“函數(shù)自變量的取值范圍”教學(xué)案例

浙江省嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)(312452)沈玲玲

“函數(shù)自變量的取值范圍”教學(xué)案例

浙江省嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)(312452)沈玲玲

一、寫在前面

現(xiàn)在我們?cè)谡n堂教學(xué)中提倡“學(xué)為中心”,“學(xué)”指學(xué)生,而不單單指學(xué)習(xí),學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的活動(dòng)過(guò)程.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),把課堂還給學(xué)生,把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生,幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)與提倡解決問(wèn)題策略的多樣化,尊重學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的不同水平.

《17.1變量與函數(shù)》是八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)的內(nèi)容.函數(shù)是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型,它源自生活,又服務(wù)于生活.函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用,初中階段對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)也是逐步加深的,因此,本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果如何將直接影響學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí).《函數(shù)自變量的取值范圍》是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一,我把它單獨(dú)安排一個(gè)課時(shí)來(lái)學(xué)習(xí).

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)能根據(jù)函數(shù)關(guān)系式直觀得到自變量取值范圍……

(2)理解實(shí)際背景對(duì)自變量取值的限制.

2.過(guò)程與方法

(1)通過(guò)讓學(xué)生主動(dòng)的觀察、交流、歸納等探索活動(dòng)形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)模式.

(2)聯(lián)系代數(shù)式中未知數(shù)的取值的要求,探索求函數(shù)自變量取值范圍的方法.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

使學(xué)生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過(guò)程中,增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí).

教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)自變量取值范圍的求法.

2.教學(xué)難點(diǎn):理解實(shí)際背景對(duì)自變量取值的限制.

三、教學(xué)過(guò)程:

教師:上一節(jié)課我們講了函數(shù)的概念:一般地,設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x的每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù).生活中有很多實(shí)例反映了函數(shù)關(guān)系,比如現(xiàn)在我們的課堂上就有一種函數(shù)關(guān)系(全班學(xué)生用好奇的目光注視著教師):若全班學(xué)生共51人,來(lái)聽課的老師為n人,則教室里的人數(shù)為m人,寫出m與n的函數(shù)關(guān)系式.

學(xué)生很快地回答道:m=51+n,m是函數(shù),n是自變量.

教師:那么此時(shí)此地自變量n等于多少?函數(shù)m的值是多少?自變量n的取值范圍是多少?(本節(jié)課是一節(jié)校級(jí)公開課,來(lái)聽課的老師較多)

學(xué)生紛紛環(huán)視四周,數(shù)出聽課教師人數(shù),聽課教師也和學(xué)生相互討論起來(lái),共同得出n=5,進(jìn)而求出m=56;但是在求n的取值范圍時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題,許多同學(xué)只說(shuō)n＞0而沒(méi)有想到n應(yīng)該為自然數(shù).(這就是實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn),要引導(dǎo)學(xué)生注意自變量取整數(shù))

教師:可見在某些函數(shù)關(guān)系式中,自變量的取值范圍有時(shí)是有限制的,今天我們就來(lái)研究一下相關(guān)知識(shí).

例1.求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍.(學(xué)生分組合作,積極地展開討論.)

學(xué)生1講課:在(1)中,x取任意實(shí)數(shù),2x+3有意義.

學(xué)生4:中,x≥-1且x≠2.

教師點(diǎn)評(píng):像第(5)小題,有些同學(xué)犯這樣的錯(cuò)誤,將答案寫成x≥-1或x≠2.在解一元二次方程時(shí),方程的兩根用“或者”聯(lián)接,但在不等式中應(yīng)說(shuō)明x≥-1與x≠2是并且的關(guān)系.有些同學(xué)沒(méi)有真正理解解析式是分式時(shí),自變量的取值應(yīng)使分母不為零,片面地認(rèn)為,凡是分母,只要x≠0即可.可將解題步驟設(shè)計(jì)得細(xì)致一些.先提問(wèn)本題的分母是什么?然后再要求分式的分母不為零.求出使函數(shù)成立的自變量的取值范圍.二次根式的問(wèn)題也類似.

