提升普通高師院校“泛函分析”課堂教學(xué)有效性的策略

段麗芬，程亞煥，陶玉杰

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

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提升普通高師院?！胺汉治觥闭n堂教學(xué)有效性的策略

段麗芬，程亞煥，陶玉杰

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134002)

針對近年來學(xué)生對“泛函分析”的學(xué)習(xí)熱情不高,課堂教學(xué)效率低下的現(xiàn)狀,從教師自身角度出發(fā),結(jié)合普通高師院校學(xué)生的特點,通過改進教學(xué)過程,對提高泛函分析課堂教學(xué)有效性提出了三點建議.

普通高師院校;泛函分析;課堂教學(xué);有效性

“泛函分析”是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)選修課程，它是研究無限維線性空間上泛函和算子理論的一門分析數(shù)學(xué)，被喻為二十世紀的微積分，相對數(shù)學(xué)專業(yè)的“老三基”(數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何)而言，與抽象代數(shù)、拓撲學(xué)一起被稱為“新三基”.可見，“泛函分析”教學(xué)在高校數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中具有重要的地位.然而，目前這門課程的前景令人堪憂.近年來學(xué)生對“泛函分析”的學(xué)習(xí)熱情呈下降趨勢，選修課程的人數(shù)逐年遞減，而且，選修這門課程的很多學(xué)生帶著敷衍了事的態(tài)度而來，不是為了真正學(xué)好這門課程本身，而只是為了湊學(xué)分.那么造成現(xiàn)在這種局面的原因何在？作為教師，如何提高“泛函分析”課堂教學(xué)效果，提高人才培養(yǎng)質(zhì)量，是如今我們必須思考的問題.本人結(jié)合“泛函分析”課程和普通高師院校學(xué)生的特點，從教師自身角度出發(fā)，提出了通過改進教學(xué)過程提高泛函分析課堂教學(xué)有效性的三點建議.

1 注重課程總體框架結(jié)構(gòu)和主線的把握

“泛函分析”課程包括空間理論和算子理論兩大部分內(nèi)容，但這兩部分內(nèi)容又是彼此交織、相互聯(lián)系的.在編寫教材時需考慮閱讀對象的基礎(chǔ)，基本概念、基本理論的先后順序、依賴關(guān)系等眾多因素，往往課程的基本框架結(jié)構(gòu)和知識體系的系統(tǒng)性無法完美呈現(xiàn).如果教師在教學(xué)中不加引導(dǎo)，學(xué)生只掌握一些零散的概念定理，會做一些習(xí)題，過后很快就會忘掉.學(xué)生當然認為學(xué)的東西沒用，也不會引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

我校數(shù)學(xué)專業(yè)本科生“泛函分析”課程選用的是程其襄等編著的《實變函數(shù)與泛函分析》(第三版)[1]，教學(xué)計劃講授第七章至第十章.圍繞空間理論(包括第七章和第九章部分內(nèi)容)和算子理論(包括第八章、第九章部分內(nèi)容及第十章)兩條主線展開，這一點在課程開篇就交待清楚，讓學(xué)生思路清晰.必要時交叉進行，循序漸進.

對于空間理論部分突出距離空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間三個主要概念以及他們之間的關(guān)系，領(lǐng)會無限維空間引入的必然和必要，從大家熟悉的有限維歐氏空間入手再恰當不過了.通過“數(shù)學(xué)分析”和“高等代數(shù)”兩門專業(yè)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對n維歐氏空間Rn已經(jīng)有了不少的了解，引導(dǎo)學(xué)生將這些零散的認識進行歸納，提煉出其線性結(jié)構(gòu)、幾何屬性、拓撲結(jié)構(gòu)相關(guān)理論，沿其發(fā)展軌跡和實際需要進入無限維空間[2],讓學(xué)生感到自然.

對于算子理論部分的核心內(nèi)容是四大基本定理：Hahn-Banach定理、共鳴定理、開映射定理和閉圖像定理，主要講清定理的背景、內(nèi)容及應(yīng)用，下面以共鳴定理為例，進行闡述.

