“月上柳梢頭，人約黃昏后”的數(shù)學解釋

侯闊林

黎明職業(yè)大學公共教學部，福建泉州，362000

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“月上柳梢頭，人約黃昏后”的數(shù)學解釋

侯闊林

黎明職業(yè)大學公共教學部，福建泉州，362000

對“月上柳梢頭，人約黃昏后”的天文含義進行了研究，調(diào)查了大量的歷法和天文數(shù)據(jù)，比如月食、各地的日落時刻等。通過定義月亮的角度、黃昏后的時刻、日期序數(shù)和基準分差，對數(shù)據(jù)進行一元線性回歸分析、多元回歸分析，建立月上柳梢頭、人約黃昏后的函數(shù)模型。函數(shù)揭示，月亮每天自西向東偏移12.191°，月上柳梢頭大約發(fā)生在某個陰歷十五左右，而日落時刻與日期呈多項式函數(shù)關(guān)系，與經(jīng)度呈線性關(guān)系，與緯度呈三角函數(shù)關(guān)系。計算結(jié)果表明，函數(shù)是有效的。通過聯(lián)立方程組，使用數(shù)學軟件預(yù)測了北京地區(qū)將在2016年2月21日18點23分前后出現(xiàn)黃昏后月上柳梢頭的特殊自然現(xiàn)象。

月相；歷法；數(shù)據(jù)處理；回歸分析；方程組

“月上柳梢頭，人約黃昏后”出自歐陽修筆下的《生查子·元夕》，它描述一幅美好的畫面——在元宵佳節(jié)的花市，黃昏后，當一輪明月升起在樹梢頭時，與佳人相約，兩情相悅?，F(xiàn)代人會從很多不同的角度來鑒賞這首詞，除文學、美學和歷史等角度之外，考慮到“月上柳梢頭，人約黃昏后”是一個特殊的現(xiàn)象，應(yīng)該只會發(fā)生在某些特定的日期和時刻，還可以根據(jù)天文學的基本知識，使用數(shù)學方法來研究此現(xiàn)象。

1 問題的提出與假設(shè)

“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”是兩個不同的自然現(xiàn)象，為確定它們同時發(fā)生的時間，需要解決以下問題。

問題一：定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度和“黃昏后”的具體時刻；

問題二：根據(jù)天文學基本知識，在適當簡化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人約黃昏后”發(fā)生的日期和時間，并根據(jù)已有的天文資料驗證所建模型的合理性；

問題三：說明如何使用所建立的模型作預(yù)測，舉例分析2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期與時刻。

為方便起見，作如下假設(shè)：

(1)假設(shè)以地球為參照物，由于地球自轉(zhuǎn)，看到太陽和月亮東升西落；

(2)假設(shè)月球繞地球運動時，角速度是均勻的，繞地球一周需29.53天；

(3)若月亮升起時發(fā)生月食，假設(shè)觀測到月亮升起的角度是0°；

(4)假設(shè)地球繞太陽運動時，角速度是勻速的，繞地球一周圍需365天；

(5)假設(shè)日期相同、經(jīng)度相同、緯度遞減的日落時刻越晚。

本文中將使用以下符號：w0表示月球繞地球公轉(zhuǎn)的相對角速度(rad/h)；θ表示月球上升的角度(rad/h)；Δt表示從日落到天黑所經(jīng)過的時間；x表示日期序數(shù)，即一年的第x天；ω表示月亮升起時的角度；t表示日落時刻；y表示基準分差，即實際日落時刻與18:00的分差；T表示天黑時間；i，j表示經(jīng)度和緯度。

2 問題一的求解

2.1 月上柳梢頭

由詞意可知，“月上柳梢頭”是指在元宵節(jié)時，月亮升起時掛在柳梢頭。陰歷十五前后，月亮大約出現(xiàn)在東方地平線上方，問題是“柳梢頭”這個角度是多少呢？簡單地看，這個角度可以用眼睛、樹梢和月亮三點的連線與地平面的夾角來定義，但是“月上”是一個模糊詞，月亮何時開始在空中出現(xiàn)，角度如何？有很強的主觀性。根據(jù)天文知識分析此問題，將更為客觀。通過月球繞地球公轉(zhuǎn)的角速度w月公以及地球自轉(zhuǎn)的角速度w地自，可以求出月球繞地球公轉(zhuǎn)的相對角速度[1]，進一步解出月球從地面升上去的角度。

