在初三幾何教學(xué)中如何強(qiáng)化對稱意識

廣東省佛山南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528200)黃業(yè)青

在初三幾何教學(xué)中如何強(qiáng)化對稱意識

廣東省佛山南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528200)黃業(yè)青

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(2001年)·數(shù)學(xué)》(北京師范大學(xué)出版社)教材采取螺旋式上升的方式編排知識點(diǎn),滿足學(xué)生循序漸進(jìn)的發(fā)展需求,對對稱的知識的處理也是這樣.在初三幾何中,對稱知識體現(xiàn)在九上第一章《特殊平行四邊形》、九下第三章《圓》,涉及到菱形、矩形、正方形的性質(zhì)和圓的垂徑定理等等.到了初三階段,學(xué)生應(yīng)該習(xí)得利用對稱的審美達(dá)到探索新知識、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、解決新問題的能力.

1．動(dòng)手操作,經(jīng)歷利用對稱探索新知識過程,體會對稱的重要性

(1)九年級上冊第一章《特殊平行四邊形》第1節(jié)《菱形的性質(zhì)》,在教授“菱形的性質(zhì)”知識點(diǎn)時(shí),讓學(xué)生動(dòng)手操作,通過折紙、畫圖,探索發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊相等、菱形的對角線互相垂直.

圖1　

課前準(zhǔn)備:讓學(xué)生剪一個(gè)菱形.

課堂活動(dòng):用菱形紙片折一折,思考下列問題:

①菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?對稱軸之間有什么位置關(guān)系?

②菱形中有哪些相等的線段?

課堂總結(jié):小組代表匯報(bào),小結(jié)結(jié)論.

教師總結(jié):圖形的對稱美可以發(fā)現(xiàn)圖形有相應(yīng)簡潔的結(jié)論,如菱形有2條對稱軸,相應(yīng)有2個(gè)特殊的結(jié)論——菱形的四條邊相等、菱形的對角線互相垂直.

(2)九年級上冊第一章《特殊平行四邊形》第3節(jié)《矩形的性質(zhì)》,在教授“矩形的性質(zhì)”知識點(diǎn)時(shí),讓學(xué)生動(dòng)手操作,通過折紙、畫圖,探索發(fā)現(xiàn)矩形的四個(gè)角相等、矩形的對角線相等.

課前準(zhǔn)備:讓學(xué)生剪一個(gè)矩形.

課堂活動(dòng):用矩形紙片折一折,思考下列問題:

圖2　

①矩形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?

②矩形中有哪些相等的線段?

課堂總結(jié):小組代表匯報(bào),小結(jié)結(jié)論.

教師總結(jié):圖形的對稱美可以發(fā)現(xiàn)圖形有相應(yīng)簡潔的結(jié)論,如矩形有2條對稱軸,相應(yīng)有2個(gè)特殊的結(jié)論,即矩形的四個(gè)角相等、矩形的對角線相等.

(3)九年級上冊第一章《特殊平行四邊形》第1節(jié)《正方形的性質(zhì)》,在教授“正方形的性質(zhì)”知識點(diǎn)時(shí),讓學(xué)生動(dòng)手操作,通過折紙、畫圖,探索發(fā)現(xiàn)正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等、正方形的對角線相等、正方形對角線互相垂直.

課前準(zhǔn)備:讓學(xué)生剪一個(gè)正方形.

課堂活動(dòng):用正方形紙片折一折,思考下列問題:

①正方形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?

圖3　

②正方形中有哪些相等的線段?

課堂總結(jié):小組代表匯報(bào),小結(jié)結(jié)論.

教師總結(jié):圖形的對稱美可以發(fā)現(xiàn)圖形有相應(yīng)簡潔的結(jié)論,如正方形有4條對稱軸,相應(yīng)有4個(gè)特殊的結(jié)論,即正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等、正方形的對角線相等、正方形對角線互相垂直.

(4)九年級下冊第三章《圓》第8節(jié)《垂徑定理》,在教授“垂徑定理”知識點(diǎn)時(shí),讓學(xué)生動(dòng)手操作,通過折紙、畫圖,探索垂徑定理的結(jié)論.