共鳴定理的來源：我們知道，若f是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)，且在[-π,π]上按段光滑，則f的Fourier級數(shù)在(-∞,+∞)上收斂于f.那么將上述條件中的“在[-π,π]上按段光滑”去掉，結(jié)論是否成立？對于這個著名的問題，1876年，P.du Bois Reymond構(gòu)造出了以2π為周期的連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)在給定點發(fā)散的例子；隨后，O.Toeplitz在級數(shù)求和的研究中(1911年)、H.Hahn在插值問題(1918年)及奇異積分的研究(1922年)中、I.Schur在求和法的研究(1920年)中都對類似的問題加以關(guān)注，在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了同類的結(jié)論，共鳴定理就是通過分析上述大量成果，由S.Banach和H.Steinhaus總結(jié)出的一般性的定理.

那么,自然考慮在什么條件下,點態(tài)有界便一致有界,共鳴定理很好地回答了這個問題.

共鳴定理內(nèi)容:設(shè)X是Banach空間，Y是賦范線性空間，Tα∈B(X,Y),α∈I.若{Tα}點態(tài)有界,則{Tα}必一致有界.

共鳴定理注解：

注2 設(shè)X是Banach空間，Y是賦范線性空間，Tn∈B(X,Y),若對?x∈X，{Tnx}都是Y中的柯西列，則{Tn}一致有界.

共鳴定理應(yīng)用:共鳴定理應(yīng)用很廣泛，我們可以教材內(nèi)容古典分析上的著名應(yīng)用-傅里葉級數(shù)的發(fā)散問題為例仔細講解，其他應(yīng)用交待學(xué)生可參考的文獻，如文獻[3-5]，分組安排任務(wù)，找時間讓學(xué)生講.

總之，在教學(xué)中重視主線的把握，讓學(xué)生一開始就知道我們在做什么.至于細節(jié)的內(nèi)容靈活處理，使學(xué)生一直保持一種清醒狀態(tài)去學(xué)習(xí)，避免導(dǎo)致消極情緒的“云山霧罩”的感覺.

有個人看完告示后，就一直心驚膽戰(zhàn)地走著路，直到有個小孩拿著一樣?xùn)|西從后面追上他：“叔叔，這是您的吧？”

2 強調(diào)學(xué)科思想方法的滲透和作用

著名的數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授指出：“每一門數(shù)學(xué)學(xué)科都有其特有的數(shù)學(xué)思想，賴以進行研究或?qū)W習(xí)的導(dǎo)向，以便掌握其精神實質(zhì).只有把數(shù)學(xué)思想掌握了，計算才能發(fā)生作用，形成演繹體系才有靈魂.”[6]因此，在教學(xué)過程中，對重要概念和結(jié)論的引入，盡量采用“問題與猜想”“問題與分析”的形式，以利于幫助學(xué)生了解概念和結(jié)論的來龍去脈，掌握解決問題的方法，提高數(shù)學(xué)思維能力，增強應(yīng)用意識.

(1)

不難想象,條件應(yīng)該是:規(guī)范正交系M中的向量足夠多.我們注意到,用“M張成的空間spanM在X中稠密”來刻畫“足夠多”的想法是合適的.因為這時,X中的向量x或者是M中有限向量的線性組合,即x∈spanM,或者是spanM中一列向量的極限,即能表成M中向量做成的級數(shù)和.

進一步,通過證明得到我們期望的結(jié)論：設(shè)X是Hilbert空間,M={ei}為Hilbert空間X中有限或可列規(guī)范正交系,則下列命題等價:

(2)M⊥={θ}(M完備);

3 體現(xiàn)師范特色，重視職業(yè)素養(yǎng)的培養(yǎng)