因為月球的公轉(zhuǎn)與地球的自轉(zhuǎn)方向相同，所以其相對角速度為：

w=w地自-w月公≈14.464rad/h

姜益欣指出，月亮出現(xiàn)的時刻，應(yīng)該介于剛剛天黑的時間t1與完全天黑t2的時間之內(nèi)[2]。據(jù)此，可以計算出這段時間月球轉(zhuǎn)過的角度為：

θ∈(t1·w0,t2·w0)

考慮到陰歷十五前后，月球、地球和太陽基本處于一條直線上(一般稍有偏差，若完全在一條直線上會發(fā)生月食)。而月亮從模糊到清晰的過程，它轉(zhuǎn)過的角度θ∈(7.232°,12.053°)。“月上”是月亮出現(xiàn)的意思，角度應(yīng)在7.23°～12.05°之間。月上柳梢頭取多少度有一定的主觀性，考慮到古人有日上三竿的說法，大概是早上8點前后，過太陽和眼睛的直線與地平面夾角約為30°。而柳樹較低，定義“柳梢頭”為θ=9°。

定義1 “月上柳梢頭”指眼睛、柳梢頭和月亮三點一線，和地平線的夾角為9°。

2.2 人約黃昏后

黃昏是指日落以后天黑以前的時候[3]， 由于天黑是漸變的，黃昏也是一模糊詞。 在天文學上，天黑的標準定義為太陽位置低于地平線12°30′，即日落一段時間后[4]，才是天黑時間。這段時間也隨著緯度不同而長短不同。因為太陽與地球的夾角每天都在變化，哪怕在同一地點，每天的日落時刻都稍有不同，但差別不大。以北京天安門為例，冬至日，天黑時刻在日落時刻之后28分鐘，夏至日，天黑時刻在日落時刻之后30分鐘，相差僅兩分鐘。百度百科中，“天黑”是指太陽落入水平線下后過30分鐘為天黑，事實上，此時天還沒有完全黑，稱之為朦影?？梢则炞C，完全天黑為日落后50分鐘。

考慮到地球的自轉(zhuǎn)速度：

則地球轉(zhuǎn)過12.5度所用的時間為：

=50 min

考慮到“月上柳梢頭”，朦影時即會月現(xiàn)，所以定義黃昏后為：

定義2 稱天剛黑的時候為黃昏后，具體時刻取日落往后數(shù)第30分鐘。

3 問題二的求解

3.1 月出時刻的角度函數(shù)

每天，月亮在星空中自西向東移動一段距離的同時，它的形狀也在不斷地變化著，這就是月亮位相變化，叫作月相。從地球的某個固定地點觀測，月球每天在空中自西向東移動多少距離不好衡量，但是，觀測者的眼睛和月亮的連線，與水平面的夾角變化是可以度量的。為方便起見，假設(shè)月球繞地球作勻速圓周運動，運動周期為29.53天?？紤]到月相周期與陰歷關(guān)系密切，下面對月相的研究均使用陰歷日期。自陰歷的初一起，月亮每天自西向東偏移12.191°(360°除以29.53°)，現(xiàn)在的問題是，坐北向南看，哪一天這個夾角剛好為0°呢？

在陰歷十五或十六，月亮運行到和太陽相對的方向。這時，如果地球和月亮的中心大致在同一條直線上，月亮就會進入地球的本影，而產(chǎn)生月食。假設(shè)在發(fā)生月食這天月亮在東方地平線上升起，和地平面的夾角為0°[5]。根據(jù)天文資料,2015年4月4日在月亮剛升起后，北京發(fā)生了月食。設(shè)2015年4月4日(陰歷乙未二月十六)觀測到的月亮升起時和地平面夾角為0°?；诖搜芯吭铝恋拿刻焐饡r的角度，傳統(tǒng)的日期格式，如2015年9月12日，作為變量不利于數(shù)學計算。設(shè)定一年為365天，1月1日為整數(shù)1，1月2日為整數(shù)2，如果沒有閏年，12月31日為365等。

