基于提升高中生反思能力的數(shù)學(xué)變式教學(xué)策略研究*

廣州市廣雅中學(xué)(510140)李曉穎

基于提升高中生反思能力的數(shù)學(xué)變式教學(xué)策略研究*

廣州市廣雅中學(xué)(510140)李曉穎

一、數(shù)學(xué)變式教學(xué)的意義

隨著課程改革,高中課程的功能、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、評價(jià)都發(fā)生了根本性的改變,對學(xué)生能力的要求提出更高的要求.數(shù)學(xué)變式教學(xué)的基本思想是:運(yùn)用不同的知識(shí)和方法,借鑒科學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造的思想方法和數(shù)學(xué)問題的編擬手法,對有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、公式及課本上的習(xí)題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化,有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求規(guī)律,逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),增強(qiáng)其應(yīng)變能力,激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動(dòng)性,提高其數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把對能力的培養(yǎng)落到實(shí)處.目前國內(nèi)各高校進(jìn)行的自主招生考試,很多題目都是往年高考題目的變式題,這種題目有利于選拔高素質(zhì)的學(xué)生,因此數(shù)學(xué)變式教學(xué)從這些方面都充分體現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生能力的要求.此外,現(xiàn)在的高考越來越關(guān)注學(xué)生的綜合能力與反思能力,例如:

【2011江蘇高考18題】已知直線x-y+1=0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn).

圖1　

(1)求橢圓S的方程;

(2)如圖,M,N分別是橢圓S的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.

①若直線PA平分線段MN,求k的值;

②對任意k＞0,求證:PA⊥PB.

重點(diǎn)和難點(diǎn)在(2)②.

代入橢圓方程得

法二:(點(diǎn)差法)由題意設(shè)P(x0,y0),A(-x0,-y0), B(x1,y1),則C(x0,0),∵A、C、B三點(diǎn)共線,

本題第(2)②問,應(yīng)該是考察能力的分水嶺,第一種方法對計(jì)算的能力要求比較高;而第二種方法對點(diǎn)差法的理解要比較透徹.那么我們平時(shí)教學(xué)的時(shí)候應(yīng)該怎么引導(dǎo)學(xué)生呢?反思這個(gè)問題:

問題一:是兩種方法都講,還是只介紹其中的一種?如果只講其中的一種,應(yīng)該選擇講哪一種呢?

問題二:這種類型的題目有沒有一般性的結(jié)論呢?如果有,教學(xué)的時(shí)候應(yīng)該如何呈現(xiàn)給學(xué)生,是直接告訴學(xué)生結(jié)論還是引導(dǎo)學(xué)會(huì)探究,讓學(xué)生自己找到一般性的結(jié)論呢?

通過有效反思,我們確實(shí)可以挖掘此問題一般性結(jié)論:

圖2　

(1)求證kAB·kPB為定值;(答案:)

(2)求證:存在實(shí)數(shù)λ,使kPA=λkAB(答案:2)

(3)求證kPA·kPB為定值.(答案:)

筆者對高考試題做了深入研究,發(fā)現(xiàn)很多的高考題,其本質(zhì)就是一些結(jié)論的具體化,我們在給學(xué)生講解某種題目的時(shí)候,最好能夠探究其本質(zhì),挖掘出一般規(guī)律.如何探究其本質(zhì),挖掘出它本源的東西.這就是數(shù)學(xué)課堂實(shí)施變式教學(xué)的關(guān)鍵,更是提升反思能力的有效途徑.

關(guān)于教師對變式教學(xué)的認(rèn)識(shí)與行動(dòng)的研究結(jié)果表明:在多數(shù)教師看來,變式練習(xí)是變式教學(xué)的主要形式.因而教師最關(guān)注解題方法的變式,追求解題方法的多樣性.教師認(rèn)為變式的使用是學(xué)生認(rèn)知的需要,同時(shí)也是題型訓(xùn)練的需要,他們關(guān)注變式對學(xué)生的”獲得”所起的作用,同時(shí)也關(guān)注變式對學(xué)科知識(shí)的傳授所起的作用.多數(shù)教師認(rèn)為針對某一知識(shí)點(diǎn)的同水平的數(shù)學(xué)問題的反復(fù)操練既有助于記憶,又能促進(jìn)理解.多數(shù)情況下,教師對變式的使用并不是無意識(shí)的,而是課前有設(shè)計(jì)的.建議成長中的新教師應(yīng):(1)重視變式教學(xué)的作用,在課堂教學(xué)中,有計(jì)劃、有設(shè)計(jì)地使用變式;(2)關(guān)注教法與學(xué)法的變式;(3)將變式更多地延伸到課堂教學(xué)的”外圍”:復(fù)習(xí)思考、鞏固反思和小結(jié)練習(xí)這三個(gè)環(huán)節(jié);(4)在教學(xué)中要試圖探索變異空間的適當(dāng)?shù)木S度.

二、數(shù)學(xué)變式教學(xué)實(shí)踐案例分析

筆者多年任教高三,在高三復(fù)習(xí)備考中實(shí)施變式教學(xué)已是常態(tài).下面結(jié)合兩個(gè)具體的教學(xué)案例,介紹在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考中如果進(jìn)行變式教學(xué)提升學(xué)生反思能力.

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為-4D.最小值為-4

這是基本不等式的應(yīng)用,基本上高考每年都考.它可以考選擇題,填空題,也可以考大題.為何年年考,年年都有學(xué)生做錯(cuò)或者不會(huì)做呢?反思已成為我的一種教學(xué)習(xí)慣.

在利用基本不等式時(shí),教師一般都會(huì)強(qiáng)調(diào)“一正,二定,三相等”,那么我們就得給學(xué)生看看,如果不是正數(shù)怎么辦?如果不是定值怎么辦?如果不相等怎么辦?這樣各種情況都涉及到,學(xué)生對于基本不等式的理解就更加深刻,透徹.

