一種分析微帶線隨機(jī)參數(shù)敏感性的多項(xiàng)式混沌展開方法

程市,黃斌科,師振盛

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

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一種分析微帶線隨機(jī)參數(shù)敏感性的多項(xiàng)式混沌展開方法

程市,黃斌科,師振盛

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,710049,西安)

針對傳輸線加工中材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)不確定性對傳輸性能影響的問題,提出了一種計(jì)算隨機(jī)系數(shù)傳輸線電報(bào)方程的多項(xiàng)式混沌(PC)展開方法。利用正交多項(xiàng)式混沌基函數(shù),該方法首先將傳輸線電報(bào)方程中的隨機(jī)等效集總參數(shù)、傳輸線電壓及電流響應(yīng)進(jìn)行展開;其次利用Galerkin法,將隨機(jī)系數(shù)的電報(bào)方程問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于電壓、電流正交多項(xiàng)式展開系數(shù)的確定性擴(kuò)階方程組問題,并結(jié)合傳輸線邊界條件可計(jì)算電壓、電流的展開系數(shù),進(jìn)而獲得電壓、電流及傳遞函數(shù)的均值、方差和概率密度分布。隨機(jī)參數(shù)微帶傳輸線的仿真結(jié)果表明:低頻時(shí)導(dǎo)帶寬度對微帶線的傳輸性能影響較大,高頻時(shí)介電常數(shù)對其傳輸性能影響較大;在滿足計(jì)算精度要求的同時(shí),PC展開方法具有比傳統(tǒng)蒙特卡羅(MC)方法更高的計(jì)算效率,計(jì)算耗時(shí)僅約為MC方法的1/500。

微帶線;電報(bào)方程;敏感性;多項(xiàng)式混沌展開;蒙特卡羅方法

微帶線在集成電路互連和平面微波電路設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。隨著電路器件的小型化和集成度的提高,微帶線加工中的材料和幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)不確定性對微帶電路的影響越來越嚴(yán)重,因此研究加工參數(shù)隨機(jī)不確定性對微帶電路性能的影響,并分析電路響應(yīng)對加工隨機(jī)參數(shù)的敏感性,對于平面微波電路設(shè)計(jì)具有重要的應(yīng)用價(jià)值,且可以兼顧性能余量和加工成本問題。

目前在電磁及微波領(lǐng)域研究隨機(jī)問題的典型方法為蒙特卡羅(MC)方法和多項(xiàng)式混沌(PC)方法等。MC方法對隨機(jī)模型參數(shù)進(jìn)行大量采樣并進(jìn)行多次統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn),得到隨機(jī)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]結(jié)合精細(xì)積分算法和MC方法對工藝參數(shù)隨機(jī)擾動下的傳輸線進(jìn)行了建模和分析,給出了傳輸線隨機(jī)模型的瞬態(tài)響應(yīng)。該方法具有易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn),但其統(tǒng)計(jì)結(jié)果要達(dá)到收斂需要大量的采樣樣本,耗費(fèi)時(shí)間長,計(jì)算效率低。文獻(xiàn)[3]提出了一種將拉丁超立方采樣與MC方法相結(jié)合的方法,該方法在一定程度上可減小MC方法的采樣數(shù)量,提高了采樣效率。目前工程應(yīng)用中一般將MC方法作為對其他隨機(jī)問題計(jì)算算法效率的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。PC方法基于隨機(jī)變量的概率分布,利用正交多項(xiàng)式混沌對隨機(jī)過程進(jìn)行展開,并結(jié)合響應(yīng)隨機(jī)變量的控制方程及Galerkin方法可將隨機(jī)模型轉(zhuǎn)化為擴(kuò)階的確定性問題進(jìn)行求解,進(jìn)而得到響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性[4]。文獻(xiàn)[5]在研究帶通濾波器電路中溫度隨機(jī)變化對電路響應(yīng)的影響時(shí),采用PC方法對節(jié)點(diǎn)方程組中的隨機(jī)變量進(jìn)行展開,較MC方法具有精確快速的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]研究傳輸線互連問題時(shí),將PC方法引入到傳輸線方程,計(jì)算了材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)不確定時(shí)的傳輸響應(yīng),驗(yàn)證了PC方法的正確性及高效性,但沒有分析加工參數(shù)隨機(jī)性對傳輸性能影響的敏感性。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于PC方法和進(jìn)化算法相結(jié)合的電磁場逆問題魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,引入PC方法后有效降低了計(jì)算資源。然而,上述文獻(xiàn)沒有分析加工參數(shù)隨機(jī)性對傳輸線尤其是微帶線性能影響的敏感性。

