三教三探 尋根究底
——“百分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)例談

江蘇南京市天正小學(xué)（瑯小分校）（210000） 王 軍

三教三探 尋根究底
——“百分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)例談

江蘇南京市天正小學(xué)（瑯小分校）（210000） 王 軍

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的重要教學(xué)內(nèi)容，可是目前重定義輕理解、重形式輕本質(zhì)的現(xiàn)象普遍存在。在“百分?jǐn)?shù)意義”的概念教學(xué)的嘗試中，從生活出發(fā)聯(lián)系實(shí)際、從需要出發(fā)以人為本、從知識(shí)本質(zhì)出發(fā)尋根究底，旨在說(shuō)明小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)要精讀教材，抓住概念教學(xué)的根，讓學(xué)生充分體會(huì)其價(jià)值，學(xué)會(huì)溝通聯(lián)系，形成體系。

數(shù)學(xué)概念 百分?jǐn)?shù) 生活 需要 本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷、證明的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重要環(huán)節(jié)。百分?jǐn)?shù)在學(xué)生生活、社會(huì)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一。

對(duì)于“百分?jǐn)?shù)的意義”這一概念具體該怎么教，仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，也叫百分率或百分比。從這個(gè)意義講，百分?jǐn)?shù)具備“率”的意義，歸類(lèi)到分?jǐn)?shù)集合。如何讓學(xué)生深入理解百分?jǐn)?shù)的意義呢？我在執(zhí)教這一課時(shí)，進(jìn)行了“三教三探”，感受頗深：只有精讀教材，立足知識(shí)的本質(zhì)，尋起源之“根”，才能真正讓百分?jǐn)?shù)的意義在學(xué)生心中扎根。

一教：從生活出發(fā)，聯(lián)系實(shí)際

【案例描述】

師∶課前老師讓每位同學(xué)到生活中找百分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在先小組交流，然后選代表參加信息發(fā)布會(huì)，大家一起交流。

生1∶我在網(wǎng)上查到“盈科護(hù)眼燈新產(chǎn)品比舊產(chǎn)品省電80%”。

生2∶我在衣服的標(biāo)簽上找到“一件上衣的布料，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%”。

生3∶我在酒瓶貼的標(biāo)簽上找到“瀘州老窖的酒精度是52%”。

生4∶我在牛奶盒上找到“100%純牛奶”。

生5∶我在藥品的說(shuō)明書(shū)上找到……

師∶聽(tīng)到這么多，你們想到了什么？

生6∶百分?jǐn)?shù)在生活中無(wú)處不在。

生7∶生活離不開(kāi)百分?jǐn)?shù)。

師∶有的同學(xué)是在生活中找到百分?jǐn)?shù)，有的同學(xué)是對(duì)生活當(dāng)中的一些現(xiàn)象做了一些分析，經(jīng)過(guò)計(jì)算后得到了百分?jǐn)?shù)?？傊?，說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題，百分?jǐn)?shù)在生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。

師∶老師也找了幾個(gè)，（大屏幕展示）你能說(shuō)說(shuō)這幾個(gè)百分?jǐn)?shù)的意思嗎？

師∶請(qǐng)觀察并比較，每一個(gè)百分?jǐn)?shù)都是幾個(gè)量在進(jìn)行比較？這些百分?jǐn)?shù)所表達(dá)的意思有沒(méi)有什么相同之處？

總結(jié)∶表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。

【反思】

密切聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，通過(guò)“信息發(fā)布會(huì)”的形式讓學(xué)生交流自己收集的生活中的百分?jǐn)?shù)后用自己的語(yǔ)言描述百分?jǐn)?shù)表示的意義，使學(xué)生在真實(shí)的情景中理解百分?jǐn)?shù)的意義，逐步建立百分?jǐn)?shù)的認(rèn)知框架，同時(shí)體驗(yàn)百分?jǐn)?shù)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，這樣做能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。而將數(shù)學(xué)和生活放在同一平臺(tái)，能讓學(xué)生體會(huì)到兩者的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，符合課程標(biāo)準(zhǔn)中“人人學(xué)游泳的數(shù)學(xué)”這一大眾數(shù)學(xué)教學(xué)理念。