課前準(zhǔn)備:以小組為單位發(fā)給學(xué)生右圖的基本圖形.

課題活動(dòng):學(xué)生折一折,思考下列問題:

①這個(gè)圖形是軸對稱圖形嗎?有多少條對稱軸?

②有哪些線段相等?

圖4　

課題總結(jié):小組代表匯報(bào),小結(jié)結(jié)論.

教師總結(jié):軸對稱圖形對應(yīng)的線段相等.

2.回顧對稱的典型例子,強(qiáng)化對稱意識.

回顧初一初二一些經(jīng)典定理和結(jié)論的證明,強(qiáng)化學(xué)生對對稱的理解.

(1)回顧八年級下冊第六章《平行四邊形》的三角形中位線定理,證明這個(gè)定理為何這樣作輔助線,對稱的意識就是來源.

已知:如圖,DE是△ABC的中位線．

圖5　

圖6　

此題證明的思路是構(gòu)造平行四邊形,但是為何這樣構(gòu)造呢?因?yàn)橐C明DE是BC的一半,可以將DE延長兩倍,此時(shí)將△ADE繞著點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,即作△ADE關(guān)于點(diǎn)E的中心對稱圖形,便有證明的思路了.通過回顧典型定理的證明,發(fā)現(xiàn)經(jīng)典的證明也用到對稱的意識,強(qiáng)化學(xué)生對對稱的理解.

(2)回顧定理的證明:在直角三角形中,30°所對的直角邊是斜邊的一半.

已知:在Rt△ACB中,∠BAC= 30°

圖7　

此題證明的思路是構(gòu)造等邊三角形,但是為何這樣構(gòu)造呢?因?yàn)橐C明BC是AB的一半,可以將BC延長兩倍,此時(shí)做△ABC關(guān)于AC的軸對稱圖形,便有證明的思路了.通過回顧典型定理的證明,發(fā)現(xiàn)經(jīng)典的證明也用到對稱的意識,強(qiáng)化學(xué)生對對稱的理解.

3.利用對稱解題,強(qiáng)化對稱意識.

學(xué)生經(jīng)歷利用對稱探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論過程和回顧一些經(jīng)典定理、結(jié)論的證明,強(qiáng)化了對稱的意識,此時(shí)讓學(xué)生利用對稱解題,進(jìn)一步強(qiáng)化對稱的意識.

(1)如圖,AD是銳角△ABC的高,其中AB+BD= CD,求證:∠B=2∠C

圖8　

分析:這個(gè)證明題中,只有AB+BD=CD和AD是高這兩個(gè)條件,那么可以思考是否能根據(jù)對稱創(chuàng)設(shè)另一個(gè)關(guān)于線段的關(guān)系,可以相互替代,從而證明角之間的關(guān)系.可以考慮作AB關(guān)于AD的對稱線段AE,創(chuàng)建一個(gè)軸對稱圖形,這樣找到了證明的思路.

(2)如圖,在△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在AC、AB上,且∠EDF=90°,試說明: BF2+CE2=EF2.

圖9　

分析:要求證明三角形中邊的關(guān)系,并且三條邊不在一個(gè)三角形中,因此,考慮如何創(chuàng)設(shè)一個(gè)三角形,并且利用邊角的關(guān)系來證明.作△BFD關(guān)于點(diǎn)D的中心對稱圖形,作EF關(guān)于DE的軸對稱圖形,便可以發(fā)現(xiàn)△BFD和△CDG全等,得到GE=ER,BF=CG,進(jìn)而得到證明的思路.

這樣,學(xué)生利用對稱解題,進(jìn)一步強(qiáng)化了對稱的意識,體會到對稱之美,美在內(nèi)在的思維.

緊扣教材,根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的特點(diǎn)和規(guī)律,采取螺旋式上升的教學(xué)原則,從這三個(gè)方面即把握教材學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)、回顧經(jīng)典強(qiáng)化對稱意識、利用對稱解題進(jìn)一步強(qiáng)化對稱意識,從而有效地強(qiáng)化學(xué)生的對稱意識,達(dá)到將美學(xué)原理應(yīng)用于解題實(shí)踐達(dá)到以美啟智,提高學(xué)生解決問題的能力,提升了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).