本文將PC方法引入隨機(jī)參數(shù)的傳輸線方程,分析微帶線傳輸響應(yīng)受基板材料及導(dǎo)帶幾何尺寸隨機(jī)影響的敏感性。首先介紹了PC展開理論,并針對隨機(jī)參數(shù)的傳輸線方程將PC展開與Galerkin方法結(jié)合,將隨機(jī)問題的求解轉(zhuǎn)化為擴(kuò)階的確定性方程組的求解;其次,以微帶線為例,研究微帶線參數(shù)隨機(jī)變化時(shí)傳輸響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性;最后分析微帶線傳輸?shù)挠绊憫?yīng)受隨機(jī)參數(shù)影響的敏感性。本文方法與傳統(tǒng)MC方法相比在計(jì)算效率上有顯著優(yōu)勢。

1 多項(xiàng)式混沌展開理論

若Z為一維隨機(jī)變量,則關(guān)于隨機(jī)變量Z的函數(shù)f(Z)的多項(xiàng)式混沌逼近為

(1)

正交多項(xiàng)式基函數(shù)的選取與隨機(jī)變量Z的概率密度分布函數(shù)ρ(Z)有關(guān),不同概率分布的隨機(jī)變量可選擇不同的Askey正交多項(xiàng)式作為最優(yōu)逼近的基函數(shù)[9]。Xiu等人從Askey多項(xiàng)式族出發(fā),將基于高斯隨機(jī)變量的Hermite多項(xiàng)式混沌展開拓展到其他不同概率密度分布的隨機(jī)變量的Askey PC族[4],如Gamma分布對應(yīng)Laguerre多項(xiàng)式基展開、Beta分布對應(yīng)Jacobi多項(xiàng)式基展開和均勻分布對應(yīng)Legendre多項(xiàng)式基展開等。將一維隨機(jī)變量拓展到多維獨(dú)立隨機(jī)變量的正交多項(xiàng)式展開時(shí),對n維相互獨(dú)立的隨機(jī)變量采用m階PC展開逼近,PC展開項(xiàng)數(shù)P+1=(n+m)!/(n!m!)[4,9]。如對2維獨(dú)立隨機(jī)變量采用3階、5階、7階展開時(shí),對應(yīng)的展開項(xiàng)分別為10項(xiàng)、21項(xiàng)、36項(xiàng)。

PC展開理論中,利用有限項(xiàng)正交多項(xiàng)式混沌之和的形式表示隨機(jī)參數(shù),并代入到隨機(jī)偏微分方程中實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)響應(yīng)求解,系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性如均值、方差、概率密度等可解析表示。PC展開方法只需一次仿真,這是PC展開方法相較于傳統(tǒng)MC方法的優(yōu)勢所在。

2 微帶線隨機(jī)參數(shù)傳輸線方程計(jì)算

以微帶線模型為例,圖1所示的為含源和負(fù)載的傳輸線電路。傳輸線理論中,將傳輸線分布參數(shù)效應(yīng)用其單位長度等效集總參數(shù)電路進(jìn)行分析[10]。采用基爾霍夫電壓和電流定律得到關(guān)于傳輸線上電壓、電流滿足的電報(bào)方程

(2)

式中:R、L分別為單位長度傳輸線串聯(lián)電阻和電感;G、C分別為并聯(lián)電導(dǎo)和電容;s=jω為拉普拉斯變換域復(fù)變量。為書寫方便,令串聯(lián)復(fù)數(shù)阻抗Z=R+sL,復(fù)數(shù)導(dǎo)納Y=G+sC。

E(s)為電壓源;ZS和ZL分別為電壓源內(nèi)阻和負(fù)載;V1(s)和V2(s)分別為近端電壓和遠(yuǎn)端電壓;I1(s)和I2(s)分別為近端電流和遠(yuǎn)端電流;l為傳輸線長度圖1 含源和負(fù)載的傳輸線電路

在加工中,實(shí)際微帶線結(jié)構(gòu)模型的基板材料參數(shù)εr、基板高度h和導(dǎo)帶寬度w等受加工工藝的影響會存在隨機(jī)不確定性,進(jìn)而對微帶線作為傳輸互連結(jié)構(gòu)時(shí)的性能產(chǎn)生影響。本文考慮基板材料相對介電常數(shù)εr和導(dǎo)帶寬度w近似服從高斯分布

