直觀理解靈活推理
——《帶余除法》練習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

裘瑩瑩

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版《帶余除法》思考性練習(xí)。

【教材分析】

浙教版《數(shù)學(xué)》重視計(jì)算活動(dòng)中的思考性訓(xùn)練。教材《帶余除法》部分一共設(shè)計(jì)了50道習(xí)題，其中35道為基礎(chǔ)題，其余則具有一定的挑戰(zhàn)性，除了多數(shù)教材都會(huì)涉及的周期問題，如：

特別安排了一些代數(shù)訓(xùn)練，如：

又如：70以內(nèi)的數(shù)除以7，余數(shù)是5。你能寫出哪些數(shù)？

這些練習(xí)具有相當(dāng)?shù)某橄笮院透爬ㄐ?。如何使低學(xué)齡兒童更好地完成這些練習(xí)，尤其是通過練習(xí)更好地理解帶余除法的意義，掌握帶余除式各部分之間的關(guān)系，在關(guān)系推斷的過程中培養(yǎng)和鍛煉思維的靈活性與開放性？筆者設(shè)計(jì)并實(shí)踐了一節(jié)帶余除法練習(xí)課，與大家分享。

【教學(xué)過程】

一、回顧舊知

師：今天我們請來了幾個(gè)數(shù)字寶寶，是誰呢？（課件出示：2、3、6、20） 在這些數(shù)之間加上+、-、×、÷和 =，組成一道等式，你可以嗎？

生：20÷3=6…2；20÷6=3…2；3×6+2=20；6×3+2=20。

師：同樣四個(gè)數(shù)，我們既可以寫出帶余除法算式又能寫出乘加算式，可見它們之間有一定的關(guān)系。

師：如果用點(diǎn)子圖來表示這些算式的話，可以怎么畫？

生:20個(gè)點(diǎn)子，每份圈3個(gè)，圈6份，還多2個(gè)。

生:20個(gè)點(diǎn)子，每份圈6個(gè)，圈3份，還多2個(gè)。

課件出示點(diǎn)子圖：

師：看看圖，再看看算式，你能用這樣的話來說一說乘法和除法的關(guān)系嗎？

師：帶余除法里的（ ）相當(dāng)于乘加算式里的（ ）。

生：帶余除法里的被除數(shù)相當(dāng)于乘加算式里的結(jié)果；帶余除法里的除數(shù)相當(dāng)于乘加算式里的乘數(shù)；帶余除法里的商相當(dāng)于乘加算式里的另一個(gè)乘數(shù)；帶余除法里的余數(shù)相當(dāng)于乘加算式里的加數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：純數(shù)學(xué)情境，帶領(lǐng)學(xué)生回顧帶余除法的相關(guān)知識(shí)。通過與點(diǎn)子圖聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)帶余除法與乘加之間的關(guān)系，為之后解決思考性的問題提供知識(shí)和方法基礎(chǔ)?！?/p>

二、拓展練習(xí)

1.求被除數(shù)系列。

（1）求圖形表示幾。

△÷3=5…2 ☆÷7=3…4

△=（ ） ☆=（ ）

○÷8=4…5 □÷4=5…4

○=（ ） □=（ ）

師：你能很快求出圖形表示幾嗎？

學(xué)生嘗試后反饋——

生 ：△=3×5+2=17；☆=7×3+4=25；○=8×4+5=37；□=4×5+4=24。

生：最后一題不對！24÷4應(yīng)該等于6。

師：求出圖形表示的數(shù)后，代入原式檢查是個(gè)好習(xí)慣?？墒?，算法正確，為什么答案卻出了問題呢？

生：老師，我覺得是題目有問題。余數(shù)應(yīng)該比除數(shù)小。

生：如果想成點(diǎn)子圖，余下的4個(gè)還能再圈1次。

課件出示點(diǎn)子圖：

師：用點(diǎn)子圖來幫助自己思考，這個(gè)方法好極了！也是這樣想的同學(xué)請舉手。我們看圖，當(dāng)余數(shù)和除數(shù)一樣大，或者比除數(shù)還大，就能繼續(xù)圈下去，所以余數(shù)總比除數(shù)——生：??！

