一種求解含圍帶阻尼成圈葉片振動(dòng)響應(yīng)的高效方法

邱恒斌,徐自力,劉雅琳,上官博

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2.西安建筑科技大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院,710055,西安;3.西安熱工研究院有限公司,710032,西安)

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一種求解含圍帶阻尼成圈葉片振動(dòng)響應(yīng)的高效方法

邱恒斌1,徐自力1,劉雅琳2,上官博3

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2.西安建筑科技大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院,710055,西安;3.西安熱工研究院有限公司,710032,西安)

針對(duì)含圍帶阻尼成圈葉片的非線性振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)自由度多、迭代求解計(jì)算量大的問(wèn)題,綜合波傳動(dòng)法、高階諧波平衡法及Receptance法推導(dǎo)了一種求解含圍帶阻尼成圈葉片振動(dòng)響應(yīng)的高效方法。根據(jù)成圈葉片結(jié)構(gòu)周期對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn),采用波傳動(dòng)法,將含圍帶阻尼成圈葉片降階為一個(gè)基本扇區(qū)進(jìn)行振動(dòng)分析,接觸面的非線性摩擦力可由單個(gè)扇區(qū)的位移結(jié)合干摩擦模型求得;將降階后單個(gè)扇區(qū)的時(shí)域振動(dòng)微分方程由高階諧波平衡法轉(zhuǎn)化為頻域代數(shù)方程,通過(guò)葉片正則振型的正交性對(duì)頻域的振動(dòng)方程進(jìn)行解耦,并利用葉片局部非線性的特點(diǎn)對(duì)非接觸面上的線性自由度進(jìn)一步縮聚,從而減少非線性迭代的規(guī)模,提高計(jì)算效率。算例結(jié)果表明:采用所提求解方法的響應(yīng)計(jì)算結(jié)果與采用整體模型的結(jié)果相差小于0.33%,計(jì)算時(shí)間縮短為原來(lái)的10%,驗(yàn)證了該方法的正確性、高效性,同時(shí)采用該方法研究了真實(shí)圍帶阻尼葉片的非線性振動(dòng)響應(yīng)。

成圈葉片;振動(dòng)響應(yīng);圍帶阻尼;降階方法

為了避免透平機(jī)械發(fā)生高周疲勞,葉片系統(tǒng)經(jīng)常采用干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)來(lái)增加阻尼以減小葉片的振動(dòng)幅值[1-2]。葉片振動(dòng)過(guò)程中,干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)利用接觸面之間振動(dòng)產(chǎn)生的相互摩擦來(lái)消耗振動(dòng)能量,降低振動(dòng)水平。干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)的存在使葉片系統(tǒng)成為變剛度、變阻尼的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。為了更好研究干摩擦阻尼結(jié)構(gòu)葉片的振動(dòng)特性,葉片系統(tǒng)常采用有限元模型進(jìn)行分析。由于葉片系統(tǒng)的響應(yīng)求解是一個(gè)非線性迭代過(guò)程,成圈葉片有限元模型自由度過(guò)多將導(dǎo)致迭代求解計(jì)算量非常大,直接求解難以實(shí)現(xiàn)。

本文綜合波傳動(dòng)法、高階諧波平衡法及Receptance法發(fā)展了一種計(jì)算圍帶成圈葉片非線性振動(dòng)響應(yīng)的高效求解方法,給出了該求解方法的詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程。

1 求解方法

1.1 基于波傳動(dòng)法的圍帶成圈葉片降階

當(dāng)葉片靜止時(shí)相鄰葉片圍帶之間存在間隙,工作時(shí)葉片在離心力的作用下發(fā)生反向扭轉(zhuǎn)變形,這種扭轉(zhuǎn)變形使相鄰葉片圍帶相互接觸形成摩擦接觸面。葉片振動(dòng)時(shí),圍帶接觸面相互摩擦產(chǎn)生摩擦力消耗振動(dòng)能量,減小振動(dòng)幅值。當(dāng)每只葉片受相同幅值、不同固定相位的氣流激勵(lì)時(shí),相鄰葉片各點(diǎn)的位移幅值相同且存在一個(gè)固定相位差。在該氣流激勵(lì)下采用波傳動(dòng)法,將具有循環(huán)對(duì)稱(chēng)特性的成圈葉片降階成一個(gè)基本扇區(qū)的模型進(jìn)行分析,相鄰基本扇區(qū)之間的耦合力通過(guò)施加周期對(duì)稱(chēng)邊界條件實(shí)現(xiàn),可得整圈葉片的動(dòng)力特性。