(3)

(4)

利用PC理論,傳輸線方程中的隨機(jī)變量系數(shù)阻抗、導(dǎo)納可用正交多項(xiàng)式基函數(shù)展開,這些正交多項(xiàng)式基函數(shù)與傅里葉級數(shù)中的正余弦函數(shù)類似。對于阻抗、導(dǎo)納變量服從高斯隨機(jī)分布,其對應(yīng)的正交基函數(shù)為Hermite多項(xiàng)式。將微帶線電報(bào)方程阻抗、導(dǎo)納隨機(jī)變量用Hermite正交多項(xiàng)式展開如下

(5)

(6)

式中:ξ為隨機(jī)矢量,ξ=[ξ1,ξ2]T;Zk、Yk為展開系數(shù),其計(jì)算公式如下

(7)

(8)

對于展開系數(shù)Zk和Yk的計(jì)算,阻抗、導(dǎo)納對于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的傳輸線無解析表達(dá)式,通常采用高斯數(shù)值求積方法得到。電壓、電流響應(yīng)隨機(jī)變量用Hermite正交多項(xiàng)式展開如下

(9)

(10)

式中:Vj和Ij為待求的展開系數(shù),將式(5)、(6)、(9)、(10)代入電報(bào)方程(2),可得

(11)

(12)

對式(11)、(12)應(yīng)用隨機(jī)Galerkin方法展開,得到

(13)

(14)

令

(15)

(16)

式中:P為展開項(xiàng)數(shù)。

將式(15)、(16)代入到式(13)、(14)中,將得到關(guān)于電壓、電流展開系數(shù)的方程組

(17)

利用式(17),微帶線終端電壓V2、電流I2與始端電壓V1、電流I1的關(guān)系為

(18)

(19)

考慮圖1中源和負(fù)載的邊界條件

(20)

(21)

式中:V1和V2分別為始端和終端電壓;I1和I2分別為始端和終端電流;ZS和ZL分別為始端和終端阻抗;E(s)為激勵電壓源。將式(20)、(21)用PC方法展開并結(jié)合式(18),得到關(guān)于電壓、電流展開系數(shù)的矩陣方程

(22)

式(19)中的各項(xiàng)都是用PC方法展開后得到的系數(shù)矩陣,求解式(19)得到電壓、電流展開系數(shù)后,結(jié)合Hermite正交多項(xiàng)式基函數(shù)可得到關(guān)于電壓、電流及傳遞函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性如均值、方差和概率密度函數(shù)等,由計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可用于分析微帶傳輸線傳輸性能受其材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)性的敏感性。

上述理論是在考慮傳輸線等效集總RLGC參數(shù)影響條件下給出的,對一般結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的傳輸線,其頻散RLGC參數(shù)并沒有明確的解析表達(dá)式。對PC展開中需要的受頻率和傳輸線結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)影響的RLGC計(jì)算,通常引入宏模型來表征以提高計(jì)算精度和效率[12]。對于工作頻率較低或結(jié)構(gòu)尺寸較大的傳輸線模型可忽略傳輸損耗的影響,只需分析加工隨機(jī)參數(shù)對傳輸相移的敏感性,可有效降低本文算法的計(jì)算復(fù)雜度。

3 微帶線模型仿真與分析

為簡潔起見,本文算例考慮無耗傳輸線工作狀態(tài)。以微帶線模型為例,導(dǎo)帶厚度t=35 μm,基板介質(zhì)高度h=60 μm,微帶線長度l=5 cm。圖1所示傳輸線電路中激勵電壓源為正弦信號,源阻抗ZS=50 Ω,負(fù)載阻抗ZL=1/(sCL+GL),其中CL=10 pF,GL=1/(10 kΩ)。微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)εr和微帶線導(dǎo)帶寬度w均服從高斯分布,εr均值取3.7,w均值為100 μm,兩個隨機(jī)變量的相對標(biāo)準(zhǔn)偏差均取0.1。

本文方法在實(shí)現(xiàn)中,考慮導(dǎo)帶厚度、電容、電感作為微帶線基板材料介質(zhì)參數(shù)、基板介質(zhì)高度、微帶線導(dǎo)帶寬度等的函數(shù)可利用解析公式進(jìn)行求解[13]。求解式(6)、(7)對應(yīng)的電容、電感展開系數(shù)時(shí),采用數(shù)值求積方法結(jié)果精度高且易于實(shí)現(xiàn)。這里分別計(jì)算了微帶線的近端傳遞函數(shù)Hn=V1(s)/E(s)和遠(yuǎn)端傳輸函數(shù)Hf=V2(s)/E(s)。本文同時(shí)也給出了MC方法的計(jì)算結(jié)果,以驗(yàn)證本文PC方法計(jì)算結(jié)果的正確性,在MC方法中采樣次數(shù)取40 000,滿足統(tǒng)計(jì)結(jié)果的收斂性。

