基于Bootstrap的正弦波頻率估計(jì)可信性評(píng)估*

袁迎春，胡國(guó)兵，張照鋒，吳珊珊

（1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院，南京210023；2.金陵科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院，南京211169）

基于Bootstrap的正弦波頻率估計(jì)可信性評(píng)估*

袁迎春1*，胡國(guó)兵2，張照鋒1，吳珊珊1

（1.南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院，南京210023；2.金陵科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院，南京211169）

研究了正弦波頻率估計(jì)結(jié)果的可信性評(píng)估問(wèn)題，提出一種基于Bootstrap非經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分析的評(píng)估算法。根據(jù)頻率估計(jì)結(jié)果構(gòu)造參考信號(hào)，并與觀測(cè)信號(hào)作相關(guān)累加。以全長(zhǎng)度相關(guān)累加模值與半長(zhǎng)度相關(guān)累加模值的比作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，基于Bootstrap方法確定相應(yīng)的判決門(mén)限，完成對(duì)單次正弦波頻率估計(jì)的可信性校驗(yàn)。仿真結(jié)果表明，本算法可在較低信噪比條件下對(duì)單次正弦波頻率估計(jì)結(jié)果是否可靠進(jìn)行評(píng)估和判決。

正弦波頻率估計(jì)；可信性評(píng)估；Bootstrap方法；相關(guān)累加

估計(jì)噪聲中的正弦波信號(hào)頻率屬于信號(hào)處理中的經(jīng)典課題，其在通訊、雷達(dá)、聲納等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。此外，正弦波的幅度、相位等參數(shù)或其它調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)［1］也往往依賴于正弦信號(hào)頻率的準(zhǔn)確估計(jì)。

關(guān)于正弦波頻率估計(jì)的可靠性評(píng)估，研究者們從不同的角度進(jìn)行了分析。對(duì)于算法的設(shè)計(jì)者，關(guān)注的是整個(gè)估計(jì)器的可靠性，往往借助理論分析及仿真數(shù)據(jù)，計(jì)算均方根誤差并與克拉美羅限比較以評(píng)估整體算法性能［2］。對(duì)于算法的使用者，更關(guān)心某一次具體頻率估計(jì)的結(jié)果是否準(zhǔn)確，舍棄誤差大的評(píng)估結(jié)果，能增加后續(xù)處理環(huán)節(jié)的可靠性，同時(shí)避免了浪費(fèi)處理資源［3］。針對(duì)單次正弦信號(hào)的頻率估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)［4］提出了一種基于局部最大勢(shì)LMP（Locally Most Power?ful）檢驗(yàn)的處理方法。該方法依據(jù)單次頻率估計(jì)結(jié)果構(gòu)建相應(yīng)的參考信號(hào)，通過(guò)其與觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)累加運(yùn)算，基于LMP準(zhǔn)則進(jìn)行單次頻率估計(jì)結(jié)果的可信性判決。文獻(xiàn)［5］則以相關(guān)累加曲線的線性度作為依據(jù)，通過(guò)對(duì)相關(guān)累加曲線的線性回歸失擬檢驗(yàn)，基于F統(tǒng)計(jì)量給出了新的檢驗(yàn)算法，完成對(duì)正弦波頻率估計(jì)結(jié)果的可信性檢驗(yàn)。上述方法可以在無(wú)信號(hào)頻率先驗(yàn)信息的條件下，實(shí)現(xiàn)對(duì)單頻正弦頻率估計(jì)結(jié)果的可信性評(píng)估，但從本質(zhì)上講，所采用的假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停瑢儆诮?jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)范疇，其在實(shí)際應(yīng)用中有一定局限性。首先，對(duì)信號(hào)模型中噪聲分布的正態(tài)性、大樣本等假設(shè)依賴性強(qiáng)，如果模型假設(shè)與真實(shí)模型有偏差時(shí)，算法的性能會(huì)受影響；其次，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可區(qū)分性強(qiáng)，但有可能是樣本的復(fù)雜函數(shù)時(shí)，其概率密度函數(shù)的解析表達(dá)很難得到，從而較難用傳統(tǒng)的經(jīng)典假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)進(jìn)行門(mén)限選擇。

