投影儀全參數(shù)平面線性估計的高精度標定方法

龔春園,梁晉,溫廣瑞,牌文延,李磊剛

(1.西安交通大學(xué)機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安;2.廣東順德西安交通大學(xué)研究院,528300,廣東佛山)

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投影儀全參數(shù)平面線性估計的高精度標定方法

龔春園1,2,梁晉1,2,溫廣瑞1,2,牌文延1,2,李磊剛1,2

(1.西安交通大學(xué)機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安;2.廣東順德西安交通大學(xué)研究院,528300,廣東佛山)

針對投影儀光路結(jié)構(gòu)復(fù)雜、主點偏差大導(dǎo)致高精度標定難以實現(xiàn)的問題,提出一種全參數(shù)平面線性估計的方法,為投影儀標定過程提供精確的主點偏差初值,實現(xiàn)了投影儀的全參數(shù)高精度標定。首先將投影儀作為虛擬相機,利用多頻相移原理得到投影儀和標定板的坐標對應(yīng)關(guān)系,然后采用兩步法對非線性方程進行求解計算,通過引入向量參數(shù)的方法實現(xiàn)非線性方程的線性化,再利用仿射變換關(guān)系選取最優(yōu)點集,得到穩(wěn)定的直接參數(shù)預(yù)估算法,最后利用一種全局捆綁調(diào)整算法實現(xiàn)投影儀的高精度標定。采用此方法對投影儀單相機系統(tǒng)完成標定之后,測量了標準球以驗證精度,實驗表明投影儀單相機系統(tǒng)的平均重投影誤差為0.04像素,測得標準球直徑平均偏差小于0.1 mm,球心距偏差小于0.05 mm。結(jié)果證明,所提出的投影儀標定方法計算模型簡單、穩(wěn)定性高并具有較高的精度,適用于主點偏差較大和投影儀焦距未知的情況。

結(jié)構(gòu)光測量;投影儀標定;平面模型;全參數(shù)

隨著機器視覺技術(shù)的廣泛應(yīng)用,對相機及投影儀的標定精度提出了更高的要求。在現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)光測量系統(tǒng)中,單相機-單投影儀組成的結(jié)構(gòu)光三維測量系統(tǒng),由于具有結(jié)構(gòu)簡單、點云重建效率高等優(yōu)點而具有巨大的應(yīng)用前景,因此迫切需要提出一種投影儀的高精度標定方法[1-2]。

投影儀自身不能采集圖像,也就不能檢測標志的坐標信息,目前多采用虛擬攝像機反向成像原理進行標定。其中,利用已標定的相機對投影儀進行標定的方法因原理簡單、易于實現(xiàn),應(yīng)用最為廣泛,但這種方法會引入相機的標定誤差。張勇斌等人將投影圖案預(yù)先進行單應(yīng)性射影變換,再移動靶標圖像使之與投影圖像重合的方法,實現(xiàn)投影儀標定,但存在單應(yīng)性矩陣難以預(yù)先獲取的問題[3]。韋爭亮通過投射雙方向相移圖案的方法,實現(xiàn)了投影儀與單平面標定塊的虛擬成像,用Tsai兩步法及非線性優(yōu)化實現(xiàn)了投影儀的標定[4-5]。Wieghardt利用手眼標定法對手持投影儀進行了標定[6-7]。這些投影儀在進行標定時,均采用成熟的相機標定方法,投影儀本身存在梯度校正,其鏡頭的軸與芯片點交匯點距離芯片中心很遠,使其內(nèi)參數(shù)中主點偏差非常大;并且,當使用短焦、廣角或球面鏡頭,或者當光軸與感光芯片中心的偏移或夾角過大時,圖像邊緣畸變非常大,主點偏差也跟初值差距甚大,使常規(guī)相機標定方法產(chǎn)生標定精度低、計算不穩(wěn)定的狀況。