單個(gè)葉盤(pán)扇區(qū)有限元模型如圖1所示,其有限元振動(dòng)方程為

fb(qb(t))

(1)

圖1 單個(gè)扇區(qū)的有限元模型

基本扇區(qū)的振動(dòng)位移向量、摩擦力、周期對(duì)稱(chēng)面耦合力按左右摩擦接觸面和周期界面自由度進(jìn)行分塊,即

(2)

(3)

(4)

式中:qml(t)、qmr(t)為左、右接觸界面節(jié)點(diǎn)的位移;qbl(t)、qbr(t)為左、右周期對(duì)稱(chēng)面節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移;qo(t)為基本扇區(qū)其他節(jié)點(diǎn)的位移;fml(t)、fmr(t)為左、右接觸面節(jié)點(diǎn)摩擦力;fbl(t)、fbr(t)為左、右周期對(duì)稱(chēng)界面的耦合力。

根據(jù)波傳動(dòng)法[7],左右周期對(duì)稱(chēng)界面上節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移和耦合力的關(guān)系為

qbr(t)=e-ihφI·qbl(t)

(5)

fbr(t)=-e-ihφI·fbl(t)

(6)

式中:I為單位矩陣;h為激勵(lì)的階數(shù);φ=2π/N為相鄰扇區(qū)之間的振動(dòng)相位角;N為葉片數(shù)。

由式(5),可對(duì)基本扇區(qū)的振動(dòng)位移q(t)進(jìn)行縮減處理,即

(7)

將式(7)代入式(1),并做變換,則基本扇區(qū)的振動(dòng)方程變?yōu)?/p>

(8)

因此,通過(guò)波傳動(dòng)法施加周期邊界條件,在變換過(guò)程中左周期對(duì)稱(chēng)界面上的自由度減小,且消去了未知周期對(duì)稱(chēng)界面上的耦合力。

根據(jù)周期對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),對(duì)于第j、j+1個(gè)葉盤(pán)扇區(qū),摩擦接觸面上的振動(dòng)位移關(guān)系為

qj+1(t)=qj(t+δt)=e-ihφqj(t)

(9)

第j個(gè)葉片左接觸面和第j-1個(gè)葉片右接觸面的相對(duì)位移及第j個(gè)葉片右接觸面和第j+1個(gè)葉片左接觸面的相對(duì)位移為

(10)

(11)

左右接觸面上的相對(duì)位移存在關(guān)系

(12)

接觸點(diǎn)對(duì)的非線性干摩擦力由相鄰葉片接觸面間的相對(duì)位移結(jié)合三維干摩擦微滑移模型[10]確定。同時(shí),由于接觸面振動(dòng)位移是周期性的,故接觸面的相對(duì)位移和干摩擦力也是周期性的。

1.2 振動(dòng)響應(yīng)的求解

諧波平衡法是求解非線性問(wèn)題有效、快速的方法。葉片振動(dòng)時(shí)接觸面會(huì)有黏滯、滑移、分離的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),分離時(shí)非線性項(xiàng)中的高次諧波對(duì)振動(dòng)影響很大,對(duì)一次諧波平衡法的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差[2],因此本文采用高階諧波平衡法求解振動(dòng)方程。

當(dāng)干摩擦阻尼葉盤(pán)系統(tǒng)受到周期性氣流激勵(lì)作用時(shí),假設(shè)其振動(dòng)響應(yīng)與界面約束力均呈現(xiàn)周期性變化,可將葉盤(pán)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)、氣流激振力和干摩擦力展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)

(13)

(14)

(15)

式中:h為諧波階數(shù);H為諧波平衡法中考慮的最大諧波數(shù);ω為氣流激振力的基頻;Qh、Ph和Fmh分別為振動(dòng)響應(yīng)、激振力和接觸面摩擦力的第h階諧波的系數(shù)。

將式(13)～(15)代入式(8),可得非線性代數(shù)方程組

(16)

式(16)在頻域內(nèi)計(jì)算葉片的響應(yīng)時(shí),僅通過(guò)單個(gè)扇區(qū)的位移信息計(jì)算接觸面的摩擦力,通過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