當(dāng)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法條件不足時(shí)，采用基于計(jì)算機(jī)技術(shù)的自助法（Bootstrap）往往能夠簡(jiǎn)化解決方案、降低計(jì)算難度，提高數(shù)據(jù)的分析精度。該方法自Bradley Efron提出至今，已廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析、圖像處理、金融、醫(yī)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題研究中，其核心思想為通過(guò)重采樣來(lái)構(gòu)造自助樣本。相較于蒙特卡洛方法，Bootstrap方法只需通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)的樣本集進(jìn)行多次有放回的重采樣，得到多個(gè)樣本集，從而進(jìn)行參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和性能評(píng)估。因此，在樣本容量很小，不服從正態(tài)分布或統(tǒng)計(jì)量的概率特性無(wú)法精確表達(dá)時(shí)，Bootstrap擴(kuò)展了經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用場(chǎng)合。

本文借助Bootstrap這一非經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法，將其應(yīng)用于正弦信號(hào)頻率估計(jì)結(jié)果的可信性檢驗(yàn)中。其基本思想為：先根據(jù)頻率估計(jì)結(jié)果構(gòu)造參考信號(hào)，并與觀測(cè)信號(hào)作相關(guān)累加。以全長(zhǎng)度相關(guān)累加模值與半長(zhǎng)度相關(guān)累加模值的比作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，依據(jù)Bootstrap假設(shè)檢驗(yàn)方法，定義檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，獲取重復(fù)樣本集，并基于數(shù)據(jù)自適應(yīng)地確定判決門(mén)限，據(jù)此完成對(duì)單次正弦波頻率估計(jì)的可信性校驗(yàn)。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了算法的有效性。

1 信號(hào)模型

假定觀測(cè)模型為受高斯白噪聲污染的復(fù)正弦信號(hào)，表達(dá)式如下：

式中：A、f0、θ分別表示信號(hào)s(n)的幅度、載頻及初相，N為樣本個(gè)數(shù)。w(n)為零均值復(fù)高斯白噪聲過(guò)程，方差為σ2，實(shí)部與虛部相互獨(dú)立。信噪比為SNR=10lgA2/σ2（dB）。工程實(shí)際中，若滿足適當(dāng)?shù)男旁氡葪l件，可認(rèn)為頻率估計(jì)的最大誤差小于量化頻率間隔的1/4，即若滿足|Δf|≤0.25ΔF（其中Δf為載頻的估計(jì)誤差，ΔF=1/(NΔt)為量化頻率間隔），正弦波信號(hào)頻率參數(shù)估計(jì)的精度較高，判定為頻率估計(jì)結(jié)果可靠［6］。根據(jù)文獻(xiàn)［6］，本文將正弦波頻率估計(jì)的可信性評(píng)估歸結(jié)為下述假設(shè)檢驗(yàn)

2 Bootstrap意義下的假設(shè)檢驗(yàn)［7］

假定隨機(jī)樣本序列χ={X1,…,XN}服從特定分布F，具體樣式不定。設(shè)?為分布F的未知參數(shù)，?0是一個(gè)確定的參數(shù)?？紤]如下假設(shè)檢驗(yàn)：

為了對(duì)上式的假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行判決，定義統(tǒng)計(jì)量

基于Bootstrap的假設(shè)檢驗(yàn)［8-10］主要步驟為：

（1）原始樣本獲取 進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，并得到樣本集χ={X1,…,Xn}；

（2）重采樣 通過(guò)對(duì) χ={X1,…,Xn}進(jìn)行重采樣，得到與原始樣本集相同容量的樣本χ*；

（3）計(jì)算Bootstrap統(tǒng)計(jì)量 依據(jù)重采樣本集χ*，計(jì)算

（4）重復(fù)以上步驟（2）～步驟（3），作B次重采樣，獲取B個(gè)Bootstrap統(tǒng)計(jì)量；

（5）對(duì)上述的B個(gè)Bootstrap統(tǒng)計(jì)量按大小進(jìn)行排序：；（6）檢驗(yàn)：當(dāng)Tn≤時(shí)，拒絕H0假設(shè)，反之接受H0，其中q確定檢測(cè)的顯著性水平α，且α=1-[q/(B+1)]。

3 算法描述

3.1 特征分析

將觀測(cè)信號(hào)x(n)與參考信號(hào)y0(n)作相關(guān)累加，得到

式中：s0為相關(guān)累加后的信號(hào)部分，w0為相關(guān)累加后的噪聲分量。

此處假設(shè)N為偶數(shù)，分別從n=0開(kāi)始累加到(N-1)，與從n=0開(kāi)始累加到(N/2-1)點(diǎn)，得到兩個(gè)隨機(jī)變量，即全長(zhǎng)度相關(guān)累加模值及半長(zhǎng)度相關(guān)累加模值，考慮兩者比值μr=g1/g2作為特征量。