針對投影儀標定精度較低的現(xiàn)狀,國內(nèi)外學(xué)者進行了大量研究。李中偉對投影的光柵圖像中非正弦化引起的相位誤差進行補償,提高了投影儀的標定精度[8]。Zhang采用多頻相移的方法得到了投影儀的虛擬成像,采用張正友標定法得到投影儀參數(shù)[9]。高治華、Liu根據(jù)射影變換原理建立投影儀圖像和攝像機圖像的基本對應(yīng)關(guān)系,利用多項式擬合并進行補償?shù)姆椒▽崿F(xiàn)了投影儀的高精度單平面標定[10-11]。Resch提出一個新的半自動投影相機系統(tǒng)的標定方法,根據(jù)已知的幾何尺寸約束調(diào)整,優(yōu)化結(jié)構(gòu)光投影圖像,改善標定的內(nèi)外參數(shù)[12-13]。但是,這些誤差補償方法不能提高計算的穩(wěn)定性,且耗費較大的計算代價,急需簡單高效的實現(xiàn)高精度投影儀參數(shù)標定。

本文提出一種平面化模型,利用外差式多頻相移技術(shù)進行投影,將相位匹配技術(shù)與仿射變換關(guān)系相結(jié)合,得到穩(wěn)定的直接參數(shù)預(yù)估算法,便于獲取精確的參數(shù)初值確保迭代計算的收斂性,然后采用一種全局捆綁調(diào)整算法,求得投影儀的內(nèi)外參數(shù),實現(xiàn)投影儀的高精度標定。

1 基本原理

1.1 投影儀模型

投影儀與照相機在結(jié)構(gòu)上基本相似,可采用小孔成像模型進行分析,投影儀模型如圖1所示。

圖1 投影儀模型

考慮到干擾因素的存在,像點在成像平面上與其理論值存在偏差,即主點在像平面的偏差,可建立如下共線方程

(1)

式中:ai、bi、zi(i=1,2,3)為旋轉(zhuǎn)矩陣的分量;(Xw,Yw,Zw)為物體點在世界坐標系的坐標;(xc,yc,zc)為投影中心點在世界坐標系的坐標;(x,y)為圖像點坐標;(cx,cy)為主點偏差;f為焦距;(Δx,Δy)為鏡頭畸變引起的像點偏差。

本文采用的畸變模型包括徑向畸變、偏心畸變、像平面畸變,即

(2)

令K1、K2、K3表示徑向畸變參數(shù),B1、B2表示偏心畸變參數(shù),E1、E2表示像平面畸變參數(shù),則有

(3)

1.2 檢測原理

本文采用外差式多頻相移技術(shù),利用自主研制的XTOM型三維光學(xué)密集點云測量系統(tǒng)[14]實現(xiàn)了投影儀的高精度標定。這種多頻相移技術(shù)是通過投射多種不同空間頻率的條紋,利用相移法求取多種條紋的相位主值,進而得到條紋的真實相位。此方法的解包裹過程對單點獨立計算,不存在誤差的傳遞,比單光柵(格雷碼加相移法)的相移測量精度更高。

投影儀標定時的虛擬圖像獲取過程如下:

(1)利用投影儀投射光柵相移圖像到標定板,同時觸發(fā)相機進行同步采集,得到一系列相移圖案;

(2)對所采集到的橫向光柵相移圖片和縱向光柵相移圖片分別進行解相,得到各自的總相位圖;

(3)根據(jù)總相位圖,獲取標志點中心所在的橫、縱向相位值;

(4)通過求解出的相位值,對投影儀的理想相位圖進行差值計算,得到投影儀圖像中標志點的虛擬坐標。

這樣,就可以確定投影圖像與標定板之間的對應(yīng)關(guān)系,得到投影儀標定時的虛擬照片。

2 投影儀全參數(shù)解算

投影儀采用普通計算方法時焦距未知或不準確,或由于光線干擾等原因,使對應(yīng)標記點位置存在誤差,而解算內(nèi)外參數(shù)時,須保證所有計算點完全正確,本文通過建立平面化模型,提出一種初值直接預(yù)估算法,包括選取最優(yōu)點集和參數(shù)解算,并采用捆綁調(diào)整的方法,精確地求解出投影儀的內(nèi)外參數(shù)。

