理解：概念形成的核心

仲廣群（特級(jí)教師）

概念形成是概念學(xué)習(xí)歷程中非常重要的一部分，也是思維過程中最復(fù)雜的部分。維果茨基曾提出：“了解概念形成的過程，即可把握兒童認(rèn)知與思維的過程?！庇捎诟拍钚纬傻暮诵氖抢斫?，而理解是一種心理結(jié)構(gòu)的構(gòu)造過程，因此概念就是理解狀態(tài)的某種心理表征。

對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生遠(yuǎn)不會(huì)像當(dāng)初認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)那樣來得順利。這是因?yàn)?，在學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中，來自有關(guān)“分?jǐn)?shù)”方面的儲(chǔ)備，遠(yuǎn)不如整數(shù)那樣多。生活中，學(xué)生更多接觸到的是可以一個(gè)一個(gè)地來數(shù)的自然數(shù)，當(dāng)“1”需要再分時(shí)，人們又更喜歡用小數(shù)來表示（如商場(chǎng)里物品的標(biāo)價(jià)等）。由于缺少豐富的表象來支撐，也缺少外顯操作活動(dòng)中來自感覺、知覺的經(jīng)驗(yàn)，這給學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念帶來了不小的困難。

目前國內(nèi)各類版本的教材，都分兩次來教學(xué)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，除了上述原因外，還有個(gè)重要的原因便是：較之于“連續(xù)量模型”，學(xué)生對(duì)于“離散量模型”的理解，似乎更為困難。把多個(gè)物體看做一個(gè)整體進(jìn)行均分，在學(xué)生的已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中并不豐富，加之整體“1”的類型并不像想象的那么簡(jiǎn)單，例如，形成分?jǐn)?shù)至少涉及到有以下幾種不同的類型：

剛好5個(gè)糖果

5個(gè)以上但被分成了5份

比5多但不能被5整除

比1多但比5少

由于分?jǐn)?shù)的概念是建立在“均分”基礎(chǔ)上的，而后面三種情況的“均分”，對(duì)學(xué)生而言顯然是難以接受的。所以，再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，理解多個(gè)物體作為一個(gè)整體單位“1”，成了理解分?jǐn)?shù)意義的重中之重。

兩位老師都看到了這一關(guān)鍵，但在處理的方法上卻有著較大的不同：史老師是從1個(gè)漢堡、一個(gè)長方形、一把直尺、一個(gè)蘋果等這樣的一個(gè)物體，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行拓展思考：“一”還可以表示一扎卡片、一摞卡片、一把卡片；1箱蘋果、1車蘋果、1堆蘋果；1個(gè)教室、1個(gè)學(xué)校、1個(gè)區(qū)、1個(gè)市……既然1個(gè)物體可以平均分，那么一類物體、一些物體也可以平均分，而這些被平均分的物體都可以看做單位“1”。這樣的過渡對(duì)學(xué)生而言是自然的，因?yàn)閷W(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)被充分調(diào)取了。但從學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的角度看，又略顯不足，因?yàn)閱挝弧?”是被指令出來的，而不是學(xué)生內(nèi)在生成出來的。

孫老師則是直接讓學(xué)生用圖形來表示自己所需要的分?jǐn)?shù)，被分的對(duì)象都是由多個(gè)物體組成整體。雖然在前面“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中并沒有離散量的出現(xiàn)，但是，這并不妨礙學(xué)生根據(jù)圖形來描述給定的分?jǐn)?shù)。在學(xué)生操作、表達(dá)之后，教師再相機(jī)引出單位“1”的概念，也顯得貼切順暢。當(dāng)然，這樣處理的不足在于，由于教師所設(shè)計(jì)的“整體”都能夠按照分母的要求進(jìn)行均分的，后面出現(xiàn)了不能整除的情況，學(xué)生的認(rèn)知仍需向前再跨一步。

或許并不存在一種完美無瑕的設(shè)計(jì)方案。讓我們更清楚知道的是，學(xué)生在教學(xué)條件下學(xué)習(xí)概念與人們?cè)谧匀粭l件下獲得概念有著較大的區(qū)別。在教學(xué)條件下，由教師列舉概念所反映的一些具體事例，讓學(xué)生分析、歸納、抽象、概括，以抽取出一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而獲得這個(gè)概念，這種方式叫做概念形成。在這一過程中，學(xué)生的心理活動(dòng)大致為：（1）考察具體事物，獲得感性認(rèn)識(shí)，形成表象；（2）分析。分化出這些事物的各種屬性。（3）比較。異中求同，類化出它們的共同屬性。（4）抽象。提出一類事物的共同本質(zhì)屬性的假設(shè)，并且在一些特定的情境中檢驗(yàn)。（5）概括。將具體事物中抽象出來的共同本質(zhì)屬性綜合起來，推廣到一切同類事物，以形成概念，并用詞語或符號(hào)表示。這一心理過程，概括起來說，就是從直接感知有關(guān)事物或模型中獲得感性認(rèn)識(shí)，建立起事物的表象，并在知覺水平上進(jìn)行分析、篩選、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括、抽象，初步形成概念。而這一過程的核心便是理解。