定義頻率估計(jì)誤差因子a=Δf/ΔF，則有

圖1 頻率誤差因子與幅度之間的關(guān)系示意圖

當(dāng)a=0.25時(shí)，μ0.25≈1.847 8。當(dāng)a≤0.25時(shí)，μa≥μ0.25；當(dāng)a≤0.25時(shí)，μa＜μ0.25。于是，正弦波頻率估計(jì)結(jié)果的可信性檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為如下假設(shè)檢驗(yàn)：

要對(duì)上式進(jìn)行檢驗(yàn)，需要得到隨機(jī)變量g1,g2的若干可重復(fù)的樣本集，而實(shí)際只有一次處理結(jié)果，特征量無(wú)法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。另一方面，傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法，需要計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Y=g1/g2的概率密度函數(shù)，并求取逆累積概率，以獲取一定顯著性水平下的判決門(mén)限。易知，隨機(jī)變量g1,g2分別服從萊斯分布，且兩者之間是相關(guān)的。由文獻(xiàn)［11］可知，從對(duì)于兩個(gè)非獨(dú)立的萊斯隨機(jī)變量Y=g2/g1之比，其概率密度函數(shù)的概率分布較為復(fù)雜，且數(shù)字特征也較難計(jì)算，無(wú)閉合表達(dá)式。對(duì)于經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)方法，較難確定零假設(shè)下的統(tǒng)計(jì)量的概率分布，也就無(wú)法確定判決門(mén)限。本文考慮利用Bootstrap假設(shè)檢驗(yàn)方法，以便在統(tǒng)計(jì)意義下計(jì)算出相應(yīng)的判決門(mén)限。

3.2 Bootstrap樣本集獲取及判決門(mén)限設(shè)定

利用重采樣方法獲得一定容量的Bootstrap樣本集的步驟如下：

（1）殘留項(xiàng)提?。?/p>

可近似看成是高斯白噪聲序列。圖2所示為不同假設(shè)下殘留項(xiàng)的示意圖及其直方圖。

圖2 殘留項(xiàng)示意圖

（3）產(chǎn)生 Bootstrap樣本：r*(n)=+c*(n),n= 0,…,N-1。

（4）重復(fù)步驟（2）、步驟（3）B次，得到B個(gè)Bootstrap樣本集。

通過(guò)上述步驟得到一定的樣本集之后，計(jì)算特征量μr=g1/g2。圖3所示為信噪比3 dB時(shí)，利用前述的Bootstrap樣本集（樣本個(gè)數(shù)100）得到的不同假設(shè)下（頻率誤差因子a不同）特征量μr在不同信噪比條件下對(duì)比圖。由圖3可見(jiàn)：其一，在H0假設(shè)下，μr大于等于1.84，而在H1假設(shè)下，μr小于1.84；其二，頻率誤差因子a越小，μr越大；頻率誤差因子a越大，μr越小。印證了前文的分析結(jié)果。

圖3 不同頻偏時(shí)特征量μr=g1/g2的均值對(duì)比

從前面的分析可知，如果利用經(jīng)典的假設(shè)檢驗(yàn)方法，需要對(duì)統(tǒng)計(jì)量Y=g1/g2的概率分布進(jìn)行確定，顯然，概率密度公式相當(dāng)復(fù)雜，難以解析表達(dá)［11］。而利用Bootstrap獲取樣本集，并利用基于Bootstrap假設(shè)檢驗(yàn)方法可以簡(jiǎn)化這種計(jì)算。

圖4所示為利用Bootstrap方法得到的不同假設(shè)下特征量的統(tǒng)計(jì)直方圖及門(mén)限。

圖4 不同情形下特征量的統(tǒng)計(jì)直方圖及門(mén)限

由圖4可見(jiàn)，利用Bootstrap方法得到的統(tǒng)計(jì)及門(mén)限，能較好地區(qū)分不同誤差的正弦波頻率估計(jì)結(jié)果，從而得到相應(yīng)的可信性評(píng)估信息。需要指出是，由于Bootstrap方法在進(jìn)行處理時(shí)，依賴于當(dāng)次有回放重復(fù)抽樣得到的數(shù)據(jù)集。因此，每次仿真得到的統(tǒng)計(jì)直方圖及門(mén)限均有所不同。