2.1 建立平面化模型

針對投影儀內(nèi)參數(shù)主點偏差非常大、常規(guī)方法無法求取的問題,為投影儀的二維坐標點與三維空間坐標點建立一一對應(yīng)的映射關(guān)系,以便簡化計算模型。標定板的世界坐標系被對齊到自身平面,該面法線方向為Z軸。局部坐標系P和相機坐標系C存在以下關(guān)系

C=RcP+Tc

(4)

式中:Rc和Tc為兩個坐標系之間的旋轉(zhuǎn)和平移矩陣。

根據(jù)本文的平面化模型假設(shè),在相機坐標系下的圖像點坐標Z值為0,物體點在局部坐標系P下Z值也為0,即

(5)

可以看出,點(cx,cy)和(px,py)之間僅與(Rc00,Rc01,Rc10,Rc11,Tc00,Tc10)相關(guān),因此可簡化式(5)得到如下仿射變換關(guān)系

Cp=A2×2Pp+B2×1

(6)

對于圖像上的所有點,其像點坐標(cx,cy)與對應(yīng)的空間坐標(px,py)均滿足仿射變化關(guān)系,因此只要圖像上有3個以上有效點,即可通過最小二乘法求解6個未知數(shù)。

2.2 初值直接預(yù)估算法

初值估計時圖像的畸變不予考慮,可令畸變參數(shù)初值為0,在后文捆綁調(diào)整時進行解算。結(jié)合上文所采用的平面化模型,式(1)可簡化為

(7)

也可改寫為

(8)

由于式(8)不能采用線性方法直接求解,定義一個參數(shù)向量η,使其線性化,即

(9)

采用該向量將共線方程轉(zhuǎn)化為一個線性方程

(10)

式(10)可簡化成矩陣形式Aη=B,通過最小二乘法進行求解

η=(ATA)-1ATB

(11)

這樣式(10)通過兩步即可線性化求解。首先,在圖像中選取最優(yōu)點集,確定矩陣A和B,利用線性方法求解參數(shù)η;然后,通過所有圖像的η求解相機的內(nèi)參數(shù)和每幅圖像的外參數(shù)。

2.2.1 最優(yōu)點集選取 由于式(8)包含有8個未知數(shù),因此標定圖像中必須存在4個及以上的物體點,并可正確識別,即可通過最小二乘方法進行求解。

利用該仿射變換關(guān)系即可在所有備選關(guān)聯(lián)點中找出最優(yōu)點集,提高標定初值的穩(wěn)定性和精度,具體的步驟如圖2所示。首先在所有備選點中按照一定順序選擇5個非共線圖像點,初步計算仿射變換矩陣,如果計算失敗,或者解算出滿足該仿射變換矩陣的點數(shù)小于3,則重新選點;然后,對圖像中所有點進行判斷,選出滿足該變換矩陣的點,再重新計算仿射變換矩陣,如果最終有60%以上的圖像點滿足新的變換矩陣,則這些圖像點為有效關(guān)聯(lián)點,即選取的最優(yōu)點集;最后,使用最優(yōu)點集計算參數(shù)向量η。

圖2 最優(yōu)點集的獲取和外參數(shù)計算步驟

2.2.2 預(yù)估內(nèi)外參數(shù) 在每一幅圖像中存在3個內(nèi)參未知數(shù)(cx,cy,f)和6個外參未知數(shù)(ω,φ,κ,tx,ty,tz),當參數(shù)組η可以成功求解后,需要進一步處理才能獲得相機的這些內(nèi)參數(shù)。

假設(shè)ηi在每一幅圖像上已知,可推導(dǎo)出一種參數(shù)分離算法。因為矩陣R為標準正交陣,故獲得了如下線性方程

Cξ=D

(12)

式中

C=

式(12)也可通過最小二乘的方法進行求解,因方程中有4個未知數(shù),因此至少兩幅圖像才可求解。當ξ獲得后,可反解出相機的內(nèi)參數(shù)

