突加集中荷載作用下飽和土-深埋圓形隧道襯砌系統(tǒng)的非軸對稱動力響應

陸劍駿,楊驍

(上海大學土木工程系,上?！?00072)

突加集中荷載作用下飽和土-深埋圓形隧道襯砌系統(tǒng)的非軸對稱動力響應

陸劍駿,楊驍

(上海大學土木工程系,上海200072)

考慮飽和土與深埋圓形襯砌的相互作用,研究了突加集中荷載作用下飽和土-襯砌系統(tǒng)的非軸對稱動力響應.基于Biot理論和彈性理論,采用Laplace變換和Fourier級數(shù),考慮襯砌邊界條件以及襯砌與飽和土交界面處的連續(xù)性條件,在Laplace變換域內求得突加集中荷載作用下飽和土-彈性襯砌耦合系統(tǒng)的位移、應力和孔隙水壓力等的解析表達式.利用Laplace逆變換Crump數(shù)值反演方法得到飽和土-襯砌系統(tǒng)動力響應的數(shù)值解,并分析了土體和襯砌系統(tǒng)的力學、幾何等參數(shù)對系統(tǒng)動力響應的影響.結果表明：5倍隧道襯砌半徑以外處土體的動力響應遠小于隧道附近土體的動力響應；襯砌剛度和厚度對土體位移和應力影響顯著,但對孔隙水壓力影響較??；孔隙水的可壓縮性對土體位移的幅值影響不大,但對應力幅值的影響較為顯著.

飽和土；彈性襯砌；集中荷載；動力響應；Laplace變換

隨著城市建設的發(fā)展,土地資源日益緊張,地下空間的開發(fā)利用顯得尤為重要.地下隧道是地下工程的常見結構形式之一,常用于交通、人防和管線.隧道在全壽命運營周期內可能受到動荷載的作用,如機車突加荷載和振動、碰撞以及爆炸等.瞬間的動力作用會對隧道結構和周圍土體產(chǎn)生較大影響,因此研究地下隧道在突加荷載作用下的瞬態(tài)響應不僅具有重要的理論意義,也能夠為隧道安全性的評估提供指導.

近年來,基于飽和土的Biot理論[1-2]和多孔介質理論[3-4],飽和土中隧道的動力特性和動力響應已有較豐富的研究成果.除深埋隧道動力特性的研究成果[5-10]外,Senjuntichai等[11]研究了不同荷載下飽和彈性介質中圓形隧道的動力響應,楊峻等[12]利用積分變換法給出了飽和土體中圓柱形孔洞動力響應解.將襯砌等效為彈性Flügge殼體,Zakout等[13]研究了彈性土體中圓形隧道動力響應；丁伯陽等[14]基于Green函數(shù)給出了飽和土中矩形隧道承受集中荷載的振動位移；劉干斌等[15]研究了飽和黏彈性土體中隧道開挖的土體應力和位移變化.考慮隧道襯砌的影響,Lu等[16]將襯砌視為片狀彈性體,采用微分求積法數(shù)值研究了飽和彈性土中隧道的動力響應；Gao等[17]解析研究了不同荷載作用下彈性襯砌深埋圓形隧道飽和彈性土的動力響應.將襯砌等效為Flügge殼體,蔡袁強等[18]研究了簡化爆炸荷載作用下圓形隧道飽和土的動力響應.這些工作揭示了飽和土和襯砌系統(tǒng)的動力學行為.然而,上述研究成果主要針對深埋圓形隧道飽和土-襯砌系統(tǒng)的軸對稱動力響應,而關于飽和土-深埋隧道襯砌系統(tǒng)的非軸對稱動力響應研究成果則較少[19],其中非軸對稱變形的動力特性,如振動沿環(huán)向的傳播規(guī)律等有待深入研究.

基于飽和土的Biot模型,本工作研究了飽和彈性土-深埋圓形隧道襯砌耦合系統(tǒng)在突加集中荷載作用下的非軸對稱動力響應.首先,將問題視為平面應變問題,基于飽和土的Biot理論,通過引入勢函數(shù),利用分離變量法和Laplace變換,得到飽和土在Laplace變換域中的動力響應通解；其次,將隧道襯砌變形分別視為平面應變問題和Flügge殼體,得到襯砌的動力響應通解.在此基礎上,利用隧道襯砌和飽和土接觸面處的連續(xù)性條件及邊界條件,得到Laplace變換域中飽和土-襯砌耦合系統(tǒng)非軸對稱的位移、應力和孔隙水壓力解析解,并利用Laplace逆變換的Crump方法,得到時間域中飽和土-襯砌系統(tǒng)的瞬態(tài)位移、應力和孔隙水壓力響應.在驗證本工作理論和算法的基礎上,數(shù)值研究了飽和彈性土-深埋圓形隧道襯砌耦合系統(tǒng)在突加集中荷載作用下的動力響應,分析了不同隧道模型和材料參數(shù)等對飽和土動力響應的影響.