3.3 算法小結(jié)

本文提出的基于Bootstrap方法的正弦波信號(hào)頻率估計(jì)結(jié)果可信性檢驗(yàn)算法流程如圖5所示。

圖5 算法流程

其主要步驟歸納如下：

（1）參數(shù)估計(jì)與信號(hào)重構(gòu) 根據(jù)特定算法進(jìn)行正弦信號(hào)頻率參數(shù)估計(jì)，分別得到參考信號(hào)y(n)及重構(gòu)信號(hào)；

（2）Bootstrap樣本集獲取 參照3.2節(jié)步驟，得到觀測(cè)信號(hào)的B個(gè)Bootstrap樣本集

（3）特征提取 將參考信號(hào)y(n)與觀測(cè)信號(hào)B個(gè)Bootstrap樣本集分別作N點(diǎn)及[N/2]點(diǎn)相關(guān)累加并取模，得到B個(gè)樣本值，提取兩個(gè)隨機(jī)樣本集比值特征。

（4）檢驗(yàn)判決 基于Bootstrap的假設(shè)檢驗(yàn)方法，在給定的顯著性水平α下，得到判決門(mén)限，通過(guò)比較統(tǒng)計(jì)量與門(mén)限的大小進(jìn)行判決。判決規(guī)則為：當(dāng)時(shí)，接受H0假設(shè)，反之拒絕H0假設(shè)，其中q與顯著性水平α之間關(guān)系為：q= (1-α)(B+1)。

4 性能仿真與分析

此處將利用本文提出的Bootstrap算法分別對(duì)單次正弦波頻率估計(jì)結(jié)果的可信性進(jìn)行評(píng)估。仿真中，正弦波頻率設(shè)定為19.081 MHz，采樣頻率為100 MHz，初相為π/6，樣本點(diǎn)數(shù)1 024，信噪比從-6 dB到6 dB，顯著性水平分別取0.05，0.1，仿真次數(shù)Ns= 2 000次，其中 H0假設(shè)設(shè)定頻率估計(jì)誤差因子a=0.1，H1假設(shè)時(shí)設(shè)定頻率估計(jì)誤差因子a=0.4，每種假設(shè)各1 000次。下文中，考慮表達(dá)的簡(jiǎn)化，如果滿足H0假設(shè)，稱為可信處理（即|Δf|≤0.25ΔF，單次頻率估計(jì)誤差較小），而滿足H1假設(shè)（即|Δf|＞0.25ΔF，單次頻率估計(jì)誤差較大）稱為不可信處理。

表1中，n00表示實(shí)際假設(shè)為H0，按前文給出的可信性檢驗(yàn)算法判為H0的次數(shù)；n01表示實(shí)際假設(shè)為H0，而檢驗(yàn)算法判為H1的次數(shù)；n10表示實(shí)際假設(shè)為H1，而檢驗(yàn)算法判為H0的次數(shù)；n11表示實(shí)際假設(shè)為H1，檢驗(yàn)算法判為H1的次數(shù)。我們把第一類錯(cuò)誤定義為實(shí)際假設(shè)為H0，但利用檢驗(yàn)算法判為H1，定義第二類錯(cuò)誤為實(shí)際假設(shè)為H1，但利用檢驗(yàn)算法判為H0，此時(shí)兩類錯(cuò)誤概率Pe=(n10+ n01)/Ns。當(dāng)(n11+n10)≠0，檢錯(cuò)率表示為 Pd=n11/(n11+n10)，即檢測(cè)概率的大小。以兩類錯(cuò)誤概率及檢錯(cuò)率作為性能分析的2大指標(biāo)。