定義3 日期序數(shù)：以某日期為第1天(一般取元旦)，隨后的第x天，稱為日期序數(shù)x。

月亮每天自西向東偏移12.191°，則可以使用數(shù)學軟件計算陰歷二月、三月時觀測到的角度，結(jié)果見表1。

表1 2015年陰歷二、三月份的月亮角度

根據(jù)表1可知，二月份時，月亮的角度ω與日期序數(shù)有如下函數(shù)關(guān)系：

ω=-12.191x+1146

而三月份時，有如下關(guān)系：

ω=-12.191x+1506

兩者斜率系數(shù)相同，而截距系數(shù)不同，可見截距系數(shù)與x相關(guān)。根據(jù)月球運行周期為29.53天，得到2015年北京地區(qū)月亮升起時的角度ω與日期序數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為：

(1)

3.2 有關(guān)日落時刻的函數(shù)模型

3.2.1 有關(guān)日落時刻的天文學知識

根據(jù)生活經(jīng)驗，日落時刻和地理位置、四季更替有關(guān)，即每一天的日落時刻都稍有不同，一個地方的經(jīng)緯度也影響日落時刻。取日期序數(shù)、經(jīng)度、緯度為自變量，分析它們之間與日落時刻存在的關(guān)系，可以建立函數(shù)模型。

首先，確定日期變量的度量方式。為了與陰歷統(tǒng)一，同樣將日期轉(zhuǎn)化日期序數(shù)。

其次，確定時刻變量。為分析方便，將日落時刻精確到分，比如18:54:15精確為18:54分。在格式上，取18:00為基準，小于18:00的分鐘數(shù)記為負數(shù)，大于18:00的分鐘數(shù)記為正數(shù)。如15：43分記為-17，19:02分記為62等。

定義4 基準分差：將日落時刻與18:00：00的分鐘差稱為基準分差。

分析歷史數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，不同年份的同一地點、同一日期的日落時刻基本相同。天文學上，地球繞太陽公轉(zhuǎn)一周需要365.25天，表明日落時刻函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為365.25天。因此，假設(shè)日落時刻不以年份為自變量。

3.2.2 日落時刻與陽歷日期的關(guān)系

考慮到問題三要研究北京市的相關(guān)問題，在此選擇北京市作為觀測地點。隨機抽取了2014年的部分數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于網(wǎng)上的萬年歷。將日期轉(zhuǎn)化為2014年的第x天，并計算基準分差，得表2。

表2 2014年北京市日落時刻表

需要確定日落時刻與天數(shù)的函數(shù)關(guān)系。確定兩種或以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的統(tǒng)計分析方法通常采用回歸分析[6]。它基于觀測數(shù)據(jù)建立變量間適當?shù)囊蕾囮P(guān)系，來分析數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律，可用于預(yù)報、控制等問題。使用數(shù)學軟件，可以作出基準分差隨天數(shù)變化的散點圖(圖1)。

圖1 日落時刻隨時間變化的散點圖

觀察散點圖，猜想基準分差與日期的關(guān)系式是多項式函數(shù)。考慮到趨勢線彎曲程度以及春分到秋分和秋分到春分的對稱性，可以設(shè)為4次或者6次多項式函數(shù)，使用數(shù)學軟件作回歸分析，4次多項式函數(shù)為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4

(2)

其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.9926。六次多項式為：

y=-68.04455+1.930536x-0.027991x2

+0.000367x3-0.0000021x4

+4.97×10-7x5-4.11×10-12x6

(3)

其相關(guān)系數(shù)的平方R2=0.999165。

盡管函數(shù)(3)的擬合優(yōu)度更好，但是其5次和6次系數(shù)過于復(fù)雜。函數(shù)(2)擬合優(yōu)度也很好，并且較為簡單，便于實際應(yīng)用，因此選用函數(shù)(2)。日落時刻可以通過基準分差計算：