(13)

最后,可根據(jù)式(14)、(15)計算每一幅圖像的外參數(shù)。平移矩陣T的計算公式為

(14)

式中

g=(η3-η7cx)2+(η4-η8cx)2+(η5-η7cy)2+

(η6-η8cy)2

旋轉(zhuǎn)矩陣R的計算公式為

(15)

由于上面的計算沒有保證旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性,因此需要對結(jié)果進行正交化處理。對上式獲得的R進行SVD分解,獲得新的旋轉(zhuǎn)矩陣

R=UVT

(16)

2.3 捆綁調(diào)整解算投影儀參數(shù)

預(yù)估投影儀的內(nèi)參數(shù)和圖像的外參數(shù)后,由于三維點坐標已知,即可進行全局捆綁調(diào)整,該誤差方程為

V=AX1+BX2+CX3-L

(17)

式中:X1、X2、X3為內(nèi)方位參數(shù)、外方位參數(shù)、物體點三維坐標的改正數(shù);A、B、C為內(nèi)方位參數(shù)、外方位參數(shù)、物體點坐標對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣;L為觀測的真實值與初值偏差。

為了保證穩(wěn)定性,本文根據(jù)前面預(yù)估的內(nèi)外參數(shù)初值,采用全局捆綁調(diào)整法進行優(yōu)化,流程如圖3所示,共分3步進行:首先,將相機、投影儀內(nèi)參數(shù)和三維點坐標固定,僅調(diào)整圖像的外參數(shù);其次,將圖像的外參數(shù)和三維點坐標固定,僅調(diào)整相機、投影儀內(nèi)參數(shù);最后,將三維點坐標固定,同時調(diào)整相機、投影儀內(nèi)參數(shù)和每幅圖像的外參數(shù)。

圖3 全局捆綁調(diào)整法步驟

3 實驗及結(jié)果

本實驗采用自研的XTOM光學(xué)面掃描系統(tǒng)進行測試,實驗環(huán)境如圖4所示。

圖4 實驗環(huán)境

3.1 投影儀標定

投影儀標定時焦距未知、主點偏差較大。采用上文所述外差式多頻相移技術(shù)對投影儀單相機系統(tǒng)進行標定。攝像機型號為Basler,分辨率為1 624×1 236,芯片像元大小為4.4 μm,鏡頭焦距為16 mm。投影儀位于相機右側(cè)約100 mm處,該數(shù)字DLP投影儀型號為DELL,分辨率為1 024×768,像元大小為7.6 μm,焦距未知。標定板位于投影儀正前方約450 mm處,測量幅面為200 mm×150 mm。

標定過程:按1.2節(jié)的圖形采集過程,從8個不同的方向采集數(shù)據(jù),每次采集橫向相移、縱向相移各12張圖片,共得到192張圖片;相機采集圖片后對標志點進行了檢測,如圖5a所示,對多頻相移圖片進行解相后,可以得到投影儀的虛擬成像,并對標志點進行了檢測,如圖5b所示。標定過程的整體解算時間為5 s(不包括標志點檢測和投影儀虛擬成像的時間)。

(a)相機圖像 (b)投影儀虛擬圖像圖5 標定圖像及標志點檢測結(jié)果

根據(jù)文中所述的標定方法,得出相機和投影儀內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)結(jié)果分別如表1、2所示。

通過本次標定實驗,計算出了投影儀的焦距,可以看出,投影儀的主點偏差非常大,約400像素,常規(guī)方法無法求解。

表1 相機和投影標定內(nèi)參數(shù)結(jié)果

表2 相機和投影標定外參數(shù)結(jié)果

對于任意的點P(x,y,z),利用標定的相機內(nèi)外參數(shù),可以根據(jù)共線方程計算得到一幅圖像上理想的投影點(xp,yp),這樣就能得到其與真實像點(x,y)的誤差,即反向重投影誤差

e=((x-xp)2+(y-yp)2)1/2

(18)

