一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃

周喜華，黃曉紅，楊 嬌，鄧勝岳

（1. 廣東環(huán)境保護工程職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，廣東 佛山 528216；2. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃

周喜華1，黃曉紅1，楊 嬌2，鄧勝岳2

（1. 廣東環(huán)境保護工程職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，廣東 佛山 528216；2. 湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

通過研究一類約束條件和目標系數(shù)中均含有三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃，利用模糊結(jié)構(gòu)元理論，證明了一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解等價于整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，得到了求解該模型的算法。通過算例驗證了理論的正確性和算法的可行性。

三角模糊數(shù)；整數(shù)規(guī)劃；模糊結(jié)構(gòu)元

0 引言

整數(shù)規(guī)劃是一類要求問題中的全部或部分變量為整數(shù)的線性規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃的歷史可以追溯到古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantine）對線性不定方程的整數(shù)解的研究。20世紀50年代，線性規(guī)劃單純形算法發(fā)現(xiàn)者Dantzig發(fā)現(xiàn)用0-1變量來描繪最優(yōu)化模型中的固定用度、變量上界、半連續(xù)變量和非凸分片線性函數(shù)等。經(jīng)過50多年的發(fā)展，整數(shù)規(guī)劃的理論和算法得到了很大的發(fā)展，并且整數(shù)規(guī)劃模型能有效地處理科學(xué)技術(shù)、工程研究、資源分配和營運管理等各種領(lǐng)域中的最優(yōu)化問題。但是在實際生活中存在很多不確定現(xiàn)象，對于該類問題的建模得到了許多專家、學(xué)者的關(guān)注。針對具有模糊變量的模糊整數(shù)規(guī)劃問題，H. J. Zimmermann[1]提出了模糊整數(shù)規(guī)劃對稱模型的解法；F. Herrera等[2]提出了模糊整數(shù)線性規(guī)劃的3種模型，并提出了基于模糊數(shù)的表示定理及模糊數(shù)排序的算法。而針對模糊數(shù)的排序一直是模糊數(shù)學(xué)中的難點，自20世紀70年代以來，就有很多人提出了關(guān)于模糊數(shù)的比較和排序的方法。例如：Chen L. H.等[3]提出了用左、右優(yōu)勢度作為排序指標；P. A. D. Raj等[4]提出了使用極大和極小集，通過模糊權(quán)重進行選擇排序的方法；L. Tran等[5]研究了用模糊間隔測度進行排序的方法；Liu X. W.等[6]驗證了通過優(yōu)先權(quán)重函數(shù)的數(shù)學(xué)期望進行模糊數(shù)排序的方法；而B. Asady等[7]卻是通過定義模糊數(shù)的最近點從而對模糊數(shù)進行排序；郭嗣琮[8-9]提出了模糊結(jié)構(gòu)元的概念，并且給出了模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表示方法，還得到了[-1, 1]上同序標準單調(diào)函數(shù)類與有界實模糊數(shù)的同胚性質(zhì)，這表明一個有界實模糊數(shù)與一個[-1, 1]上的標準單調(diào)有界函數(shù)是一一對應(yīng)的，因而模糊數(shù)間的排序關(guān)系也可由對應(yīng)的單調(diào)函數(shù)間的序關(guān)系示意。但至今還沒有一個方法被公認是最佳的。

針對具有系數(shù)為模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃問題，本文根據(jù)模糊結(jié)構(gòu)元理論，定義了模糊數(shù)結(jié)構(gòu)元加權(quán)排序，基于有界實模糊數(shù)的排序等價于一個[-1, 1]上的標準單調(diào)有界函數(shù)的排序，并給出了基于模糊結(jié)構(gòu)元理論的模糊數(shù)的排序方法。通過結(jié)構(gòu)元加權(quán)排序，將一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解等價于整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。這可為模糊整數(shù)規(guī)劃的求解提供一種新的思路和方法。

1 模糊結(jié)構(gòu)元理論

先介紹模糊結(jié)構(gòu)元的表示方法和模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元加權(quán)序的相關(guān)知識。

2 系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃及其算法

3 算例

例1 某藥廠加工生產(chǎn)甲、乙2種藥品，甲種藥品每千克利潤3元，乙種藥品每千克利潤2元。生產(chǎn)每千克甲藥品需要原材料A約2 kg，需要原材料B約1 kg；生產(chǎn)每千克乙藥品需要原材料A約3 kg，需要原材料B約0.5 kg?，F(xiàn)有原材料A約15 kg，原材料B約4 kg，問應(yīng)如何安排甲、乙兩種藥品的產(chǎn)量為整數(shù)且能使利潤最大化？其中三角模糊數(shù)。

解 設(shè)甲、乙2種藥品的產(chǎn)量分別為x1, x2kg，則該問題的數(shù)學(xué)模型為：

通過以上算例的分析和計算可知，利用模糊數(shù)結(jié)構(gòu)元理論能有效地解決系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃問題，并為模糊整數(shù)規(guī)劃的解決提供了一種新的途徑。

5 結(jié)語

現(xiàn)實世界中諸多事物存在不確定性，給決策者估量事物的目標函數(shù)以及約束條件的系數(shù)的確切值，帶來了較大的困難，因此對這類規(guī)劃問題的研究具有重要的理論和實際意義。本文討論了一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃，使用模糊結(jié)構(gòu)元理論中的有界實數(shù)在[-1,1]上單調(diào)的性質(zhì)，給出了模糊結(jié)構(gòu)元加權(quán)排序的定義，將模糊數(shù)的排序轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)的比較，從而將一類系數(shù)為三角模糊數(shù)的整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，轉(zhuǎn)化為整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。該方法不僅對于解決現(xiàn)實世界中廣泛存在的模糊遞階決策問題具有實際意義，而且可為規(guī)劃問題進一步的理論研究提供基礎(chǔ)。

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（責任編輯：鄧光輝）

An Integer Programming with Coefficients Being a Class of Triangular Fuzzy Numbers

ZHOU Xihua1，HUANG Xiaohong1，YANG Jiao2，DENG Shengyue2
（1. Department of Basic Education，Guangdong Polytechnic of Environmental Protection Engineering，F(xiàn)oshan Guangdong 528216，China；2. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Based on the fact that both a class of integer programming constraints and objective coefficients contain triangular fuzzy numbers, a research has been conducted, by applying the fuzzy structured element theory, to successfully reach the conclusion that the optimal solution of a class of integer programming with triangular fuzzy number is equivalent to that of the integer programming, thus obtaining an effective algorithm for solving the model, verifying the validity of the theory and the feasibility of the algorithm with numerical examples.

triangular fuzzy number；integer programming；fuzzy structured element

O221. 1

A

1673-9833(2016)05-0077-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2016.05.015

2016-07-20

湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2016JJ2043），湖南省教育廳科學(xué)研究基金資助項目（16C0472，15C0537）

周喜華（1979-），男，湖南岳陽人，廣東環(huán)境保護工程職業(yè)學(xué)院講師，主要研究方向為線性系統(tǒng)理論，模糊數(shù)學(xué)，E-mail：576601525@qq.com