3.2.3 日落時刻和經(jīng)度的關(guān)系

日落時刻和經(jīng)度的關(guān)系是非常淺顯的[7]，即和時區(qū)有關(guān)?？紤]到我國在東半球，僅研究日落時刻與東經(jīng)度數(shù)的關(guān)系。選取相同日期，與北京緯度相同但經(jīng)度不同的地點，觀察其日落時刻，得到表3。

由表3可知，相同日期與北京相同緯度的情況下，日落時刻基準分差與經(jīng)度大致呈線性關(guān)系。作一元回歸分析可得：

y=-4i+406.63

則經(jīng)度為i的地方日落時刻基準分差與北京的關(guān)系為：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(4)

則t=18.00+[-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)/60]

表3 相同日期下與北京經(jīng)度不同、緯度相同的日落時刻表

3.2.4 日落時刻與緯度的關(guān)系

由地理學知識可知，當太陽直射北半球時，位置越北晝長越長，日出時間早，日落時刻晚。當?shù)厍蛑鄙淠习肭驎r，南半球緯度越高，日出越晚，日落越早?？紤]到我國的地理位置，本文只考慮北半球的情況。

選取與北京的日期相同、經(jīng)度相同、緯度不同的地點。觀察日落時刻，得到表4。

表4 與北京緯度不同的地方日落時刻表

表4顯示，不同緯度的日落時刻，呈現(xiàn)的規(guī)律性受日期序數(shù)的影響，大致呈三角函數(shù)關(guān)系[8]?；诖耍饕辉€性回歸，得日落時刻基準分差的計算公式：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(5)

則日落時刻與日期、經(jīng)度和緯度的關(guān)系為：

+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4

-4(i-116.408)+(i-39.904)

(6)

為驗證計算公式的正確性，分別計算北京、哈爾濱、上海、武漢、廣州、蘭州、烏魯木齊、昆明、拉薩等地2014年不同日期的日落時刻，將計算結(jié)果與往年天文數(shù)據(jù)進行了比較，如表5所示。

表5 計算結(jié)果與往年數(shù)據(jù)的比較

計算結(jié)果與天文年歷中日出日落時刻最多相差2分鐘，可見公式(6)是有效的。

4 問題三的求解

綜上所述，可以得出“月上柳梢頭”發(fā)生的日期和“人約黃昏后”發(fā)生的時刻滿足如下方程組模型：

(7)

其中：

時間T的整數(shù)部分為時，小數(shù)部分可以轉(zhuǎn)化為分，比如19：20，表示19時12分。

根據(jù)(7)，可以計算2016年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的時間。

通過分段函數(shù)的計算[9]，得x=418.095，即2016年的第52天，對應(yīng)日期是2月21日，即陰歷的正月十四。

然后，使用公式(2)：y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4，確定落日基準差y=-7.07，則日落時刻約為t=17:53分，而天黑時間T=t+30=18:23分。

北京地區(qū)在2016年會出現(xiàn)“月上柳梢頭，人約黃昏后”，發(fā)生的日期和時間為陽歷2016年2月21日18:23。

5 模型評價

為研究方便，應(yīng)抓住問題的主要因素，忽略次要因素，再作規(guī)范假設(shè)。模型應(yīng)用于實際生活時，可能會有一些細小的誤差。模型巧妙的設(shè)定日期序數(shù)，統(tǒng)一了陽歷日期和陰歷日期。使用回歸分析的方法，研究了月出時間與陰歷日期的關(guān)系、日落時刻基準差與陽歷日期、經(jīng)度和緯度的關(guān)系，利用這些函數(shù)關(guān)系可以確定一個地方“月上柳梢頭、人約黃昏后”發(fā)生的具體日期和時間。驗證表明，模型與歷史數(shù)據(jù)是吻合的，由此推算的近期時間是可靠和準確的。本文是數(shù)學模型在天文學和日常生活中的應(yīng)用，不僅有助于研究此自然現(xiàn)象，也拓寬了數(shù)學模型的應(yīng)用領(lǐng)域。

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(責任編輯：汪材印)

2016-08-30

黎明職業(yè)大學博士科研啟動基金“福建省與東盟能源合作機制研究”。

侯闊林(1983-)，安徽蕭縣人，碩士，副教授，主要研究方向：最優(yōu)化理論及其應(yīng)用。

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.11.024

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