1　問題描述及飽和土控制方程求解

圖1為飽和土中深埋圓形隧道的示意圖.設無限飽和彈性土體中有襯砌厚度為h的無限長圓形隧道承受徑向集中壓力f(θ,t)=p(t)δ(θ)的作用,其中δ(θ)為delta函數(shù).襯砌的內外半徑分別為R1和R2,平均半徑R=(R1+R2)/2,h=R2?R1.假設飽和土-襯砌系統(tǒng)的動力響應為小變形,且土體與彈性襯砌完全接觸,二者間無相對滑移,接觸面處不滲透.根據(jù)圓形隧道幾何和荷載分布特征,可以將飽和土-襯砌系統(tǒng)的動力響應視為非軸對稱平面應變問題.

圖1　飽和土中的深埋圓形隧道Fig.1　Circular tunnel deeply embedded in saturated soil

記飽和土平面應變的徑向和環(huán)向位移分別為uSr和uSθ,且uS=(uSr,uSθ,0),而孔隙水相對于土體骨架的徑向和環(huán)向位移分別為wr和wθ,且w=(wr,wθ,0),則根據(jù)飽和土的Biot理論[1-2],飽和彈性土的動力方程為

式中,λS和μS為飽和土體的表觀Lame常數(shù)；α和M分別為反映土骨架和孔隙流體壓縮性的常數(shù)；ρf為孔隙水的真實密度,飽和土體的表觀密度為ρ=(1?n)ρS+nρf,其中n為孔隙率, ρS為土骨架的真實密度；m=ρf/n；b=η0/kd為流固相互作用系數(shù),其中η0和kd分別為流體的黏滯系數(shù)和動力滲透系數(shù).

應力-應變本構關系可以表示為

式中,σSij(i,j=r,θ)為土體的總應力；δij為Kronecker符號；e和ξ分別為土體和孔隙流體的體積應變,e=divuS,ξ=?divw；εSij(i,j=r,θ)為土骨架的應變；pf為孔隙水壓力.

并引入如下無量綱參數(shù)：

可得極坐標中Laplace變換域內飽和彈性土的無量綱控制方程為

引入如下位移勢函數(shù)：

則方程(3)可化為

方程(5)可進一步解耦為

由于隧道承受的徑向集中壓力f(θ,t)在極軸上,因此可設位移勢函數(shù)為

式中,Kn(·)為n階第二類變形Bessel函數(shù)；Bn,Dn,En為待定常數(shù)；

利用方程(2)和(4)可求得Laplace變換域中飽和土的位移和應力以及孔隙水的相對位移和壓力：

2　襯砌的控制方程及求解

2.1平面應變模型

將彈性襯砌視為平面應變問題,設襯砌的徑向和環(huán)向位移分別為uLr和uLθ,且uL= (uLr,uLθ,0),則襯砌的動力方程為

式中,λL和μL為襯砌的Lame常數(shù),ρL為襯砌密度.

襯砌的應力-應變本構關系為

式中,σLij(i,j=r,θ),εLij(i,j=r,θ)分別為襯砌的應力和應變.

考慮初始條件

利用Laplace變換,并引入如下無量綱參數(shù)：

可得襯砌在Laplace變換域中的無量綱控制方程為

類似地,引入襯砌位移勢函數(shù)

由方程(13)可得

假設彈性襯砌的位移勢函數(shù)為

式中,In(·)為n階第一類變形Bessel函數(shù)；Fn,Gn,Mn,Nn為待定常數(shù).

因此,由襯砌的應力-應變關系以及位移勢函數(shù)可求得彈性襯砌在Laplace變換域內的位移和應力分別為

2.2Flügge殼體模型

若將襯砌等效為薄壁圓柱殼體,在無扭矩條件下,根據(jù)Flügge殼體理論[13],襯砌的運動方程可表示為

并對方程(19)進行Laplace變換,可得

3　邊界條件

隧道內部承受的徑向突加集中常荷載p(t)=p0H(t)關于θ的Fourier展式及其Laplace變換分別為

3.1飽和土-平面應變模型襯砌系統(tǒng)

設飽和土與彈性襯砌完全接觸,則襯砌與土體交界面處的位移和應力均連續(xù).由于地下隧道通常需保持干燥無水的運營環(huán)境,因此不考慮襯砌的透水性,即襯砌與土體接觸面處不滲透,由此可得Laplace變換域中土體和襯砌接觸面(η=η2)處的連續(xù)性條件為

由式(7)～(11),(15)～(18)和(21)～(23)可得,待定常數(shù)Bn,Dn,En,Fn,Gn,Mn,Nn(n=0, 1,…)滿足線性方程組

3.2飽和土-Flügge殼體模型襯砌系統(tǒng)