（2）□里填幾？你能寫出哪些算式？

學(xué)生嘗試后反饋——

師：我們來看這位同學(xué)的算式：37÷7=5…2，他寫得對嗎？怎么檢查？

生：正確，因?yàn)?7×5+2=37。不過我還有補(bǔ)充：40÷7=5…5、41÷7=5…6。

師：你真厲害！還有比他寫得更多的嗎？

生：有！我寫的是：36÷7=5…1、37÷7=5…2、38÷7=5…3、39÷7=5…4、40÷7=5…5、41÷7=5…6。

師：大家覺得他寫得怎么樣？

生：他寫得很有規(guī)律，被除數(shù)和余數(shù)都是從小到大排列的。

師：是啊，他寫得很有序，那為什么不再寫下去呢？余7，余8……

生：不可以！余數(shù)要比除數(shù)??！

師：原來如此。除數(shù)是7，余數(shù)只能是——1、2、3、4、5、6，這里一共能寫6道算式。像這樣有序地寫算式，可以寫得又多又快！

（3）比比誰寫得快:被除數(shù)最大是幾？最小是幾？

（學(xué)生獨(dú)立填寫、校對）

師：你們發(fā)現(xiàn)了嗎，這四道題都需要求出？

生：被除數(shù)。

師：它是怎么求的呢？

生：除數(shù)×商+余數(shù)=被除數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：三道求被除數(shù)題目的思維要求相互關(guān)聯(lián)，層層遞進(jìn)。首先結(jié)合點(diǎn)子圖，強(qiáng)化學(xué)生對帶余除式各部分之間關(guān)系的理解，強(qiáng)調(diào)“余數(shù)比除數(shù)小”；在此基礎(chǔ)上引進(jìn)開放題，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思考、有序思考，突出余數(shù)和除數(shù)之間的對應(yīng)；最后強(qiáng)化練習(xí)，看除數(shù)，想余數(shù)最大是幾，最小是幾，相應(yīng)求出被除數(shù)最大是幾，最小是幾?！?/p>

2.求除數(shù)系列。

（1）29÷○=4…5。

師：剛才我們研究了怎么求被除數(shù)，如果除數(shù)不知道你們也會(huì)求嗎？

生：29-5=24，24÷4=6。

師：你能說說算式的意思嗎？

生：題目的意思是29個(gè)點(diǎn)子，分成了4份，還多5個(gè)點(diǎn)子，那我們就可以先去掉多余的5個(gè)點(diǎn)子，29－5=24，分成的4份合起來是24個(gè)點(diǎn)子，24÷4=6，每份是6個(gè)點(diǎn)子。

課件配合出示點(diǎn)子圖：

師：太棒了！我們再一起看一看……算式里的 29，表示——點(diǎn)子總數(shù)。5表示——余5個(gè)點(diǎn)。也就是被正好平均分的有幾個(gè)點(diǎn)子？分了幾份？如何知道？

師：再來2道這樣的題試一試。

（2）29÷☆=9…2

38÷△=6…2

☆=（ ） △=（ ）

學(xué)生嘗試后反饋：

生：☆：29-2=27，27÷9=3；△：38-2=36，36÷6=6。

師：剛才我們研究了怎樣求除數(shù)，現(xiàn)在你能來說一說除數(shù)是怎么求的嗎？

生：被除數(shù)-余數(shù)=□，□÷商=除數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：求被除數(shù)和求除數(shù)都是逆向思考題，求被除數(shù)涉及的是乘加運(yùn)算，求除數(shù)則需要先減再除，因此對學(xué)生來說，求除數(shù)又要略難一些。鼓勵(lì)學(xué)生借助點(diǎn)子圖，更好地理解除式各部分之間關(guān)系，基于關(guān)系的理解找到求除數(shù)的方法，并在一定量的練習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行概括?！?/p>