對(duì)于“百分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)”，如果就定位在讓學(xué)生會(huì)用“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”描述具體百分?jǐn)?shù)的意義上就行了嗎？在案例中，很多學(xué)生通過(guò)模仿就能順利說(shuō)出百分?jǐn)?shù)的意思。事實(shí)上，要深入理解百分?jǐn)?shù)的意義，不僅要會(huì)解釋生活中百分?jǐn)?shù)的具體意義，更要能描述抽象百分?jǐn)?shù)的意義，更重要的是理解百分?jǐn)?shù)是表示兩個(gè)數(shù)量相比的關(guān)系。特級(jí)教師張勇成說(shuō)過(guò)：“我們教學(xué)，要教清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈。”教學(xué)的成功之處就在于不僅要使學(xué)生“知其然”，更重要的是讓學(xué)生“知其所以然”。為什么要有百分?jǐn)?shù)呢？百分?jǐn)?shù)有什么好處呢？百分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的？在第一節(jié)課結(jié)尾時(shí)學(xué)生果然提出了這樣的疑問(wèn)。因此，讓學(xué)生經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程，產(chǎn)生對(duì)百分?jǐn)?shù)的需要，應(yīng)該是這一概念教學(xué)課不可或缺的重要部分，也符合概念教學(xué)的要求，于是我進(jìn)行了第二次教學(xué)。

二教：從需要出發(fā)，以人為本

【案例描述】

1.情境引入，引發(fā)探究

學(xué)校體育組組織籃球聯(lián)賽（學(xué)校活動(dòng)），我們班要選拔參賽選手（課件出示表1，只有“投中次數(shù)”和“姓名”兩欄）。

表1

師∶老師對(duì)他們?nèi)说耐痘@成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。你會(huì)選擇誰(shuí)參賽？為什么？

生1∶選擇張睿，因?yàn)閺堫Ｍ吨械拇螖?shù)最多。

生2∶不告訴我們投籃總次數(shù)就不好選，萬(wàn)一他們?nèi)齻€(gè)人投的總次數(shù)不一樣呢？

（課件出示表2，增加“投籃次數(shù)”一欄）

表2

師∶現(xiàn)在可以比較了嗎？

生3∶選王欣宇，因?yàn)樗挥?個(gè)沒(méi)投中。

生4∶我不同意，那如果只投2個(gè)，1個(gè)沒(méi)投中，難道他投籃最準(zhǔn)嗎？

生5∶我覺(jué)得可以算出投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾后再比較……

教師引導(dǎo)學(xué)生比較各種方法，集體討論后確認(rèn)“看誰(shuí)投中的比率高，也就是求出投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾后再進(jìn)行比較”這一方法是合理的。（在表2中增加“投中的比率”一欄；計(jì)算三名隊(duì)員投中的比率；板書(shū)：

2.合理比較，引發(fā)需求

（1）通分成分母是100的分?jǐn)?shù)。

師∶可以直接比較了嗎？

生1∶可以化成小數(shù)后再比較。

生2∶可以化成分?jǐn)?shù)后再比較。首先比較和化成比小和通分成分母都為100，得所以王欣宇成績(jī)最好。

師∶能三個(gè)都通分成同分母嗎？

師∶現(xiàn)在可以直接看出誰(shuí)投中的比率更高一些嗎？

（2）引發(fā)需求，形成方法。

（課件出示表3，增加老師的投籃成績(jī)）

表3

師∶老師也經(jīng)常和他們?nèi)齻€(gè)人切磋球技，有了老師的加入，你覺(jué)得誰(shuí)更厲害一些？

生3∶老師的成績(jī)不好通分成以100為分母的分?jǐn)?shù)。

生4∶可以都通分成以200為分母的，即

師∶是呀，這樣也可以比較，只是如果再出現(xiàn)不好找公分母的分?jǐn)?shù)的時(shí)候會(huì)比較麻煩。為了便于統(tǒng)計(jì)和比較，通常把這些分?jǐn)?shù)都用分母是100的分?jǐn)?shù)來(lái)表示。