若將襯砌結構視為圓柱殼體,當襯砌厚度h遠小于隧道中曲面半徑R時,可以將襯砌的中曲面(r=R)視為襯砌和土體的接觸面,即忽略h/2[13].在飽和土與彈性襯砌完全接觸且接觸面處不滲透的條件下,Laplace變換域中襯砌與土體接觸面(η=ηm=(1+η2)/2)上的連續(xù)性條件和應力協(xié)調條件為

3.3無襯砌隧道

若不考慮隧道襯砌的影響,即隧道無襯砌,有R1=R2,則Laplace變換域中飽和土動力響應的邊界條件為

類似地,可得到確定待定常數(shù)Bn,Dn和En的線性代數(shù)方程組,從而確定待定常數(shù)Bn,Dn和En.

為求得飽和土-襯砌系統(tǒng)在時間域中的動力響應,需對Laplace變換域中的解進行Laplace逆變換,然而通常情況下很難求得相應解Laplace逆變換的解析表達式.因此,本工作采用Laplace逆變換的Crump數(shù)值算法[20],得到飽和土-襯砌耦合系統(tǒng)在時間域中的動力響應結果.

4　數(shù)值結果和分析

4.1對比驗證

為了驗證本工作中模型和Crump數(shù)值逆變換計算結果的正確性和可靠性,對均布突加荷載作用下無襯砌隧道的軸對稱動力響應[11]進行對比分析.令n=0,h?=0,ρL?=1, λS?=λL?和μS?=μL?,并按文獻[11]取

圖2　本工作數(shù)值結果與文獻[11]結果的比較Fig.2　Result comparisons between numerical results presented in this paper and those in Ref.[11]

圖2給出了無襯砌隧道邊界(η=1)處土體無量綱徑向位移USr、無量綱環(huán)向應力ΣSθ和無量綱孔隙水壓力P在均布突加荷載作用下隨無量綱時間τ的響應.由圖可見,當τ＜5時,采用本工作中的方法得到的數(shù)值結果與文獻[11]中的結果吻合良好；當τ＞5時,二者略微有所區(qū)別,原因是本工作采用的Laplace數(shù)值逆變換方法與文獻[11]中的方法有所不同,且Crump反演方法的結果具有更明顯的波動性質,計算結果更加準確[21].

4.2參數(shù)分析

在通常情況下,可采用3種模型研究隧道附近飽和土的力學性能,即無襯砌飽和土隧道模型、將襯砌視為二維平面問題的飽和土-襯砌耦合系統(tǒng)模型和將襯砌視作無扭矩薄壁圓柱殼體的飽和土-殼體襯砌耦合系統(tǒng)模型.

采用表1給出的參數(shù),分析飽和土-隧道襯砌系統(tǒng)在突加集中荷載作用下的動力響應.由于采用Fourier級數(shù)進行分析,因此所得數(shù)值結果依賴于Fourier級數(shù)的項數(shù)選取.通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),當選取Fourier級數(shù)項數(shù)n≥15時,響應增加的幅值小于10-3,故本工作取n=15進行相關的數(shù)值計算.

表1　計算參數(shù)Table 1　Parameters for calculation

圖3給出了3種隧道模型中θ=0°處USr,P以及θ=90°處ΣSθ隨τ的動力響應.可見,飽和土-襯砌耦合系統(tǒng)模型與無襯砌飽和土隧道模型的徑向位移、環(huán)向應力和孔隙水壓力隨時間的響應性態(tài)基本一致,而飽和土-殼體襯砌耦合系統(tǒng)模型的響應小于飽和土-平面應變襯砌耦合系統(tǒng)模型的響應,并且徑向位移響應差值較大,襯砌可明顯降低土體的徑向位移和環(huán)向應力,但對孔隙水影響很小.另外,當τ≈3時,徑向位移和環(huán)向應力達到峰值,孔隙水壓力最小；而在突加荷載作用的瞬間,孔隙水壓力最大.而后,隨著時間的延長,由于孔隙水和土體顆粒相互作用的阻尼性質,土體位移和應力逐漸趨為常數(shù),孔隙水壓力逐漸消散,土骨架承擔荷載.

圖3　集中突加常荷載作用下飽和土的動力響應Fig.3　Dynamic responses of saturated soil under the constant step load

圖4給出了飽和土-平面應變襯砌耦合系統(tǒng)在τ值不同時土體的USr,ΣSθ和P沿η= r/R1的分布.可見,土體響應具有振動性質.當τ較小時,較遠位置η處的響應為0,表明突加集中荷載引起的響應尚未傳播至該處,并且離隧道較遠(η≥5)處的土體動力響應遠小于隧道附近土體的動力響應.