作為普通高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，畢業(yè)后的去向大多是從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，所以盡管在高度抽象的“泛函分析”課程教學(xué)過程中，也不能脫離培養(yǎng)數(shù)學(xué)教師職業(yè)素養(yǎng)的軌跡.首先，作為培養(yǎng)未來教師的教師，在教學(xué)中要時刻注意對學(xué)生的示范和影響作用，尤其對于像“泛函分析”這樣學(xué)生不太熱衷的選修課，教師飽滿的熱情和敬業(yè)態(tài)度，無疑是對高尚教師職業(yè)道德最好的詮釋；其次，在“泛函分析”課程相關(guān)內(nèi)容中挖掘與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，深刻領(lǐng)會高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用.例如，學(xué)生通過完備性的學(xué)習(xí)可以知道，實數(shù)集R是有理數(shù)集Q的完備化空間，從而加深了無理數(shù)是有理數(shù)列的極限的理解，不但知道了無理數(shù)集具有連續(xù)基數(shù)，有理數(shù)集僅有可列基數(shù)，而且知道有理數(shù)集是第一綱集，無理數(shù)集是第二綱集等.于是，便提高了學(xué)生的知識素養(yǎng)；再次，在“泛函分析”教學(xué)中改變教師“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué)模式，讓學(xué)生參與教學(xué).這不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以鍛煉學(xué)生的教學(xué)能力、溝通表達能力.雖然“泛函分析”課程的內(nèi)容總體上抽象，但也有一些簡單的概念、定理等，如連續(xù)映射的概念，在“數(shù)學(xué)分析”中一元連續(xù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上很容易理解.壓縮映射原理，因為它的特例可用數(shù)學(xué)分析的方法解決，在此基礎(chǔ)上再進行推廣便可獲得.像這樣相對簡單的部分，可以通過小組討論后選一名組員來講，小組其他學(xué)生補充后，其余學(xué)生和老師再深入和補充的方式組織教學(xué).使學(xué)生在學(xué)到數(shù)學(xué)專業(yè)知識的同時，鍛煉了其教學(xué)能力和表達能力，提升了能力素養(yǎng).

總之，“泛函分析”課程雖然抽象，但如果在教師充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，遵從人類的認知規(guī)律，在教學(xué)過程中將整個認知過程呈現(xiàn)給學(xué)生，相信每個學(xué)生都會受益匪淺.比如,在給出完備度量空間概念時,采用如下步驟:①復(fù)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”中學(xué)習(xí)的數(shù)列收斂的柯西收斂準則.這部分可要求學(xué)生之前復(fù)習(xí),包括其證明過程,強調(diào)結(jié)論:在實數(shù)集中，數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是柯西列；②提出問題：在一般度量空間中，數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是柯西列？通過證明得到結(jié)論：在一般度量空間中，收斂數(shù)列一定為柯西列，但反之不一定成立(以有理數(shù)集在歐式距離下構(gòu)成的度量空間作為反例來說明即可)；③給出完備度量空間的概念：所有柯西列都收斂的度量空間稱為完備度量空間．通過上述的教學(xué)過程，可能不是每個學(xué)生對每個推理過程都掌握很透徹，但他們會收獲方法和總體過程的把握，在以后從事教學(xué)中注意講清來龍去脈，注意聯(lián)系和區(qū)別，注意循序漸進.

當然，除此之外，提升課件制作質(zhì)量、注意肢體語言的運用、數(shù)學(xué)文化的滲透等都將對提高泛函分析課堂教學(xué)有效性有所幫助，要注意總結(jié)運用.

[1]程其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]徐宗本.從大學(xué)數(shù)學(xué)走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社,2007.

[3]定光桂.巴拿赫空間引論[M].北京:科學(xué)技術(shù)出版社,1999.

[4]匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[5]王聲望,鄭維行.實變函數(shù)與泛函分析概要(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[6]張奠宙.張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想集[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2013.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

2015-10-12

2014年吉林省高等教育教學(xué)研究課題“地方高師院校泛函分析課程設(shè)計及實踐研究”；2014年通化師范學(xué)院高等教育教學(xué)研究課題“地方高師院校泛函分析課程設(shè)計及實踐研究”

段麗芬,女,吉林梨樹人,教授.

G642.0

A

1008-7974(2016)05-0084-04

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.026