表4

【反思】“學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的。”從學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用學(xué)生熟悉的籃球聯(lián)賽，創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設(shè)“選拔誰(shuí)做投籃選手”的問(wèn)題情境，設(shè)置引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的一個(gè)個(gè)問(wèn)題，特別是增設(shè)老師也參加投籃的情況，讓學(xué)生體會(huì)到通分的局限性，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知的沖突，從而引出本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容。這樣的引入，從百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的需要出發(fā)，從現(xiàn)實(shí)情境需要出發(fā)，便于比較，真正做到以人為本，使學(xué)生知其然也知其所以然，從而充分體驗(yàn)百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要與作用，感受百分?jǐn)?shù)的價(jià)值。

通過(guò)不同標(biāo)準(zhǔn)量的幾個(gè)部分的比較，引導(dǎo)學(xué)生將不同標(biāo)準(zhǔn)量轉(zhuǎn)化成100，從而引出“百分?jǐn)?shù)”，不僅讓學(xué)生知道百分?jǐn)?shù)的意義，更讓學(xué)生知道產(chǎn)生百分?jǐn)?shù)的必要性。但我們不僅要問(wèn)：“只要比較出來(lái)就行了，為什么非要分母是100呢？而且有的數(shù)通分不出分母是100時(shí)又該怎么辦？”案例中就有學(xué)生利用小數(shù)或者其他方法進(jìn)行比較，還有的學(xué)生把分?jǐn)?shù)通分成分母是200的，這樣就規(guī)定通分成100太牽強(qiáng)了，另外投籃總數(shù)分別為“25、20、5”，這為學(xué)生想到“公分母100”鋪好了臺(tái)階，人為痕跡過(guò)于明顯。

百分?jǐn)?shù)到底是怎么產(chǎn)生的呢？我仔細(xì)翻閱教材，查閱了很多資料，只查閱到這樣一段話(huà)“200多年前，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《通用算術(shù)》一書(shū)中說(shuō)，要想把7米長(zhǎng)的一根繩子分成三等份是不可能的，因?yàn)檎也坏揭粋€(gè)合適的數(shù)來(lái)表示它。如果把它分成三等份，每份是米，像就是一種新的數(shù)，我們把它叫做分?jǐn)?shù)。而后，人們?cè)诜謹(jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上又以100作為基數(shù)，發(fā)明了百分?jǐn)?shù)?！憋@然，這種關(guān)于百分?jǐn)?shù)的由來(lái)太過(guò)籠統(tǒng)。

仔細(xì)翻閱教材，蘇教版教材98頁(yè)有這樣一句話(huà)“為了便于統(tǒng)計(jì)和比較，通常把這些分?jǐn)?shù)用分母是100的分?jǐn)?shù)來(lái)表示”。由此不禁想到，百分?jǐn)?shù)雖然屬于分?jǐn)?shù)范疇，但是不是也和統(tǒng)計(jì)有關(guān)，屬于統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域呢？如果和統(tǒng)計(jì)無(wú)關(guān)，為什么不直接說(shuō)為了便于比較呢？

無(wú)獨(dú)有偶，在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》雜志中看到一段話(huà)：“在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，人們經(jīng)常要收集有關(guān)數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行必要的數(shù)量統(tǒng)計(jì)、數(shù)量比較、質(zhì)量分析和效果檢查等各項(xiàng)工作，有時(shí)用一般的分?jǐn)?shù)形式來(lái)表示很不方便，于是人們就選擇了分?jǐn)?shù)中的一部分——分母為100的分?jǐn)?shù)，并書(shū)寫(xiě)成A%的形式，冠以它特定的含義，簡(jiǎn)稱(chēng)‘百分?jǐn)?shù)’?！边@段文字給了我這樣的啟示：百分?jǐn)?shù)是在“工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究”中產(chǎn)生的，和統(tǒng)計(jì)有一定的聯(lián)系。這應(yīng)該是“百分?jǐn)?shù)的意義”這一課真正的知識(shí)本源，基于這個(gè)因素，我進(jìn)行了第三次教學(xué)。

