(jìn)給系統(tǒng)的控制效果，設(shè)計(jì)出一種魯棒自適應(yīng)控制器，它考慮到機(jī)械機(jī)構(gòu)中多個(gè)軸的擾動(dòng)效應(yīng)。為自適應(yīng)控制器引入一個(gè)預(yù)置控制器后，它的魯棒性被顯著提高。通過(guò)實(shí)驗(yàn)的比較結(jié)果，證實(shí)本文的論斷，并體現(xiàn)出預(yù)置控制器的效果。與非魯棒控制器設(shè)計(jì)對(duì)比，應(yīng)用預(yù)置自適應(yīng)控制器可把分時(shí)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)設(shè)置得更接近原點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)中追中誤差平均被減少了80%。

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余志鵬（1981-），男，漢族，廣東順德人，研究生學(xué)歷，畢業(yè)于華南理工大學(xué)控制理論與控制工程專業(yè)，工作于順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程，2013年帶隊(duì)獲全國(guó)技能大賽機(jī)器人技術(shù)應(yīng)用賽項(xiàng)全國(guó)一等獎(jiǎng)，faithfu?lyu@126.com；導(dǎo)師是梁杰申，華南理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，副教授；

蔡澤凡（1979-），碩士研究生畢業(yè)于華南理工大學(xué)控制理論與控制工程專業(yè)，現(xiàn)為華南理工大學(xué)在職在讀博士，工作于順德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，職稱講師，研究方向?yàn)樽詣?dòng)控制與無(wú)線通訊技術(shù)。

The Robust Modulation of Multi-Axis System in Discrete Time*

YU Zhipeng，CAI Zefan*
（College of Electrical and Information Engineering，Shunde Polytechnic，F(xiàn)oshan Guangdong 528305，China）

In a mechanical system，an adaptive robust adjust method is put forward.Because the inertia force in one axis affects on other axis connected with it.The magnitudes of frictions between the contact sides are different fiercely，which result in the cause of coupling effect.The coupling effect must be considered and restrained to promote the control effect.An adaptive controller is designed to offer robust adjust for the error disturbance of the unpredictable model.The robust controller is based on linear matrix inequality constrain and can be transformed to minimization problem and get the conclusion.By comparison to the controller without robust adaptive controller，the effect of the new controller is verified.

automation，feed drive system，adaptive Robust control，dynamic coupling，

TP242.2

A

1005-9490（2016）06-1487-08

0170

10.3969/j.issn.1005-9490.2016.06.040

項(xiàng)目來(lái)源：佛山市機(jī)電專業(yè)群工程技術(shù)開發(fā)中心機(jī)電專業(yè)群科研平臺(tái)項(xiàng)目（2015-KJZX134）；廣東省高等職業(yè)教育品牌專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目（2016gzpp139）

2015-05-07 修改日期：2015-06-17