3.1 微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)隨機(jī)變化

只考慮微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)εr隨機(jī)變化,微帶線其他參數(shù)都是確定性的。采用一維3階正交Hermite多項(xiàng)式基函數(shù),展開項(xiàng)數(shù)P=4。圖2a和2b分別為微帶線近端和遠(yuǎn)端傳輸傳遞函數(shù)在0.3 GHz時(shí)的概率密度分布,本文PC方法結(jié)果和MC方法結(jié)果取得了較好的一致性。從圖2a中可見近端傳遞函數(shù)取值大致在0.2～0.28區(qū)間,圖2b所示遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)取值大致在0.73～0.83區(qū)間。

(a)近端

(b)遠(yuǎn)端圖2 εr隨機(jī)變化時(shí)傳遞函數(shù)的概率密度分布

(a)近端

(b)遠(yuǎn)端圖3 w隨機(jī)變化時(shí)傳遞函數(shù)的概率密度分布

3.2 微帶線導(dǎo)帶寬度隨機(jī)變化

只考慮導(dǎo)帶寬度w隨機(jī)變化,微帶線其他參數(shù)都是確定性的。同樣采用一維3階正交Hermite多項(xiàng)式基函數(shù),展開項(xiàng)數(shù)P=4。圖3a和3b分別為微帶線近端和遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)在0.3 GHz時(shí)的概率密度分布,本文PC方法結(jié)果和MC方法結(jié)果同樣取得了較好的一致性。由圖3a可見近端傳遞函數(shù)取值大致在0.17～0.29區(qū)間,圖3b所示遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)取值大致在0.72～0.84區(qū)間。

3.3 微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)和導(dǎo)帶寬度均隨機(jī)變化

考慮微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)εr和導(dǎo)帶寬度w均隨機(jī)變化,微帶線其他參數(shù)確定。采用二維3階正交Hermite多項(xiàng)式基函數(shù),展開項(xiàng)數(shù)P=10。圖4a和4b分別為微帶線近端和遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)在0.3 GHz時(shí)的概率密度分布,本文PC方法結(jié)果和MC方法結(jié)果同樣取得了較好的一致性,說明3階PC方法有較高的精度。對于二維隨機(jī)變量的響應(yīng),其概率也近似服從高斯分布。由圖4a可見近端傳遞函數(shù)取值大致在0.16～0.31區(qū)間,圖4b所示遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)取值大致在0.70～0.86區(qū)間。

(a)近端

(b)遠(yuǎn)端圖4 εr和w隨機(jī)變化時(shí)傳遞函數(shù)的概率密度分布

利用仿真得到的微帶線傳輸函數(shù)概率密度分布,可計(jì)算其均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差,并利用3σ準(zhǔn)則可對傳遞函數(shù)受微帶線隨機(jī)材料和結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)變化的上、下界給出估計(jì)。表1～表3分別給出了0.3、1.3和2.3 GHz時(shí)近端、遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)隨微帶線基板介質(zhì)相對介電常數(shù)εr和導(dǎo)帶寬度w隨機(jī)變化時(shí)的均值和偏離均值的上、下界估計(jì)值。

從表1～表3對比發(fā)現(xiàn):①在相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差下,1.3 GHz和2.3 GHz時(shí)相對介電常數(shù)εr隨機(jī)變化對近端傳遞函數(shù)的影響較大,而在0.3 GHz時(shí)導(dǎo)帶寬度w隨機(jī)變化對近端傳遞函數(shù)的影響較大,因此在低頻時(shí)近端響應(yīng)受導(dǎo)帶寬度不確定性的敏感性大,而高頻時(shí)近端響應(yīng)受基板介質(zhì)參數(shù)不確定性的敏感性大;②在相同的標(biāo)準(zhǔn)偏差下,遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)受導(dǎo)帶寬度w隨機(jī)不確定性的影響稍大于相對介電常數(shù)εr的不確定性影響,但差別不大;③近端傳遞函數(shù)隨著頻率增加而增大,而遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)隨著頻率增加而減小;④對于兩個隨機(jī)變量均考慮時(shí)的傳遞函數(shù),其3σ上下界范圍均比單個隨機(jī)變量時(shí)的上下界范圍要寬,即兩個隨機(jī)變量時(shí)的傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差比單個隨機(jī)變量要大,說明微帶線加工中多個參數(shù)隨機(jī)變化時(shí)對傳輸性能的影響更大。另外從表1～表3中3種不同隨機(jī)參數(shù)情況的比較可見,微帶線傳遞函數(shù)響應(yīng)主要受制于對其敏感性影響更大的加工參數(shù),因此在微帶線加工中對不同材料及結(jié)構(gòu)參數(shù)可分類采用不同的加工精度,以兼顧加工質(zhì)量和成本。