問題1:如果不是正數(shù)怎么辦?我們可以這樣變:

A.最大值為0B.最小值為0

C.最大值為-4D.最小值為-4

問題2:如果不是定值怎么辦?我們可以這樣變:

問題3:如果不是定值怎么辦?我們可以這樣變:

對于變式3,我們還應(yīng)該讓學(xué)生反思:有些題目,看起來像是考基本不等式,其實(shí)它不是.我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何識(shí)別考點(diǎn)是什么?應(yīng)該用什么方法來應(yīng)對那些看起來很“熟”的東西.這需要老師不斷的變式,讓學(xué)生不斷的反思.如果在平時(shí)的教學(xué)中都能這樣做,相信學(xué)生對這個(gè)知識(shí)點(diǎn)一定能掌握透徹,以后不管題目怎么變,都能靈活應(yīng)用,這就是變式教學(xué)的目的.

例2.設(shè)數(shù)列{an}滿足

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

重點(diǎn)反思的第二問,如何用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和?

裂項(xiàng)相消法,錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和是每年高考的重點(diǎn),也是高考的難點(diǎn).前者形式多樣,學(xué)生很難識(shí)別.后者模式固定但計(jì)算難度較大.對于前者,如何在教學(xué)中讓學(xué)生識(shí)別這是在考用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和?對于本題的第(2)問,我們至少可以作出以下變式:

對于分?jǐn)?shù)型的裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和,我們可以通過各種形式的練習(xí),讓學(xué)生觀察,歸納,總結(jié)出一般的模式或者經(jīng)驗(yàn).本人認(rèn)為對于可以用分?jǐn)?shù)型的裂項(xiàng)相消求數(shù)列的和,其分母一定是某個(gè)數(shù)列相臨或者相間隔兩項(xiàng)的乘機(jī),分子是分母那個(gè)數(shù)列相臨或者相間隔兩項(xiàng)的差的常熟倍.即形如這種形式的數(shù)列可以用裂項(xiàng)相消求和.

此外,我們還可以補(bǔ)充總結(jié)出常見的裂項(xiàng)的方法:

三、數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)踐成效與反思

變式教學(xué)對于數(shù)學(xué)教師來說并不陌生,幾乎每位教師都在自己的課堂中自覺不自覺的應(yīng)用,但是大多數(shù)的教師對變式教學(xué)缺乏深入的了解,認(rèn)為變式教學(xué)就是簡單的在解題教學(xué)中一題多解、一題多變或多題一解,還有一些教師在使用變式教學(xué)時(shí),沒有經(jīng)過精心的設(shè)計(jì),而只是憑教學(xué)中的點(diǎn)滴靈感,這樣的變式教學(xué)有的時(shí)候會(huì)因?yàn)闆]有梯度而層次不清,如果把握不好反而會(huì)加大學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).筆者結(jié)合多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),以及對變式教學(xué)理論的深入學(xué)習(xí),對變式教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)實(shí)踐,形成了變式教學(xué)設(shè)計(jì)策略,歷屆學(xué)生的學(xué)業(yè)成績一直處于領(lǐng)先地位,學(xué)生的反思能力得到提升,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

筆者通過數(shù)學(xué)變式教學(xué)實(shí)踐,反思以下幾個(gè)問題:

1.對變式教學(xué)的重新分類是可行的,是適合高中教學(xué)實(shí)踐的.

2.變式教學(xué)是有效的,可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握,有利于學(xué)生能力的培養(yǎng)和思維水平的提升.

3.在變式教學(xué)中應(yīng)在難度、數(shù)量和學(xué)生的參與度上有所把握,才可以使變式教學(xué)事半功倍.依照教師舉例、學(xué)生模仿練習(xí)、課后完成作業(yè),來達(dá)到掌握、鞏固、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目標(biāo),不利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.在我們的數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)中,教師通過對所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念,或者其它的定理結(jié)論等進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈兪?也就是說應(yīng)用變式教學(xué)的手段或者說是方法.實(shí)踐表明,多進(jìn)行變式教學(xué),能幫助學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到該數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)特征.有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力能力.具體實(shí)施變式教學(xué)時(shí)有如下啟示:

1.在我們實(shí)際數(shù)學(xué)變式教學(xué)中,教師應(yīng)該精心設(shè)計(jì)所要變式的題目,步步深入的引導(dǎo)學(xué)生從一系列“變化”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題始終“不變”的本質(zhì)特征,又能從事物“不變”的現(xiàn)象中進(jìn)一步探求事物“變”的現(xiàn)象和規(guī)律;

2.變式后的問題要明確;變式問題的設(shè)計(jì)要科學(xué)、合理;變式問題的設(shè)計(jì)還要有目標(biāo)本位.

3.變式應(yīng)具有可參與性;變式應(yīng)具有可探究性;變式應(yīng)具有開放性;

4.變式應(yīng)具有生成性;變式應(yīng)聯(lián)系實(shí)際,增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).教學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)束,學(xué)生的問卷及結(jié)果顯示,創(chuàng)新的變式教學(xué)能夠更好的促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,而且能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

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[4]羅騰根;變式,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之法寶[J];數(shù)學(xué)教學(xué)通訊;2006年10期.

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[6]顧泠沅;黃榮金;費(fèi)蘭倫斯·馬頓;變式教學(xué):促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式[J];云南教育(中學(xué)教師);2007年03期.

*本論文是廣東省教育科學(xué)十二五規(guī)劃課題《運(yùn)用變式教學(xué)提升高中生數(shù)學(xué)反思能力的實(shí)踐研究》的階段性研究成果.