3.提升練習(xí)。

師：剛才帶余除式里只有一個(gè)數(shù)不知道，如果有兩個(gè)數(shù)都不知道，我們還能破解謎題嗎？完成下面的題。

提前完成的學(xué)生還可以挑戰(zhàn)聰明題——

學(xué)生獨(dú)立嘗試后，先組內(nèi)交流，再班內(nèi)反饋：

生：首先 26-2=24，說明蘋果×菠蘿=24，積是24的乘法有 3×8=24、4×6=24，根據(jù)第二個(gè)條件:蘋果-菠蘿=5，可以知道蘋果是8，菠蘿是3。

師：用點(diǎn)子圖來想算式1，這里的26相當(dāng)于——點(diǎn)子總數(shù)，2相當(dāng)于——余下的點(diǎn)子數(shù)，這樣我們就可以知道什么？接下來我們可以想積是24的乘法并選出符合條件的算式。

生：第2題想法是一樣的，39-3=36，想到 4×9=36，6×6=36，而下面的算式要求差是5，所以小兔 =9，小貓 =4。

【設(shè)計(jì)意圖：從一元進(jìn)階到二元，引導(dǎo)學(xué)生綜合利用信息解決問題。進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思考方法，鼓勵(lì)學(xué)生把點(diǎn)子圖作為輔助思考的工具。聰明題為學(xué)有余力的學(xué)生準(zhǔn)備，實(shí)際是一道差倍的變式題，學(xué)生可以從式的表征轉(zhuǎn)換為形的直觀（如畫線段圖表示），再深入推理。對二年級學(xué)齡段而言，也可以利用余數(shù)比除數(shù)小的特點(diǎn)，多次嘗試，逐步得到正確結(jié)果。】

【編輯點(diǎn)評】

裘老師把分散在教材中的帶余除法相關(guān)的圖形等式推算題集中到一節(jié)課上，按從易到難，逐級編排、梳理，加深了學(xué)生對除式各部分關(guān)系的理解，鍛煉了學(xué)生推理的流暢性和靈活性，體現(xiàn)了教師對教材的創(chuàng)造性使用。

教學(xué)的明線是圖形等式推算，圍繞“帶余除式各部分關(guān)系”這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從相對直接的逆向推導(dǎo)（求被除數(shù)）到相對間接的逆向推導(dǎo)（求除數(shù)），從一元到二元，脈絡(luò)清晰，層層遞進(jìn)，算術(shù)與代數(shù)、封閉與開放結(jié)合得非常自然。

教學(xué)的暗線是思考方法。裘老師講題，但目標(biāo)不局限在解題，不是為了固化一個(gè)公式，求得一個(gè)結(jié)果，而是非常注意展開解決問題的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)形結(jié)合的思考經(jīng)驗(yàn)。教師總是在問：“那么這個(gè)式子表示什么意思呢？”“如果我們用點(diǎn)子圖來表示，該怎么畫呢？”將分點(diǎn)子的直觀圖像與帶余除式各部分的抽象意義聯(lián)接起來。一方面，符合低齡兒童形象思維占優(yōu)的心理特點(diǎn)，能有效促進(jìn)學(xué)生對帶余除法的理解；另一方面，轉(zhuǎn)換問題表征，以找到解決問題的更多線索，獲取解決問題的更大空間，是重要的思維方法。思維方法的教學(xué)不能依靠貼標(biāo)簽式的講解，需要融合到具體的解決問題的實(shí)踐中，反復(fù)應(yīng)用，不斷感悟，最后內(nèi)化到個(gè)體的認(rèn)知系統(tǒng)中。

此外，教師不急于以優(yōu)化的名義統(tǒng)一學(xué)生的思考，允許學(xué)生方法的多樣化、多層次，在班級中形成了一種良好的思維氛圍。提升練習(xí)，實(shí)質(zhì)是一系列的差倍問題，但教師強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)仍然是對式的意義、對計(jì)算各部分關(guān)系的多元表征，直觀理解，滲透和溝通的程度拿捏得非常準(zhǔn)確。新思維《數(shù)學(xué)》中有很多類似的鋪墊性練習(xí)、螺旋式安排，都可以借鑒這樣的思路。

讓我們細(xì)細(xì)解讀教材中那些獨(dú)具匠心的習(xí)題，按思維發(fā)展的線索將它們逐級串聯(lián)起來，設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)的教學(xué)任務(wù)去啟迪智慧，孵化創(chuàng)造。