圖4　突加集中常荷載作用下飽和土的動力響應沿徑向的分布Fig.4　Dynamic responses of saturated soil under the constant step load along the radial position

下面以飽和土-平面應變襯砌耦合系統(tǒng)為例進行相關的參數(shù)分析.圖5給出了當I= μL/μS取不同值(其他參數(shù)按表1選取)時,θ=0°處USr,P以及θ=90°處ΣSθ隨τ的動力響應.可見,彈性襯砌剛度對土體的位移和應力響應有顯著的影響,但對孔隙水壓力影響較小.隨著參數(shù)I的增大,土體位移、應力以及孔隙水壓力幅值減小,振動減弱,即適當增加襯砌剛度可以有效減小土體的動力響應.當參數(shù)I較大時,飽和土的徑向位移、環(huán)向應力和孔隙水壓力幾乎為0,此時外荷載基本由襯砌承擔.

圖6給出了h?取不同值(其他參數(shù)按表1選取)時,θ=0°處USr,P以及θ=90°處ΣSθ隨τ的動力響應.可見,類似于襯砌剛度對土體的影響,h?對土體位移和應力響應影響顯著,但孔隙水壓力變化較小.隨著h?的增大,土體的位移和應力幅值減小,襯砌承擔的外荷載越來越大,土體變形逐漸減小.

圖7給出了M?取不同值(其他參數(shù)仍按表1選取)時,θ=0°處USr,P以及θ=90°處ΣSθ隨τ的動力響應.可見,隨著M?的增大,土體位移、應力和孔隙水壓力振動幅度和周期增加,但M?對土體位移幅值的影響相對較小.

圖5　I取不同值時飽和土-襯砌系統(tǒng)的動力響應Fig.5　Dynamic responses of saturated soil-lining system with different I

圖6　襯砌厚度h?不同時飽和土-襯砌系統(tǒng)的動力響應Fig.6　Dynamic responses of saturated soil-lining system with different thickness of the lining h?

圖7　M?不同時飽和土-襯砌系統(tǒng)的動力響應Fig.7　Dynamic responses of saturated soil-lining system with different M?

5　結論

本工作基于飽和土的Biot理論和彈性理論,采用Laplace變換及其數(shù)值逆變換研究了飽和土-隧道襯砌耦合系統(tǒng)在突加集中荷載作用下的動力響應,得到了Laplace變換域中的解析解,重點分析了土體和襯砌力學和幾何參數(shù)對飽和土動力響應的影響.研究結果表明：①襯砌可明顯降低土體的徑向位移和環(huán)向應力,而且飽和土-殼體襯砌耦合系統(tǒng)模型的響應小于飽和土-平面應變襯砌耦合系統(tǒng)模型的響應；②突加集中荷載作用下土體的動力響應具有明顯的波傳播特征,且離隧道較遠處的土體動力響應遠小于隧道附近土體的動力響應；③襯砌剛度和厚度對土體位移和應力響應影響顯著,但對孔隙水壓力影響較小,適當增加襯砌剛度和厚度可以有效減小土體的動力響應；④孔隙水可壓縮性對土體位移的幅值影響不大,但對應力幅值的影響較為顯著,且隨著孔隙水壓溶性的減小,土體位移、應力和孔隙水壓力振動幅度和周期增加.

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Non-axisymmetrical dynamic response of saturated soil and lining system with deeply embedded circular tunnel under step concentrated load

LU Jianjun,YANG Xiao
(Department of Civil Engineering,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

Considering the interaction between soil and lining in a deeply embedded circular tunnel,the non-axisymmetrical dynamic response of a saturated soil-lining coupled system under step concentrated load was investigated.Based on the Biot’s theory and elasticity,using the Laplace transform and Fourier series,analytical expressions of displacements,stresses and pore water pressure of the saturated soil-lining system subject to step concentrated load were obtained in the Laplace transform domain under the boundary conditions of the lining and the continuity conditions on the interface between the saturated soil and lining.Numerical solutions of the dynamic responses of the saturated soil and lining system were obtained with a Crump method of the inverse Laplace transform.The influences of mechanical and geometric parameters of the soil and lining on the dynamic response of the system were analyzed.It was shown that dynamic response of the soil in adistance from the tunnel center more than 5 times of the radius was much less than that of the soil in the vicinity of tunnel.Influences of stiffness and thickness on displacements and stresses of the soil were significant,while the influences on pore water pressure were trivial. Furthermore,compressibility of pore water had stronger influence on the amplitude of the stress than that of the displacement of the soil.

saturated soil；elastic lining；concentrated load；dynamic response；Laplace transform

O 327；TU 435

A

1007-2861(2016)05-0665-15

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.01.003

2015-02-11

國家自然科學基金資助項目(10872124)

楊驍(1965—),男,教授,博士生導師,博士,研究方向為非線性固體力學、多孔介質理論等. E-mail:xyang@shu.edu.cn