橢圓還圓法

閔學(xué)文

解決橢圓復(fù)雜問題時，同學(xué)們往往覺得解題過程很繁雜而不愿意去做，如果掌握了橢圓還圓法，將橢圓變成圓，然后利用圓的性質(zhì)解決這些問題，那么解決橢圓問題的時候就可以找到捷徑.

首先看復(fù)旦保送題：在四分之一的橢圓+=1（x>0，y>0）上求一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P橢圓的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積最小.

解析：令=x′=y′，則橢圓方程變換為x′+y′=1.

設(shè)橢圓的切線交x軸于B，交y軸于A，則變換為單位圓后分別變?yōu)锳′，B′，由于仿射不變性，則|OB|=a|OB′|，|OA|=b|OA′|.

S=|OA|·|OB|，S′=|OA′|·|OB′|？圯S=abS′.

在單位圓中，∵OP′⊥A′B′，∴|OA′|·|OB′|=|OP′|·|A′B′|=|A′B′|，

且|A′B′|=.

上面兩式平方可得：|OA′|·|OB′|=|OA′|+|OB′|≥2|OA′|·|OB′|=2.

∴S′≥1，此時面積最小，P′（，）.由變換可知P（a，b）為所求.

剛才我們使用了仿射不變性，這是高等數(shù)學(xué)的性質(zhì)，在這里我們不去證明，但是我們需要記住以下結(jié)論：

1.共點(diǎn)、共線不變（直線和圓錐曲線的位置關(guān)系不變），例如：原來相切（交）變換后仍然相切（交）；2.坐標(biāo)成比例變化；

3.斜率成比例變化；k==-·=·k；

4.面積成比例變化；S=abS′；

5.線段成比例變化.（是中點(diǎn)的變化后還是中點(diǎn)）

我們再看一題（06山東文21）：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形是正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4，

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線l過點(diǎn)P（0，2）且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最小值時，求直線l的斜率.

解題分析：（1）容易得橢圓方程為：+y=1；

（2）令=y′=x′，由于仿射不變性，可知P（0，2）變化為P′（0，2）.

題目改為求單位圓x′+y′=1過P（0，2）的直線l交圓于兩點(diǎn)A′，B′，△A′OB′面積最大時直線方程.

S=|OA′||OB′|·sinθ=sinθ；

∴當(dāng)sinθ=1時，即θ=時取得最大，此時轉(zhuǎn)換成求O點(diǎn)到直線l′的距離為，可設(shè)直線l′的方程為：y=k′x′+2，由距離公式可得：

=？圯k′=±，所以根據(jù)斜率成比例可得：k=·k′=±，這道題被我們瞬間秒殺.

（2011年重慶理20）：如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e=，一條準(zhǔn)線的方程為x=2.（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ） 設(shè)動點(diǎn)P滿足：=+2 ，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-，問：是否存在兩個定點(diǎn)F，F(xiàn)，使得|PF|+|PF|為定值？若存在，求F，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解析：容易得知橢圓方程為+=1，x′=y′=，

變化為單位圓后，∵k·k=·k·k=-∴k·k=-1，

容易得到動點(diǎn)P′滿足|OP′|=，即x′+y′=5為其方程，

所以+=1為動點(diǎn)P的軌跡方程，則|PF|+|PF|為定值，

∴F（-，0），F(xiàn)（，0）為所求.

通過此題是想告訴我們出題是根據(jù)橢圓還圓法，反向轉(zhuǎn)化，就將一道弱智的題變成一道巨難的解析幾何難題.同時我們也可知道高考命題的方式、背景，加深對考題真題的認(rèn)識.

有了對橢圓還圓法全面的認(rèn)識，那么到底什么時候用？歸納了以下幾種：

1.面積問題；

2.線段成比例問題；

3.斜率成比例問題；

4.變換后成特殊幾何關(guān)系.

此種方法確實存在風(fēng)險，但它能幫助我們快速獲得結(jié)果，便于檢查，可以用常規(guī)式子寫出過程，用此法得出結(jié)果.優(yōu)秀學(xué)生參加自主招生考試時可以隨意使用.