盡管采用波傳動(dòng)法對(duì)成圈葉片進(jìn)行了降階,但由于葉片結(jié)構(gòu)復(fù)雜,單只葉片有限元模型中通常有上萬(wàn)個(gè)節(jié)點(diǎn),因此方程個(gè)數(shù)非常多,迭代求解很耗時(shí),需要進(jìn)一步降階。本文將采用Receptance法做降階處理,以便高效快速地求解葉片系統(tǒng)的非線性振動(dòng)響應(yīng)。Receptance法利用葉片正則振型的正交性對(duì)葉盤(pán)系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行解耦,然后利用葉盤(pán)系統(tǒng)接觸界面非線性自由度遠(yuǎn)小于總體自由度的特性,只需要迭代求解葉盤(pán)系統(tǒng)接觸界面上非線性自由度的振動(dòng)響應(yīng),其余自由度上的振動(dòng)響應(yīng)可直接求解,從而可顯著提高計(jì)算效率。

根據(jù)Receptance法,式(16)可寫(xiě)為

(17)

(18)

一般情況下,系統(tǒng)的前幾階振型對(duì)振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)較大,因此在計(jì)算過(guò)程中忽略系統(tǒng)的高階振型,只考慮前幾階振型,式(18)可改寫(xiě)為

(19)

式中:M為計(jì)算過(guò)程振型的最高階數(shù)。

(20)

(21)

圖2 計(jì)算摩擦接觸面自由度振動(dòng)響應(yīng)的流程圖

2 數(shù)值算例分析

2.1 計(jì)算方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和高效性,本文采用該降階方法計(jì)算某簡(jiǎn)化圍帶成圈葉片的非線性振動(dòng)響應(yīng),并與整體模型的直接計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

簡(jiǎn)化的圍帶葉片扇區(qū)和成圈葉片整體結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示。葉片采用六面體八節(jié)點(diǎn)單元?jiǎng)澐?成圈葉片由30個(gè)葉片組成,單個(gè)扇區(qū)包含3 240個(gè)節(jié)點(diǎn),整體結(jié)構(gòu)包含91 320個(gè)節(jié)點(diǎn)。材料參數(shù)為:密度ρ=7 800 kg/m3,彈性模量E=200 GPa,泊松比υ=0.3。

(a)單個(gè)扇區(qū) (b)整體結(jié)構(gòu)圖3 簡(jiǎn)化的葉片模型

在葉片系統(tǒng)第一階固有頻率附近,取葉頂某一點(diǎn)的x、y、z方向的總位移,采用降階方法和整體模型的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 降階方法和直接計(jì)算結(jié)果

由圖4可看出,采用降階方法和整體模型計(jì)算得到的結(jié)果吻合得很好,最大相對(duì)誤差位于共振點(diǎn)附近,直接計(jì)算的響應(yīng)結(jié)果為0.607mm,降階方法計(jì)算的結(jié)果為0.605mm,兩者相差0.33%,計(jì)算時(shí)間僅為原來(lái)的10%。計(jì)算結(jié)果表明了本文降階方法的正確性和高效性。

2.2 真實(shí)圍帶葉片分析

圖5 真實(shí)圍帶葉片有限元模型

圍帶葉片在安裝時(shí)存在一定的初始間隙,機(jī)組啟動(dòng)時(shí),葉片在扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力的作用下初始間隙會(huì)逐漸減小,使圍帶之間形成摩擦接觸面,并影響接觸面的初始正壓力,不同的初始間隙對(duì)應(yīng)不同的初始正壓力。本文計(jì)算中初始正壓力的取值是根據(jù)扭轉(zhuǎn)恢復(fù)后圍帶平均接觸應(yīng)力和平均接觸面積計(jì)算得到的,本文通過(guò)計(jì)算圍帶葉片在不同初始正壓力的振動(dòng)響應(yīng),分析初始安裝條件對(duì)圍帶葉片減振效果的影響,不同初始正壓力下葉片系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 不同初始正壓力的幅頻響應(yīng)曲線

由圖6可看出,圍帶葉片的響應(yīng)沒(méi)有出現(xiàn)多值、跳躍等典型的非線性特征,這是因?yàn)閷?shí)際葉片設(shè)計(jì)時(shí)初始正壓力比較大,在振動(dòng)過(guò)程表現(xiàn)出的是弱非線性行為。共振幅值與初始正壓力的關(guān)系和共振頻率與初始正壓力的關(guān)系如圖7、8所示。

