中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進行分類思想教學(xué)的嘗試*

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)初級中學(xué)(528231)譚鑄權(quán)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進行分類思想教學(xué)的嘗試*

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)初級中學(xué)(528231)譚鑄權(quán)

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》在“課程基本理念”部分指出,“(數(shù)學(xué)課程內(nèi)容)不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果,也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法”;在總目標(biāo)部分指出,“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”.由此可見,“數(shù)學(xué)思想”不僅是數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個基本目標(biāo).筆者現(xiàn)以分類討論的數(shù)學(xué)思想為例,談?wù)勗谥锌紡?fù)習(xí)教學(xué)方面的一些嘗試.

1　明確分類原則,使學(xué)生明確進行分類討論是“有法可依”的

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中有大量的例題和習(xí)題都需要學(xué)生運用分類討論思想進行解決的.教師在日常的解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地滲透分類討論的標(biāo)準(zhǔn)或原則,使學(xué)生明確解題時進行分類討論是“有法可依”的.如何分類?分類討論有什么原則?這是擺在我們面前的現(xiàn)實問題.我們知道分類討論的原則有很多,在初中階段筆者認為實操性強并且較適合初中學(xué)生解題的分類討論原則有以下四條:

(1)同一性原則;(2)完整性原則;(3)互斥性原則;(4)層次性原則.

實施建議:在日常的教學(xué)中教師可以通過概念或定義的講述、定理的證明、公式的運用、例題評講和習(xí)題練習(xí)等途徑逐步滲透利用分類討論的思想進行解題時要遵循的原則,以期讓他們在解題時能適時并合理地運用分類思想解決問題.

2　深挖教材內(nèi)容,使學(xué)生明確常見分類討論的知識母源

現(xiàn)行教材中,雖然并沒有明確地揭示和總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)思想方法只是蘊含在數(shù)學(xué)知識體系之中,但教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過深挖和重組教材的知識點,使學(xué)生明確哪些數(shù)學(xué)知識蘊含著分類討論的思想.

成果舉隅:筆者在中考第一輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過程中讓學(xué)生以表格的方式按《數(shù)與式》、《方程與不等式》、《函數(shù)》、《幾何與證明》和《統(tǒng)計與概率》等五個板塊分類呈現(xiàn)將課本中蘊含著分類討論思想的知識點盡可能列舉出來,以下呈現(xiàn)的是學(xué)生提交作業(yè)的部分成果:

表1　

通過這樣的表格方式,要求學(xué)生進行完善和補充能將課本中蘊含著需要進行分類討論的“知識母源”呈現(xiàn)出來,這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的歸納能力又能使其在日后的生活或考試中遇到相關(guān)的內(nèi)容時能條件反射用分類討論的思想解決問題.

3　通過多種方式,培養(yǎng)學(xué)生運用分類討論的能力

3.1精心設(shè)計教學(xué)過程,使學(xué)生體會分類討論的必要性

分類討論思想的獲得不能簡單地通過走馬觀花式的解題來實現(xiàn)或灌輸完成,它需要教師在充分了解學(xué)生學(xué)情的基礎(chǔ)上,精心設(shè)計教學(xué)過程,透過“庖丁解?！笔降木毩?xí)和講解才能使學(xué)生逐步體會分類討論的必要性.

例:已知點A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3),D(-2,y4)都在反比例函數(shù)的圖象上,比較y1,y2,y3,y4的大小.

變式1:已知點A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3), D(-2,y4)都在反比例函數(shù)的圖象上,比較y1,y2,y3,y4的大小.

變式2:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3＜0比較y1,y2,y3的大小.

變式3:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜0＜x3比較y1,y2,y3的大小.

變式4:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3比較y1,y2,y3的大小.

師:可以將A、B和C點的位置用分類討論的思想分為若干種情況逐個擊破不就解決了嗎?點A、B和C點的位置可以分為哪幾種情況?

(學(xué)生有恍然大悟的感覺!)

生2:我們可以對點A、B和C點的不同位置進行分類討論(如圖1-4),得出三種解答情況為:

(1)(如圖1和2)當(dāng)0＜x1＜x2＜x3或x1＜x2＜x3＜0時,y3＜y2＜y1;

(2)(如圖3)當(dāng)x1＜x2＜0＜x3時,y2＜y1＜y3;

(3)(如圖4)當(dāng)x1＜0＜x2＜x3時,y1＜y3＜y2.

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

師:生2同學(xué)的解答非常好、很完整,通過以上的練習(xí)同學(xué)們有什么收獲?

生:我們可以發(fā)現(xiàn)在比較反比例函數(shù)值大小的時候,如果k的值和所給的點的位置不確定,那么必須要分別對它們進行分類討論.

師:你們的總結(jié)都很好,其實在我們?nèi)粘５木毩?xí)中很多問題都需要根據(jù)題目的特點和實際背景進行分類討論.請同學(xué)們課后完成變式5,體會分類討論的思想:

變式5:已知點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且x1＜x2＜x3比較y1,y2,y3的大小.

3.2剖析題目特點,培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識

學(xué)生運用分類討論的思想方法進行解題的能力不是“與生俱來”的,需要教師在日常的解題教學(xué)中有意識地培養(yǎng),也只有教師培養(yǎng)學(xué)生分類的意識,然后才能引導(dǎo)學(xué)生在合理分類的基礎(chǔ)上進行討論.筆者認為深入剖析題目特點是培養(yǎng)學(xué)生分類的意識的較好做法.常見有以下三種做法:

(1)分析題目的表述方式,合理分類

例:已知:A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求點D的坐標(biāo),使以A、B、C和D為頂點的四邊形是平行四邊形.