教師:請(qǐng)同學(xué)們模仿例1編出類似但是又容易出錯(cuò)的題目來(lái)挑戰(zhàn)其他組.(學(xué)生活動(dòng)再一次出現(xiàn)高潮)

學(xué)生分小組編題如下:

(這一問(wèn)非常好,加深了大家對(duì)“且x≠8”的理解)

(可見學(xué)生對(duì)函數(shù)和自變量可以用任意字母表示是清楚的,不一定要用y和x)

教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)從做題中得到的規(guī)律:

1.函數(shù)的解析式是整式時(shí),自變量可取全體實(shí)數(shù);

2.函數(shù)的解析式是分式時(shí),自變量的取值應(yīng)使分母不為零;

3.函數(shù)的解析式是二次根式時(shí),自變量的取值應(yīng)使被開方數(shù)大于、等于零;

4.函數(shù)的解析式是分式和二次根式的綜合時(shí),自變量的取值應(yīng)使分母不為零,且被開方數(shù)大于、等于零;

5.函數(shù)是實(shí)際問(wèn)題時(shí),自變量的取值應(yīng)使解析式有實(shí)際意義.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生從已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)入手,從解題再到編題,感覺函數(shù)就在我們身邊,使他們打破函數(shù)很難這樣一個(gè)思維定勢(shì),從而重新建立我能學(xué)好的信心.從大量的題目實(shí)踐中,尤其是通過(guò)學(xué)生自編題目這一環(huán)節(jié),能夠使學(xué)生對(duì)容易出錯(cuò)的題目更加印象深刻,讓學(xué)生自己解題編題,當(dāng)小老師,真正落實(shí)學(xué)生是課堂的主人這一概念,體現(xiàn)“學(xué)為中心”的思想.

例2分別寫出下列各問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍:

(1)已知等腰三角形的面積為20cm2,設(shè)它的底邊長(zhǎng)為x(cm),求底邊上的高y(cm)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)在一個(gè)半徑為10cm的圓形紙片中剪去一個(gè)半徑為r(cm)的同心圓,得到一個(gè)圓環(huán).設(shè)圓環(huán)的面積為S(cm2),求S關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式;

(3)矩形的周長(zhǎng)為12cm,求它的面積S(cm2)與它的一邊長(zhǎng)x(cm)間的關(guān)系式,并求出當(dāng)一邊長(zhǎng)為2cm時(shí)這個(gè)矩形的面積.

(2)S=100π-πr2,r的取值范圍是0＜r＜10;

(3)S=(6-x)×x即S=6x-x2,x的取值范圍是6＞x＞0;

當(dāng)x=2時(shí),S=8,即此時(shí)矩形的面積為8cm2.

例2設(shè)計(jì)意圖:結(jié)合例1的直接由解析式找自變量取值范圍,例2主要探究當(dāng)函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題接軌時(shí)函數(shù)自變量的取值問(wèn)題.使學(xué)生了解,函數(shù)自變量的取值除受解析式影響外,還受實(shí)際問(wèn)題的限制.對(duì)于反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系,應(yīng)使得實(shí)際問(wèn)題有意義.這樣,就要求聯(lián)系實(shí)際,具體問(wèn)題具體分析.

四、檢測(cè)反饋

1.分別寫出下列各問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式,并指出式中的自變量與函數(shù)以及自變量的取值范圍:

(1)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為3cm,它的各邊長(zhǎng)減少x cm后,得到的新正方形周長(zhǎng)為ycm.求y和x間的關(guān)系式;

(2)寄一封重量在20克以內(nèi)的市內(nèi)平信,需郵資0.60元,求寄n封這樣的信所需郵資y(元)與n間的函數(shù)關(guān)系式;

2.求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍:

五、課堂小結(jié)

能過(guò)一節(jié)課的活動(dòng),談?wù)勀銓?duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí):

1.你有哪些方面得到提高?