圖7 共振幅值與初始正壓力的關(guān)系

圖8 共振頻率與初始正壓力的關(guān)系

由圖7、8可看出,當(dāng)接觸面存在初始正壓力時(shí),隨著初始正壓力的增加,葉片共振峰值先減小后增大,最后趨于穩(wěn)定,存在一個(gè)最優(yōu)的初始正壓力使葉片的共振幅值最小;共振頻率隨著正壓力的增加而增加,最終趨于兩接觸面為接觸剛度連接時(shí)葉片的固有頻率。這是因?yàn)楫?dāng)圍帶接觸面間的初始正壓力較小時(shí),圍帶間振動(dòng)產(chǎn)生的摩擦力較小,此時(shí)摩擦力耗能小;隨著初始正壓力的增大,圍帶間的摩擦力逐漸增大,減振效果變好;當(dāng)接觸面初始正壓力大到一定程度后,圍帶間難以產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),摩擦力耗能減小,減振效果變差。共振頻率不斷增大是因?yàn)槌跏颊龎毫Φ脑黾邮瓜噜弴鷰чg的相互約束逐漸變大。

3 結(jié) 論

本文綜合波傳動(dòng)法、高階諧波平衡法及Receptance法推導(dǎo)了一種計(jì)算圍帶成圈葉片的非線性振動(dòng)響應(yīng)的高效求解方法。該方法利用葉片系統(tǒng)的周期對(duì)稱(chēng)性,采用波傳動(dòng)法將成圈葉片降階為一個(gè)基本扇區(qū)進(jìn)行分析,使求解規(guī)模大幅度降低。該方法考慮了高次諧波的影響,能夠求解復(fù)雜周期激勵(lì)下葉片系統(tǒng)的非線性響應(yīng)。通過(guò)葉片模態(tài)的正交性對(duì)葉盤(pán)系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行解耦,并利用葉片系統(tǒng)局部非線性的特點(diǎn)對(duì)非接觸界面上的線性自由度進(jìn)一步縮聚,從而減少了非線性迭代的規(guī)模,提高了計(jì)算效率。

采用本文求解方法得到的計(jì)算結(jié)果與采用整體模型的結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果驗(yàn)證了該方法的正確性與高效性。采用該方法預(yù)測(cè)了某真實(shí)圍帶葉片的振動(dòng)響應(yīng),研究了初始正壓力對(duì)圍帶葉片減振效果的影響,結(jié)果表明存在一個(gè)最優(yōu)的初始正壓力使葉片共振幅值最小,圍帶接觸面間的初始正壓力可通過(guò)調(diào)整葉片安裝時(shí)的圍帶間隙來(lái)實(shí)現(xiàn)。

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(編輯 趙煒 苗凌)

An Efficient Method for Solving Vibration Response of Continuous Covered Blades with Damped Shroud

QIU Hengbin,XU Zili,LIU Yalin,SHANG GUAN Bo

(1. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2. Institute of Environmental and Municipal Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China; 3. Xi’an Thermal Power Research Institute Co. Ltd., Xi’an 710032, China)

An efficient solution method based on wave propagation method, multi-harmonic balance method and Receptance method was developed to solve the problem with overlarge degrees of freedom and computational complexity in calculating the nonlinear vibration response of continuous covered blades with damped shroud. According to the cyclic symmetry property of blade, the vibration analysis of a whole blade can be reduced to one of its basic sector using wave propagation method and the nonlinear friction force can be solved from the displacement of the basic sector and friction contact model; the differential equations in time domain of the reduced basic sector can be transformed into algebraic equations in frequency domain by multi-harmonic balance method. The orthogonality of normalized modes is used to decouple the vibration equation of blade in frequency domain and the local nonlinear characteristics of the blade system are used to condense the linear DOFs in non-contact interfaces. So that the scale of nonlinear iteration can be effectively reduced and the computation efficiency is improved. The results showed that the relative error obtained with the developed method was 0.33% and the calculation time was reduced to 10%, which verifies the accuracy and efficiency of the proposed method. The nonlinear vibration response of a real shrouded blade was investigated by this method.

whole blade; vibration response; shroud damper; order-reducing method

2016-04-07。 作者簡(jiǎn)介:邱恒斌(1991—),男,碩士生;徐自力(通信作者),男,教授。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275385)。

時(shí)間:2016-09-14

10.7652/xjtuxb201611001

TK263.3

A

0253-987X(2016)11-0001-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160914.1805.008.html