鐵電材料力-電非線性電滯與蝴蝶曲線綜合模型研究

薛曉敏,孫清,伍曉紅,張陵

(1.西安交通大學土木工程系,710049,西安;2.西安交通大學航空航天學院,710075,西安)

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鐵電材料力-電非線性電滯與蝴蝶曲線綜合模型研究

薛曉敏1,孫清1,伍曉紅2,張陵2

(1.西安交通大學土木工程系,710049,西安;2.西安交通大學航空航天學院,710075,西安)

鐵電材料固有的電疇結構和極化反轉(zhuǎn)特性引發(fā)宏觀非線性行為,即極化電滯曲線和應力蝴蝶曲線,且由于材料、制備技術、電路系統(tǒng)等限制因素使得行為曲線出現(xiàn)不對稱、中心偏移等現(xiàn)象,使得目前常規(guī)模型很難精確、有效地描述鐵電系統(tǒng)的真實特性。針對此問題,提出一種適用于鐵電材料的綜合含參數(shù)模型用以有效模擬力、電及耦合非線性行為。該模型基于現(xiàn)有鐵電模型理論并引入異化參數(shù)而形成,可廣泛適用各類鐵電曲線中存在的不對稱和偏移等異化現(xiàn)象;此外,為了有效預測綜合模型中多個未知特性參數(shù),通過設計遺傳算法程序?qū)崿F(xiàn)其精確優(yōu)化識別,為進一步提高模型預測精確性和實用性提供必要條件;最后,分別開展了虛擬試驗和真實試驗仿真模擬驗證,結果表明:采用優(yōu)化參數(shù)綜合模型的模擬誤差均可控制在10%以內(nèi),相較于傳統(tǒng)模型方法可提高約50%。因此,該模型方法可廣泛用于實際鐵電材料特性行為的描述,且具有較好的應用前景。

鐵電材料;電滯曲線;蝴蝶曲線;綜合模型;參數(shù)識別

作為重要的電子元器件材料,鐵電晶體具有良好的鐵電性、壓電性、熱釋電性、聲電光及非線性光學等特性,因而可廣泛應用于傳感器、智能材料與智能結構及存儲器諸多領域中[1-2]。根據(jù)鐵電電疇結構和極化反轉(zhuǎn)特性,鐵電材料常呈現(xiàn)復雜的機電耦合行為,繼而引發(fā)非線性鐵電和壓電行為,即電場-電位移或極化曲線和電場-應變曲線。理想的鐵電系統(tǒng)在等幅周期外電場作用下,應呈現(xiàn)對稱規(guī)則的電滯曲線和蝴蝶曲線。然而,由于材料制備技術、電路系統(tǒng)及加載條件等原因致使電滯曲線和蝴蝶曲線發(fā)生不對稱、中心偏移等異化現(xiàn)象[3]。該異化現(xiàn)象無疑給模型建立增加困難,很大程度限制鐵電材料在實際工程中的應用前景。因此,如何提出適用于各種非線性鐵電、壓電行為描述的力-電模型,對鐵電材料的潛在實用性起到至關重要的作用。

目前,描述鐵電材料非線性行為的理論模型主要有唯象模型[4]、細觀力學模型[5]等。以上模型在構造過程中不可避免地涉及各種待定參數(shù),例如飽和極化強度、剩余極化強度、矯頑磁場、介電常數(shù)、壓電常數(shù)等,其數(shù)值一般通過試驗測試結果進行預估,然后代入模型用以模擬智能材料的鐵電、壓電行為。由于鐵電特性試驗不可避免地被周圍鐵電疇極化狀態(tài)、缺陷密度、應力等[6]不確定因素干擾,因此依據(jù)試驗結果預估參數(shù)數(shù)值的方法并不可靠,繼而進一步影響鐵電非線性模型的精確性和有效性,最終限制了模型的實際應用。

基于以上研究背景,本文提出一種鐵電材料力、電非線性綜合模型及其待定參數(shù)優(yōu)化識別方法,該方法可靈活適用于不對稱、偏移等異化現(xiàn)象的各類鐵電電滯曲線和蝴蝶曲線的模擬,為鐵電材料在工程上的潛在應用提供了必要的理論基礎。

1 基本方程

鐵電材料的應變和電位移除了來源于外加電場、應力場之外,還源于自發(fā)極化和應變的影響。鐵電材料在小變形、小電場條件下的本構關系為[7]

D=P+dσ+kE

(1)

ε=εr+sσ+dE

(2)

式中:D為外加電場、應力場條件下引發(fā)的電位移;P為自發(fā)極化矢量;d為三階壓電應變系數(shù)張量;σ為外加應力場;k為二階應力-介電常數(shù)張量;E為外加電場強度;ε為外加電場、應力場條件下引發(fā)的全應變;εr為自發(fā)應變張量;s為四階彈性柔度張量。