對標定中所有的圖像點取重投影誤差的平均值,可得到平均重投影誤差,值越小說明相機內(nèi)外參數(shù)對圖像點和相機模型的描述越準確,即標定結(jié)果準確可靠。本次實驗標定的重投影誤差如圖6所示,平均重投影誤差為0.04像素,且本標定方法具有較強的通用性,無須針對每個標定平面的結(jié)果進行曲線或曲面擬合,計算量小。

圖6 反向重投影誤差

3.2 精度驗證

采用標準球?qū)嶒瀸ν队皟x的標定精度進行驗證,如圖7所示,這3幅圖片分別代表真實的小球?qū)嶒灜h(huán)境、投影光柵測量過程和測得的小球數(shù)據(jù)。對標準球進行了3次測量,所得的標準球直徑和球心距如表3所示。

(a)實物照片

(b)光柵投影

(c)測量結(jié)果圖7 標準球?qū)嶒?/p>

由表3可計算得到本次實驗測得的直徑A和B的偏差為82.8 μm和72.5 μm,球心距的偏差為32.4 μm。這是由于為消除反光的影響,標準球表面噴涂有顯影劑,使標準球直徑略有增加,而球心距由表面點擬合而來,消除了顯影劑的影響,所以測量結(jié)果更為準確。

表3 標準球測量數(shù)據(jù)

4 結(jié) 論

(1)文中采用的平面化模型簡單,為投影儀的二維坐標點與三維空間坐標點建立了一一對應(yīng)的映射關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上提出一種直接參數(shù)預(yù)估算法,能快速獲取最優(yōu)點集,精確地計算出投影儀的參數(shù)初值。

(2)本文提出的投影儀標定算法適用于主點偏差較大和投影儀焦距未知的情況,無需預(yù)先確定投影儀的主點偏差、焦距等內(nèi)參數(shù),標定算法通用性較強,無需曲線曲面擬合。

(3)本文根據(jù)獲取的精確參數(shù)初值,采用全局捆綁調(diào)整算法,可實現(xiàn)投影儀的高精度標定,平均重投影誤差較小。

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(編輯 荊樹蓉)

High-Precision Calibration for Wholly Parametric Plane Linear Estimation Algorithm of Projector

GONG Chunyuan1,2,LIANAG Jin1,2,WEN Guangrui1,2,PAI Wenyan1,2,LI Leigang1,2

(1. State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2. Guangdong Shunde Xi’an Jiaotong University Academy, Foshan, Guangdong 528300, China)

To solve the problem that the complex optical path of projector and the large deflection of main point are difficult to meet the requirement of high-precision calibration, a wholly parametric plane linear estimation algorithm of the projector was put forward to determine the initial deviation value of main point. Thus, the wholly parametric high precision calibration of the projector can be fulfilled. Firstly, the projector is treated as a virtual camera to obtain the coordinates of the projector and the calibration board through multiple frequency phase shift principle. Secondly, a two-step method is utilized to solve the nonlinear equations. To obtain the stable direct parameter estimation, a vector parameter is introduced to solve the linearization of the nonlinear equation and an optimal point set is selected by affine transformation relationship. Finally, a global bundle adjustment algorithm is developed to implement high precision calibration of the projector. After the calibration of single camera system, the standard balls are measured to verify its accuracy. The experimental results showed that the average value of the projector-camera system’s re-projection error is 0.04 pixel, and the average deviation is less than 0.1 mm in diameter and 0.05 mm in distance acquired by the standard balls. The results further indicate that the algorithm model is simple, stable and accurate. Above all, the projector calibration algorithm can be applied to the situation that the displacement of main point has a large deviation and focal length is unknown.

structured light measurement; projector calibration; plane model; wholly parametric

2016-03-26。 作者簡介:龔春園(1989—),女,博士生;梁晉(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(51421004,51275378,51275389);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目;廣東省公益研究與能力建設(shè)專項資金資助項目(2014A010104003)。

時間:2016-07-18

10.7652/xjtuxb201611006

TP391

A

0253-987X(2016)11-0036-07

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