2.利用本節(jié)的知識(shí)你能解決哪些問(wèn)題?

六、作業(yè)設(shè)計(jì)

1.課后練習(xí)的基礎(chǔ)題目.

2.選做題目(有能力的同學(xué)根據(jù)自己的實(shí)際選題).

七、課后反思:

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生是唯一的主體,教師無(wú)論教多么簡(jiǎn)單的知識(shí),采用多么先進(jìn)的教學(xué)方式,學(xué)生不主動(dòng)投入其中,效果都會(huì)很差.所以我們要從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)種種手段激發(fā)學(xué)生主動(dòng)的投入課堂活動(dòng)中,使掌握知識(shí)的過(guò)程由被動(dòng)變?yōu)橹鲃?dòng),這也是我所認(rèn)為的最簡(jiǎn)單樸素的“學(xué)為中心”.

但主動(dòng)的學(xué)習(xí)很難,在本課中,我有意識(shí)的先從學(xué)生熟悉的內(nèi)容入手,讓學(xué)生自己做、自己評(píng)這個(gè)充其量只能算有效的引導(dǎo),把氣氛調(diào)節(jié)起來(lái)后,進(jìn)入編題環(huán)節(jié),這時(shí)候?qū)W生就主動(dòng)多了,氣氛也很熱烈.從學(xué)生編題背后看出學(xué)生很有創(chuàng)造力,體現(xiàn)了挑戰(zhàn)→游戲→比賽→競(jìng)爭(zhēng)的宗旨,學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用知識(shí)構(gòu)造、創(chuàng)造題目,潛力極大,編題的方式促進(jìn)了對(duì)概念的理解.但從編題發(fā)現(xiàn):學(xué)生為什么愛編帶二次根式符號(hào)的題呢?開始我認(rèn)為學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系沒(méi)有全面了解,所以只側(cè)重于編二次根式的題.再一訪談學(xué)生才知:原來(lái)他們認(rèn)為二次根式形式是難點(diǎn),認(rèn)為結(jié)構(gòu)越復(fù)雜的越難,才會(huì)編出許多這一類型題去難別人.追根求源,還是符號(hào)感沒(méi)有建立起來(lái),簡(jiǎn)單的形式?jīng)]理解透,所以構(gòu)造中最復(fù)雜的是什么,學(xué)生最愛用的題就是什么.從中我們也可以反思出平常的教學(xué)中我們?nèi)鄙俚氖鞘裁?往常學(xué)生可能不會(huì)告訴你,但今天,乘著興頭學(xué)生和我好好的聊了聊以往的缺失,師生之間的關(guān)系又往前進(jìn)了一步.了解到學(xué)生愛編帶二次根式符號(hào)題的真正原因,看著他們積極主動(dòng)的憋著“壞”為難其他人,雖說(shuō)我們不提倡,但偶爾為之,還是有利于我們的教學(xué)的.

總之,教師的教是為了最后的不教,學(xué)生的發(fā)展在很大程度上取決于主體意識(shí)的形成和主動(dòng)參與能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種數(shù)學(xué)活動(dòng),通過(guò)活動(dòng)讓學(xué)生學(xué)習(xí)自行獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的方法,學(xué)習(xí)主動(dòng)參與數(shù)學(xué)實(shí)踐的本領(lǐng),進(jìn)而獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能.所以在今后的初中數(shù)學(xué)課堂上我們應(yīng)大力培養(yǎng)這種能力,真正做到“學(xué)為中心”.

教師:剛才引例中的函數(shù),要考慮到自變量的取值必須使解析式有意義,所以n必須是正整數(shù)或0.(簡(jiǎn)單解釋一下解析式就是數(shù)學(xué)式子即可)我們來(lái)看下面的例題,請(qǐng)分小組討論,然后我找學(xué)生上黑板來(lái)講解.