為了全面研究鐵電材料在電場作用下的鐵電和壓電效應,現(xiàn)有的試驗和理論研究大都考慮材料在均勻熱力場、無外應力和單軸外電場加載等條件。根據(jù)該限制條件,電場-電位移關系為

D=ξ0ξrE+P

(3)

式中:ξ0=8.854 F/m為真空絕對介電常數(shù);ξr為大電場相對介電常數(shù),是唯一涉及的待定參數(shù)。由于極化強度與電位移在大電場作用下呈現(xiàn)線性關系,其斜率為ξ0ξr[7],因此ξr的常規(guī)取值方法是通過電場-電位移試驗曲線結合其斜率關系進行預測的。

文獻[8-9]提出本構與應變-電場具有相似性,為便于推導電場-應力關系,McMeeking假設殘余應變與材料極化強度直接相關[4],軸向應變可簡化為

(4)

式中:d33為長度方向壓電常數(shù);ε0為殘余應變;P0為飽和自發(fā)極化最大值。

本文采用雙曲正切函數(shù)表達飽和電場-極化關系,即

(5)

圖1 模型參數(shù)對電場-極化曲線的影響示意圖

鐵電體的飽和電場-極化曲線是在一種理想飽和狀態(tài)獲得的,然而試驗中所得曲線并非理想飽和狀態(tài),其施加的電場和獲得的極化強度小于理想狀態(tài)的幅值,根據(jù)米勒理論[10],飽和極化曲線為實際電滯回線外包絡線,數(shù)學關系為

(6)

聯(lián)合求解式(3)～(7),可對鐵電材料對稱規(guī)則的電滯、蝴蝶回線進行模擬。為拓展模型的適用性,本文通過增加2個待定參數(shù)用以描述各種不對稱、偏移和異化特性曲線,即

(7)

式中:μ為正(負)電場方向的變形系數(shù),其數(shù)值大小代表滯回環(huán)的變化程度,正、負電場各自取值,數(shù)值的差別則體現(xiàn)滯回曲線的不對稱性;E0為偏移系數(shù),其數(shù)值大小代表電滯環(huán)整體偏移的程度。

2 模型參數(shù)識別

為了提高模型精確性和實用性,本文利用遺傳算法設計參數(shù)識別優(yōu)化程序,該程序根據(jù)隨機試驗結果預測反映鐵電系統(tǒng)物理真實特性的參數(shù)值。

遺傳算法運行主要分為染色體編碼與解碼、個體適用度評價、選擇運算、交叉和變異運算等步驟。遺傳算法把問題的解表示為染色體,其結構由求解優(yōu)化問題的本身特性決定。由于綜合參數(shù)模型涉及到9個待定參數(shù)需要求解,因而染色體結構設為

Π={Fs,i,Fr,i,Ec,i,ζr,i,μ+,i,μ-,i,E0;d33,i,ε0,i}

(8)

式中:N為染色體群體總量;i為個體數(shù)。

適應度是用來評價染色體個人的優(yōu)劣程度,用以決定每個個體遺傳下一代的概率。為了便于誤差分析,本文將適應度函數(shù)設為相對均方根誤差,第k代電位移和應變適用度函數(shù)為

(9)

(10)

式中:n、j為數(shù)據(jù)點總數(shù);εsim,j、εexp,j分別為仿真、試驗結果。

標準遺傳算法一般預設固定的遺傳終止迭代數(shù),由于沒有實時監(jiān)控優(yōu)化進程,過早收斂容易導致計算精度不高,而過度迭代使得計算效率低下?；诖?本文提出一套自適應收斂規(guī)則,即

(11)

（1）因地制宜，逐漸形成“家和計劃”本土服務特色模式。如沙坪壩區(qū)打造“家和故事”；黔江區(qū)探索“離婚分類分流服務”模式；長壽區(qū)針對服刑人員開展的困境家庭案例；綦江區(qū)以家庭理財教育助力脫貧致富；秀山縣挖掘傳統(tǒng)民族葷素作用等。

表1 遺傳算法參數(shù)設置

圖2 綜合模型參數(shù)識別流程

3 仿真驗證

為了驗證本文方法的有效性,分別對虛擬和真實試驗曲線進行了模型預測。

3.1 虛擬試驗

當電流在電路測試系統(tǒng)流動時,鐵電系統(tǒng)產(chǎn)生相對應的電場,這是由于其自身的鐵電效應特性,同時還和臨近電路設備的干擾有關。因此,本文將在原始虛擬試驗數(shù)據(jù)基礎上人為增加不同程度的噪聲,用來驗證所提方法具有穩(wěn)定精確的參數(shù)識別能力,為其實用性提供重要保障。

噪聲百分比率定義為

(12)