對(duì)照兩位老師的設(shè)計(jì)，的確都在讓學(xué)生通向概念的理解上進(jìn)行了精心的設(shè)計(jì)。

操作：兩節(jié)課都設(shè)計(jì)了操作的環(huán)節(jié)，孫老師讓學(xué)生表示分?jǐn)?shù)，史老師讓學(xué)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)。這是因?yàn)槿粘Ｉ畈⒉荒転閷W(xué)生提供這些經(jīng)過高度結(jié)構(gòu)化處理的素材，只有教學(xué)這一專業(yè)活動(dòng)才凸顯這一功能，這是教師“濃縮”了前人探索的結(jié)果，使得素材本身更具“數(shù)學(xué)味兒”，它可以避免學(xué)生走太多的彎路，耗費(fèi)太多的時(shí)間。學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念必須先積累大量的感官經(jīng)驗(yàn)、操作經(jīng)驗(yàn)，且這些體驗(yàn)性經(jīng)驗(yàn)又具有某些相似性、共通性，然后經(jīng)由多個(gè)層次的“抽象”這一心智活動(dòng)才得以完成。而若不能以豐富的表象做支撐，概念的建立就成為無源之水、無本之木。

探究：這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動(dòng)。對(duì)于行為操作和思維操作，我們不妨用“操作地思考”和“思考地操作”來界定兩者的區(qū)別。如果為了探索獲得直接經(jīng)驗(yàn)，我們稱之為“操作地思考”；如果是在思維過程中開展活動(dòng)而獲得的經(jīng)驗(yàn)，比如歸納的經(jīng)驗(yàn)、類比的經(jīng)驗(yàn)、證明的經(jīng)驗(yàn)等，我們稱之為“思考地操作”。兩節(jié)課在這方面都進(jìn)行了有益的嘗試。這樣的活動(dòng)，既有外顯操作的行為，也伴隨著內(nèi)隱的思維參與，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，顯得尤為重要，它是將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到“數(shù)學(xué)思想”境界的必要橋梁。

概括：概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，學(xué)生就不可能掌握概念，從而由概念所引申的定義、定理、法則、公式等就無法被學(xué)生所掌握；沒有概括，就無法進(jìn)行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產(chǎn)生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無法形成；沒有概括，就無法實(shí)現(xiàn)思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現(xiàn)。從兩節(jié)課例我們可以大致梳理出這一概括的過程：首先，對(duì)已有生活經(jīng)驗(yàn)和教師呈現(xiàn)的具體事例的各種屬性進(jìn)行分化，在經(jīng)過分析、綜合、比較而抽象出共同的、本質(zhì)的屬性或特征，然后再概括起來；其次，再進(jìn)行類化，把概括而得的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，這既是一個(gè)概念的運(yùn)用過程，又是一個(gè)在高層次上的抽象概括過程；最后，把新獲得的概念納入到概念系統(tǒng)中去，即要建立起新概念與已有的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，這是概括的高級(jí)階段。

變式：教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，而保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。兩節(jié)課對(duì)變式的處理既有相同之處，也有不同之處。相同之處主要表現(xiàn)在對(duì)是否“平均分”的處理；不同之處主要反映在，史老師重在讓學(xué)生厘清為什么相同的數(shù)量可以用不同的分?jǐn)?shù)來表示，不同的分?jǐn)?shù)也可以表示相同的數(shù)量？孫老師則更傾向于為什么可以用不同的分?jǐn)?shù)來表示相同的數(shù)量？這些都很好地考查了學(xué)生是否對(duì)分?jǐn)?shù)的意義是否達(dá)到了真正的理解。

反思：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，不僅是課堂教學(xué)的一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，也是幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一個(gè)重要渠道。如果學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)概念后就此終止，不對(duì)獲得概念的過程進(jìn)行回顧和反思，那么數(shù)學(xué)活動(dòng)就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，事倍功半。如果學(xué)生在抽象出概念后能對(duì)思路進(jìn)行檢驗(yàn)和自我評(píng)價(jià)，探索成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn)，那么學(xué)生的思維就會(huì)在更高的層次上進(jìn)行再概括，從而可以對(duì)概念的認(rèn)識(shí)上升到理性水平。長此以往，學(xué)生便學(xué)會(huì)了“數(shù)學(xué)地思考”，使自己的思維變得條理化、清晰化、精確化、概括化，而這，便通向了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

兩節(jié)概念課教學(xué)的課例，再次向我們?cè)忈屃恕盀槔斫舛獭钡恼嬷B。