分析:以A、B、C和D為頂點的四邊形是平行四邊形有三種情況分別是平行四邊形ABD1C、平行四邊形ABCD2和平行四邊形ACBD3(如圖5所示).如果將題目的表述方式變?yōu)椤耙阎?A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求點D的坐標(biāo),使四邊形ABCD是平行四邊形”,由于題目的表述方式改變了,題目已經(jīng)將四邊形的形狀固化為平行四邊形ABCD,各頂點的順序確定了無需進行分類討論,這樣的對比有助于培養(yǎng)學(xué)生把握分類討論的時機.

圖5　

(2)分析題目的類型,合理分類

如果題目中含有字母或圖形運動的時候要有分類討論的意識,這是由字母可以代表正數(shù)、0或負數(shù)以及圖形運動時會產(chǎn)生不同的形狀所決定的.

例1:解關(guān)于x的不等式ax+3＞2x+a

分析:通過移項、合并同類項,不等式化為(a-2)x＞a-3,根據(jù)不等式的性質(zhì),需要對a-2進行分類討論.

例2:如圖6,邊長為1的正方形ABCD,點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動,點N從點A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿A→D→C→B的路徑向點B運動,當(dāng)一個點到達點B時,另一個點也隨之停止運動,設(shè)△AMN的面積為S,運動時間為t秒,求S與t的函數(shù)關(guān)系.

分析:本題可以按點N在不同位置分為以下三種情況:

(1)當(dāng)點N在AD上運動時,如圖7;

(2)當(dāng)點N在CD上運動時,如圖8;

(3)當(dāng)點N在BC上運動時,如圖9,進行討論.

圖6　

圖7　

圖8　

圖9　

(3)分析題目的是否具有前面所說的“知識母源”,合理分類

例:若等腰三角形的兩個角度的比是1:2,則這個三角形的頂角為()

分析:題目中的兩個角有可能是等腰三角形的頂角或底角,符合前述所說的分類“知識母源”因此要分類討論.

3.3劃分階段循序漸進,培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力

我們知道對于一種思想方法的領(lǐng)悟不是一蹴而就的,需要經(jīng)歷一個由淺入深、循序漸進的過程的.相對于剛進入初中不久的學(xué)生而言,九年級畢業(yè)生雖然在數(shù)學(xué)知識面和數(shù)學(xué)思維能力上都有較大的提高,但是由于之前老師的教學(xué)不到位或自身對數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的意識不夠,容易造成學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想解決問題能力不強,因此在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中必需滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué),此過程可以分為以下三個階段進行.

第一階段:重點訓(xùn)練學(xué)生對課本概念的內(nèi)涵與外延、法則或公式的變換、定理的適用范圍等的掌握程度,所選題目內(nèi)容較為基礎(chǔ),題型一般以選擇題或填空題為主.

例:已知直角三角形的兩邊分別是4和5,則第三邊的長度為___.

分析:題目中的邊長為5的邊有可能是直角邊也有可能是斜邊,因此要分類討論.

解題策略:是弄清楚課本概念的內(nèi)涵與外延、法則或公式的變換、定理的適用范圍.

第二階段:重點訓(xùn)練學(xué)生的分類討論意識和書寫格式,所選題目中一般含有字母而需要分類討論,題型一般以較為簡單的解答題為主.

例:已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍.

分析:要對m2進行合理分類:“m2=0”或“m2≠0”從而得出最后的結(jié)果.

解題策略:分清字母表示的意義,合理分類.

第三階段:重點訓(xùn)練學(xué)生的分類討論思維和掌握解題的規(guī)律,這階段以動態(tài)問題為主,題型可以是較為綜合性的選擇題、填空題或解答題.

例:如圖10,Rt△NPM中,∠P=90°,PM=PN, MN=8cm,矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm,點C和點M重合,BC和MN在一條直線上.令Rt△NPM不動,矩形ABCD沿MN所在的直線向右以1cm/s的速度移動(如圖11所示),直到點C與點N重合為止.設(shè)移動t秒后,矩形ABCD與△NPM重疊部分的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式

圖10　

圖11　

分析:可以根據(jù)整個運動狀態(tài),分為(如圖12-14)三種情況,從而得出結(jié)果.

圖12　

圖13　

圖14　

解題策略:這類問題一般是由幾何圖形的可變性引起的討論.“化動為靜”就是較好的解題策略,把問題分成幾類或幾部分來處理,采取分而治之的方法來各個擊破.

總之,分類討論的思想方法是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和應(yīng)用的過程中形成和發(fā)展的,它的靈活掌握是需要有個潛移默化的過程,中考復(fù)習(xí)教學(xué)只是這個漫長過程中的一個短暫環(huán)節(jié),客觀地說學(xué)生要真正活學(xué)活用在解題中做到適時地分類討論是非常考驗施教者的課堂駕馭能力和教學(xué)智慧,對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力具有實踐價值.

*本文是董磊主持的廣東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度立項課題“如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐研究”(課題批準(zhǔn)號: 2011TJK014)的研究成果之一.