設計外加電場強度信號為簡諧波,頻率為0.1 Hz,幅值為0.6 MV/m,時間歷程40 s,虛擬鐵電系統(tǒng)特性參數(shù)取值為:Ps=0.3 C/m2,Pr=0.25 C/m2,Ec=0.4 MV/m,ζr=5 000,μ=0,E0=0 MV/m,d33=8 μC/N,ε0=0.15%,R分別為0%和20%。

采用本文方法對虛擬試驗數(shù)據(jù)進行擬合的結果如表2所示,總體誤差基本控制在6%以內(nèi),滿足精度要求,噪聲的引入使得模擬精度有所降低,其中eD、eε在引入噪聲下誤差分別增加了15%和13%,噪聲對模型模擬效果具有一定的干擾,但誤差仍保持在比較精確的范圍。

表2 虛擬試驗仿真算例模擬結果

采用遺傳算法參數(shù)識別模型方法獲得的電滯回線和蝴蝶回線的模擬效果如圖3所示,人為輸入20%噪聲干擾,電場-電位移和電場-應變的虛擬試驗數(shù)據(jù)預測與原始曲線基本一致,驗證了本文方法的精確性和魯棒性。外加電場強度信號是幅值為0.6 MV/m、偏置為0.1 MV/m的簡諧波,頻率為0.1 Hz,時間里程為40 s,虛擬鐵電系統(tǒng)特性參數(shù)取值為:Ps=0.3 C/m2,Pr=0.25 C/m2,Ec=0.4 MV/m,ζr=5 000,μ+=0.02,μ-=0.01,E0=0.1,d33=8 μC/N和ε0=0.15%,R分別為0%和20%。

(a)電滯曲線模擬

(b)蝴蝶曲線模擬圖3 不考慮異形參數(shù)仿真算例擬合效果

采用本文方法對偏移、不對稱虛擬試驗數(shù)據(jù)進行模擬的結果如表3所示,其總體誤差可控制在6%以內(nèi),噪聲的引入對模擬精度有微弱影響。此算例中添加了變形參數(shù)值且施加了偏置的外電場,虛擬試驗曲線為不對稱、偏置電滯回線和蝴蝶回線,如圖4所示。通過采用本文模型方法獲得的特性曲線與試驗曲線基本一致,說明了該模型對電滯、蝴蝶回線不對稱、偏置等仍然適用。

表3 考慮異形參數(shù)仿真算例模擬結果

(a)電滯曲線模擬

(b)蝴蝶曲線模擬圖4 考慮異形參數(shù)仿真算例模擬效果

3.2 真實試驗

壓電鐵電陶瓷大多含鉛,在制備、使用及廢棄處理過程中會給環(huán)境和人類健康帶來很大損害,于是眾多學者研究并開發(fā)了一系列無鉛基壓電陶瓷材料。Jaita對新型無鉛壓電材料BNKT-BTS開展了力、電特性試驗研究,集合了大量不同Ba(Ti0.90Sn0.10)O3(BTS)含量和環(huán)境溫度下電滯和蝴蝶回線的試驗數(shù)據(jù)[11],電滯回線由示波器圖示法測量獲得,蝴蝶回線由光學位移傳感器和輻射鐵電系統(tǒng)測試獲得。其中鐵電參數(shù)Ps、Pr和Ec由電滯回線試驗結果進行預估,壓電特性參數(shù)d33則由精密壓電系數(shù)測試儀測試獲得。

鐵電模型的參數(shù)識別常規(guī)做法是通過大量試驗數(shù)據(jù)對參數(shù)進行預估,然后將其代入模型中,繼而用來模擬鐵電系統(tǒng)的復雜力、電行為。與傳統(tǒng)做法不同,本文采用參數(shù)優(yōu)化識別方法,為了驗證綜合模型和參數(shù)識別方法的有效性和實用性,本文分別通過試驗參數(shù)預測和優(yōu)化參數(shù)識別對綜合模型參數(shù)賦值,繼而代入模型中對試驗數(shù)據(jù)進行模擬。

BTS含量x為0、電場強度幅值為55 kV/cm、頻率為1 Hz的輸入條件下,觀測環(huán)境溫度變化對BNKT-BTS電滯回線的影響如圖5a所示。由圖5a可知,采用本文方法能夠準確模擬該材料在各溫度條件下的電滯回線。室溫控制在25 ℃、電場幅值55 kV/cm、頻率1 Hz下,在BNKT材料增加BTS含量并觀測BTS不同含量對材料電滯回線和蝴蝶曲線的影響如圖5b、圖5c。由圖5可知,BTS的添加降低了剩余極化強度和矯頑電場強度,整體弱化了壓電材料鐵電滯回曲線的飽和度,采用本文方法能夠準確模擬該材料在不同BTS含量時的電滯回線和蝴蝶回線,模擬誤差可控制在10%以內(nèi)。