三教：從本源出發(fā)，尋根究底

【案例描述】

1.第一次“質(zhì)量萬(wàn)里行活動(dòng)”——認(rèn)識(shí)“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”的必要。

師∶臨近歲末，為了保護(hù)消費(fèi)者權(quán)益，省質(zhì)檢部門(mén)舉行“質(zhì)量萬(wàn)里行活動(dòng)”，對(duì)甲、乙、丙3家鞋業(yè)公司的某個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，派出3位質(zhì)檢員分別到3家公司，10天后檢測(cè)結(jié)果如下。請(qǐng)問(wèn)∶哪家鞋業(yè)公司的產(chǎn)品質(zhì)量最好？

抽檢數(shù)量（雙）95 178 123公司名稱(chēng)甲乙丙合格數(shù)量（雙）90 167 115

生1∶丙最高，因?yàn)樗细竦臄?shù)量最多。

生2∶我覺(jué)得應(yīng)該是甲，因?yàn)樗挥?雙不合格。

生3∶我不同意，照你這樣說(shuō)，如果生產(chǎn)的總量很少，不合格的當(dāng)然也就越少了。

生4∶我覺(jué)得應(yīng)該算出合格數(shù)量占抽檢數(shù)量的幾分之幾，即

師∶現(xiàn)在好比了嗎？該怎么辦？

生5∶通分。

（學(xué)生面露難色，感覺(jué)很麻煩）

師∶遇到什么問(wèn)題了？

2.檢測(cè)工作交流反思會(huì)——確定一個(gè)合適的標(biāo)準(zhǔn)量。

師∶如果你是質(zhì)檢部門(mén)的負(fù)責(zé)人，看到這個(gè)表格，你有什么想法？

生6∶一眼看不出來(lái)誰(shuí)的質(zhì)量好。

生7∶要是一目了然就好了。

師∶第一次“質(zhì)量萬(wàn)里行活動(dòng)”結(jié)束后，你覺(jué)得他們會(huì)交流什么？

生8∶這些數(shù)據(jù)太復(fù)雜了，只要統(tǒng)一抽檢的數(shù)量就很好比較了。

師∶大家同意嗎？

師∶抽測(cè)數(shù)量統(tǒng)一為多少合適？請(qǐng)小組討論后交流。

生（匯報(bào)）∶統(tǒng)一成100，因?yàn)?00比較好算。

生9∶我們也認(rèn)為是100。

生10∶我們商量的結(jié)果是100。因?yàn)?00既不是太多，也不是太少，正好。

師∶王老師在《社會(huì)調(diào)查中樣本容量的確定》這本中讀到這樣一段話(huà)，希望能給大家一些啟發(fā)∶抽檢數(shù)量過(guò)大，會(huì)增加調(diào)查的工作量，造成人力、物力、財(cái)力、時(shí)間的浪費(fèi)；抽檢數(shù)量過(guò)小，則樣本對(duì)總體缺乏足夠的代表性，從而難以保證推算結(jié)果的精確度和可靠性。

師∶為了便于統(tǒng)計(jì)和計(jì)算，一般我們選擇100這個(gè)數(shù)值，更有利于比較。

3.第二次質(zhì)量萬(wàn)里行活動(dòng)——介紹“百分?jǐn)?shù)的意義”。

師∶下個(gè)月將派出3位質(zhì)檢員分別到3家牛奶公司，對(duì)各家公司的純牛奶產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)。（出示抽檢數(shù)量統(tǒng)一為100之后的檢測(cè)結(jié)果）