表1 0.3 GHz時(shí)近端和遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)3σ上下界估計(jì)及均值

表2 1.3 GHz時(shí)近端和遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)3σ上下界估計(jì)及均值

表3 2.3 GHz時(shí)近端和遠(yuǎn)端傳遞函數(shù)3σ上下界估計(jì)及均值

為了說明PC展開方法處理隨機(jī)參數(shù)傳輸線互連問題的高效性,表4給出了PC方法和MC方法在微帶線輸入隨機(jī)參數(shù)在3種情況下的計(jì)算耗時(shí)比較,從計(jì)算耗時(shí)上看,對一維和二維隨機(jī)變量問題的求解,PC方法的計(jì)算時(shí)間僅約為MC方法的1/500,因此本文PC方法與傳統(tǒng)MC方法相比大大節(jié)約了計(jì)算時(shí)間。

表4 本文PC方法和MC方法計(jì)算耗時(shí)比較

4 結(jié) 論

本文將PC展開理論引入到隨機(jī)參數(shù)的傳輸線方程計(jì)算中,通過計(jì)算微帶線基板介質(zhì)介電常數(shù)及微帶線導(dǎo)帶寬度隨機(jī)變化時(shí)傳輸響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性,可有效分析微帶線加工參數(shù)不確定性對其傳輸性能的影響,可為微帶線傳輸互連結(jié)構(gòu)及平面微波電路設(shè)計(jì)中的加工容差給出指導(dǎo)。通過對微帶線隨機(jī)傳輸響應(yīng)的均值及仿真計(jì)算,結(jié)果表明低頻時(shí)導(dǎo)帶寬度對微帶線傳輸性能影響較大,高頻時(shí)介電常數(shù)對傳輸性能影響較大。本文方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)在計(jì)算耗時(shí)上僅約為傳統(tǒng)MC方法的1/500。本文后續(xù)工作中將對導(dǎo)帶橫截面更小的微帶線模型,考慮其導(dǎo)體損耗,分析受加工參數(shù)不確定性對高頻段微波傳輸互連性能影響的敏感性問題。

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(編輯 劉楊)

A Polynomial Chaos Expansion Method for Sensitivity Analysis of Microstrip Transmission Lines with Stochastic Parameters

CHENG Shi,HUANG Binke,SHI Zhensheng

(School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

A method based on polynomial chaos (PC) expansion is proposed to calculate the response of transmission lines with uncertain parameters, such as variability in the substrate material and conductor geometry introduced in manufacturing processes. The stochastic per-unit-length lumped equivalent parameters of the transmission line, as well as the stochastic voltage and current responses for the transmission line, are expanded in terms of a series of orthogonal polynomial chaos basis functions, and all these stochastic variables are substituted into telegraph equations with random parameters. Then Galerkin’s method is used to transform the telegraph equations into a set of augmented equations with the expansion coefficients of voltage and current as variables. The expansion coefficients are then obtained by solving the augmented equations combined with source and load conditions. Moreover, the statistical properties, such as the means, variance and probability density distribution of the voltage and current responses and transfer functions, are obtained. Simulation results of the microstrip transmission lines show that the conductor width has a greater impact on the performance of the microstrip transmission line at lower frequencies, while the dielectric constant has a greater effect on transmission performance at higher frequencies. In addition, the computational cost of the proposed method is lower, and its simulation time is about 0.2% of the Monte Carlo method.

microstrip; telegraph equations; sensitivity; polynomial chaos expansion; Monte Carlo method

2016-04-27。 作者簡介:程市(1992—),男,碩士生;黃斌科(通信作者),男,副教授。 基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61471293)。

時(shí)間:2016-10-26

10.7652/xjtuxb201612019

TN811.2

A

0253-987X(2016)12-0121-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http: ∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20161026.1751.002.html