(a)x=0時不同環(huán)境溫度電滯回線模擬

(b)室溫25 ℃時不同BTS含量的電滯回線模擬

(c)室溫25 ℃時不同BTS含量的蝴蝶曲線模擬圖5 BNKT-BTS特性試驗仿真模擬效果

部分仿真計算結果如表4所示,當BTS含量x為0、環(huán)境溫度為25 ℃時,采用傳統(tǒng)方法預估各項特性參數(shù)值分別為:Pr=0.304 8 C/m2,Ec=3.149 MV/m,ξr=1 419,d33=178 pC/N和ε0=0.23%,將以上參數(shù)值代入模型中,誤差eD、eε分別為14.38%、18.15%。采用本文優(yōu)化參數(shù)識別方法獲得的參數(shù)值為:Ps=0.371 5 C/m2,Pr=0.368 6 C/m2,Ec=3.178 MV/m,ξr=1 844,d33=184 pC/N和ε0=0.24%,如將以上數(shù)值代入模型中所產(chǎn)生的誤差eD、eε分別為7.36%、8.82%,模型精度相較于傳統(tǒng)預測精度分別提高了48.82%、51.4%。本文將室溫25 ℃,BTS含量為0、0.05、0.1、0.15和0.2的電滯回線和蝴蝶曲線進行了仿真模擬,總體平均誤差eD、eε分別為6.88%、8.09%,均低于10%,而采用傳統(tǒng)方法得到的平均誤差eD、eε分別為14.62%、15.83%,由此可見優(yōu)化特性參數(shù)對模型預測鐵電行為的準確描述至關重要。此外,由于本文參數(shù)識別方法是根據(jù)隨機試驗結果進行訓練優(yōu)化得出的,這說明本文方法具有較為理想的普適性。

表4 BNKT-BTS部分試驗數(shù)據(jù)模型模擬結果

4 結 論

為精確模擬電滯回線和宏觀應力蝴蝶曲線,本文綜合提出便于工程應用的適用于鐵電材料非線性力、電耦合綜合的含參數(shù)模型,為解決模型待定參數(shù)選取困難的問題,本文利用遺傳算法對參數(shù)進行優(yōu)化識別,進一步改善模型在工程實用性上受限的現(xiàn)狀。該方法僅需要一組電場-極化、電場-電位移和電場-應變試驗數(shù)據(jù),即可精確識別鐵電材料特性參數(shù),繼而代入綜合模型對其他任意電場輸入所獲得的極化和應變進行準確預測,并可獲得該鐵電系統(tǒng)在實際試驗中很難獲得的飽和極化電滯回線。

試驗數(shù)據(jù)由于受各種不確定因素的干擾,實際電滯回線和蝴蝶回線常發(fā)生偏移、變形,且多數(shù)為不飽和極化試驗結果,該方法可靈活模擬各種不規(guī)則電滯曲線和蝴蝶曲線,具有較好的普適性。本文方法在不同噪聲比率情況下的參數(shù)優(yōu)化和綜合模型模擬效果依然有效,誤差保持在較精確的范圍內(nèi),具有較好的魯棒性,表明了鐵電力、電綜合模型及參數(shù)識別方法是切實可行的,有一定實用價值和工程應用前景。

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(編輯 趙煒)

Comprehensive Modeling for Electro-Mechanical Nonlinear Hysteretic and Butterfly Curves in Ferroelectrics

XUE Xiaomin1,SUN Qing1,WU Xiaohong2,ZHANG Ling2

(1. Department of Civil Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2. School of Aerospace, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Ferroelectric materials have domain structure and present switching behavior of the polarization, resulting in nonlinear characteristics of electric field-induced hysteretic polarization and butterfly-shaped strain. In addition, they also show abnormal performance of asymmetry and bias due to inevitable sophisticated factors in material processing, electric circuit, etc. In this sense, this paper presents a comprehensive parameterized model to simulate the electro-mechanical coupling properties in ferroelectrics. The model was formed from adding a set of extra parameters on the basis of ferroelectric model theory, and it can be used to describe the behaviors of all kinds of ferroelectrics. Genetic algorithm (GA) program was designed to optimize the values of the underdetermined parameters in the model. By this program, the model can be greatly improved in accuracy and practicality. Finally, the simulation verification was carried out by using synthetic and actual experimental data, and the simulation errors are below 10%, improved by about 50% compared with the traditional methods. The proposed approach can be extensively used to describe the behaviors of various ferroelectric materials, and has very good application prospect.

ferroelectric material; hysteresis curve; butterfly curve; comprehensive model; parameter identification

2015-11-25。 作者簡介:薛曉敏(1977—),女,講師;孫清(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(11172226,11502188)。

時間:2016-07-14

10.7652/xjtuxb201609020

TN384;TN402

A

0253-987X(2016)09-0125-07

網(wǎng)絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160714.1117.008.html