師∶怎樣表示每種牛奶的合格情況？請(qǐng)求出合格數(shù)量占檢測(cè)總數(shù)量的幾分之幾。這樣的表示你有什么感受？

生10∶這樣很清楚，很好比較。

師∶有時(shí)為了節(jié)約時(shí)間或者成本，并不一定把樣本容量定為100。（出示教材例題）誰(shuí)投中的比率高一些？為了便于比較，你想給王老師提出什么修改建議？

4.教學(xué)百分?jǐn)?shù)的讀法和寫(xiě)法。

5.小組交流課前搜集的百分?jǐn)?shù)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的意義。

【反思】

對(duì)于百分?jǐn)?shù)的意義的教學(xué)，創(chuàng)設(shè)的情境既要能反映百分?jǐn)?shù)的意義，又能體現(xiàn)應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的必要性，也就是“百分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生”的。對(duì)于第三次教學(xué)設(shè)計(jì)的情景，主要有兩方面的考慮：一是情景要使人產(chǎn)生“統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量”的必要，但不能人為的痕跡過(guò)重；二是為什么“標(biāo)準(zhǔn)量”統(tǒng)一為100。這是最難的地方，從我的理解來(lái)看，這個(gè)100除了計(jì)算簡(jiǎn)單外，應(yīng)該和統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“樣本容量”有一定的關(guān)系。我想這也是教材定義百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生時(shí)所描述的，可是教材并沒(méi)有提及便于統(tǒng)計(jì)的情境和內(nèi)容。

從《社會(huì)調(diào)查中樣本容量的確定》一書(shū)中合理確定樣本容量的意義是這樣說(shuō)的：樣本容量過(guò)大，會(huì)增加調(diào)查工作量，造成人力、物力、財(cái)力、時(shí)間的浪費(fèi)；樣本容量過(guò)小，則樣本缺乏足夠的代表性，從而難以保證推算結(jié)果的精確度和可靠性；樣本容量確定的科學(xué)合理，可以在既定的調(diào)查費(fèi)用下，使抽樣誤差盡可能小，以保證推算的精確度和可靠性，在既定的精確度和可靠性下，使調(diào)查費(fèi)用盡可能少，保證抽樣推斷的最大效果。

從教學(xué)現(xiàn)狀看，六年級(jí)的學(xué)生對(duì)不同標(biāo)準(zhǔn)的比較已經(jīng)具有了一定的經(jīng)驗(yàn)，所以我引進(jìn)了樣本容量這個(gè)概念，不過(guò)六年級(jí)學(xué)生是否需要這么做是值得商榷的。這三種教學(xué)方式本身并沒(méi)有好壞、優(yōu)劣之分，只是對(duì)于概念的教學(xué)，教師應(yīng)該更多地從知識(shí)本源出發(fā)，抓住“百分?jǐn)?shù)意義”這一概念的根。

在當(dāng)前的小學(xué)課堂教學(xué)中，重定義輕理解、重形式輕本質(zhì)的現(xiàn)象仍然普遍存在。在“百分?jǐn)?shù)的意義”的課后訪(fǎng)談中，我曾經(jīng)問(wèn)學(xué)生：“什么是百分?jǐn)?shù)？”學(xué)生基本能對(duì)答如流：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。可是過(guò)幾天再問(wèn)，學(xué)生回答起來(lái)就有些茫然，甚至有學(xué)生說(shuō)有百分號(hào)這樣的數(shù)。究其原因，學(xué)生只記住了形，沒(méi)有從本質(zhì)上理解概念。那么數(shù)學(xué)概念本身有哪些特點(diǎn)？學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念有著怎樣的學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)過(guò)程？我們?cè)撊绾芜M(jìn)行概念教學(xué)呢？這有待我們進(jìn)一步的研究。

（責(zé)編 金 鈴）

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1007-9068（2016）35-004