表1 本文算法的統(tǒng)計(jì)性能

表1為根據(jù)本文算法得到的為缺乏真實(shí)頻率信息條件下單次正弦波頻率估計(jì)可信性評(píng)估的統(tǒng)計(jì)性能。根據(jù)仿真結(jié)果可得：當(dāng)顯著性水平一定時(shí)，本文提出的正弦波頻率估計(jì)結(jié)果可信性評(píng)估算法錯(cuò)誤概率隨信噪比增加而減少。將顯著性水平設(shè)定為0.05時(shí)，若信噪比為-6 dB時(shí)，本文算法可將1 000次不可信性處理結(jié)果中941次檢出，而對(duì)1 000次可信性處理結(jié)果也可將其中889次檢出，兩類錯(cuò)誤概率為17%；當(dāng)信噪比增加到0 dB時(shí)，利用本文算法可將1 000次不可信頻率估計(jì)結(jié)果全部檢出，檢錯(cuò)率達(dá)100%，但存在第一類錯(cuò)誤，即1 000次可信性處理中有50次被判為不可信，總的錯(cuò)誤僅為5%；當(dāng)信噪比進(jìn)一步增加時(shí)，本文方法的錯(cuò)誤概率及檢錯(cuò)率均有提高。此外，從仿真數(shù)據(jù)來(lái)看，信噪比不變時(shí)，顯著性水平的選擇對(duì)兩類錯(cuò)誤概率存在一定影響。顯著性水平大時(shí)，第1類錯(cuò)誤概率增加，但第2類錯(cuò)誤概率變小，總的錯(cuò)誤概率增加；反之，顯著性水平小時(shí)，第1類錯(cuò)誤概率減少，但第2類錯(cuò)誤概率變大，總的錯(cuò)誤概率減小。實(shí)際中，一般可根據(jù)情況進(jìn)行折中處理，一般選擇顯著性水平在0.001到0.05之間。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將非經(jīng)典統(tǒng)計(jì)技術(shù)應(yīng)用到信號(hào)盲處理結(jié)果的可信性評(píng)估中，研究了一種基于Bootstrap方法的正弦波頻率估計(jì)結(jié)果可信性評(píng)估算法。按照Bootstrap假設(shè)檢驗(yàn)的流程，詳細(xì)分析了重復(fù)樣本獲取、門(mén)限設(shè)定方法，最后對(duì)算法進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了其有效性。采用Bootstrap方法無(wú)需知道統(tǒng)計(jì)量確切的概率分布及數(shù)字特征，可進(jìn)行門(mén)限的自適應(yīng)設(shè)定，為統(tǒng)計(jì)量概率分布無(wú)確切解析表達(dá)形式或較為復(fù)雜的情況下進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)提供了可行的解決方案。需要指出的是，本方法因采用重復(fù)抽樣，在計(jì)算量上略有增加，對(duì)于非實(shí)時(shí)處理的應(yīng)用性更強(qiáng)。

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袁迎春（1981-），女，江蘇南通人，南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師、工程師。主要研究方向?yàn)槲⒉夹g(shù)、通信信號(hào)處理，yuanyc@njcit.cn；

胡國(guó)兵（1978-）男，江蘇高淳人，博士（博士后），現(xiàn)金陵科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院副教授，信號(hào)認(rèn)知與智能計(jì)算研究所負(fù)責(zé)人，主要從事智能信號(hào)處理等方面的研究，s0304152@jit.edu.cn。

Credibility Evaluation for Frequency Estimate of Sinusoid Based on Bootstrap Method*

YUAN Yingchun1*，HU Guobing2，ZHANG Zhaofeng1，WU Shanshan1
（1.School of Electronic Information Engineering，Nanjing College of Information Technology，Nanjing 210023，China；2.Department of Electrionic and Information Engineering,Jinling Institute of Technology,Nanjing 211169，China）

Based on Bootstrap technique，a reliability test method to evaluate the frequency estimation of the sinu?soid is proposed in this paper.The reference signal is generated depending on the frequency estimation of the sinu?soid at first.Then the correlations between the received signal and the reference signal were calculated.The test sta?tistic is defined by the ratio of the correlation between the whole samples and the half size samples.The reliability test for frequency estimate of the sinusoid signal is performed by the proposed statistic and threshold based on Boot?strap technique.Simulafion results show that the proposed method can be used to verify the reliability for blind fre?quency estimation of the sinusoid at low signal-to-noise ratio.

sinusoid frequency estimation；credibility evaluation；Bootstrap method；correlation and accumulation

TN911.6

A

1005-9490（2016）06-1375-06

1230

10.3969/j.issn.1005-9490.2016.06.019

項(xiàng)目來(lái)源：南京信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研基金項(xiàng)目（YK20140103）；江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20160114）；江蘇省六大人才高峰第十二批次高層次人才項(xiàng)目（DZXX022）；江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程項(xiàng)目（PPZY2015C242）

2016-08-19 修改日期：2016-09-19