基于可信性理論的Mean-CVaR投資組合優(yōu)化

李 淼，胡永宏

(1．北京市工商行政管理局 東城分局，北京 100007；2．中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081)

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【統(tǒng)計(jì)理論與方法】

基于可信性理論的Mean-CVaR投資組合優(yōu)化

李 淼1，胡永宏2

(1．北京市工商行政管理局 東城分局，北京 100007；2．中央財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，北京 100081)

選取CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，在可信性理論的基礎(chǔ)上構(gòu)建Mean-CVaR投資組合模型，采用Markov過程預(yù)測作為模糊變量的預(yù)期投資收益率，并設(shè)計(jì)基于模糊模擬和遺傳算法的混合智能算法以求解；選取上證50成份股2013—2014年的日度歷史交易數(shù)據(jù)，將該模型應(yīng)用到中國證券市場，結(jié)果發(fā)現(xiàn)該投資組合模型與中國證券市場的環(huán)境具有一定的適應(yīng)性，能夠?yàn)橥顿Y者的投資決策提供依據(jù)。

可信性理論；Mean-CVaR；混合智能算法

一、引 言

1952年Markowitz首次提出了均值-方差投資組合模型，該模型將方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量的指標(biāo)，開啟了現(xiàn)代投資組合理論的大門[1]。此后，針對方差度量風(fēng)險(xiǎn)所存在的缺陷，Bawa、Konno、Rockafellar和Uryasev等先后提出了下偏矩、絕對偏差、VaR和CVaR等風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)[2-4]，CVaR是超過VaR部分的風(fēng)險(xiǎn)損失值，滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的性質(zhì)，具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也更符合對風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)期。

傳統(tǒng)投資組合理論的研究大多從概率論和線性規(guī)劃理論出發(fā)，只考慮了證券市場的隨機(jī)不確定性，而忽略了證券市場的另一種非常重要的不確定性表現(xiàn)形式——模糊性。1965年Zadeh提出了模糊集合的概念，創(chuàng)建了模糊數(shù)學(xué)理論；Liu定義了可信性測度，創(chuàng)建了可信性理論。此后，對投資組合的研究開始加入了對不確定性因素的考量，改進(jìn)了Markowit衡量期望收益率的弊端。Tanaka、Huang、Qin等分別從模糊理論、可信性理論出發(fā)對收益率進(jìn)行描述，并基于此構(gòu)造投資組合模型，分別采用正交化、主成分分析法和混合智能算法對模型求解[5-7]。

針對以上兩方面，中國學(xué)者也進(jìn)行了研究，牛昂、姚剛對VaR的計(jì)算方法進(jìn)行了介紹[8-9]；榮喜民等研究了均值-VaR的有效前沿[10]；林旭東等研究了均值-CVaR的有效前沿[11]；莊新路、高振斌等將收益率描述為模糊變量，并建立投資組合模型，得出模糊環(huán)境下的投資組合模型能更好符合投資者主觀愿望的結(jié)論[12-13]。

綜上所述，對投資組合理論的研究主要是圍繞風(fēng)險(xiǎn)和收益兩個(gè)方面進(jìn)行的，目前還沒有學(xué)者對在可信性理論下綜合考慮CVaR風(fēng)險(xiǎn)及市場雙重不確定性的投資組合模型進(jìn)行實(shí)證研究。因此，本文在構(gòu)建投資組合模型時(shí)，綜合考慮證券市場的雙重不確定性，將收益率描述為隨機(jī)模糊變量，采用CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，構(gòu)建基于可信性理論的投資組合模型，利用模糊模擬和遺傳算法的混合智能算法對模型進(jìn)行求解，并利用上證50指數(shù)的50支成份股進(jìn)行實(shí)證分析。

二、可信性理論基本概念

在對事件進(jìn)行決策的過程中，為保證決策結(jié)果的準(zhǔn)確性，需綜合考慮事件的隨機(jī)性和模糊性。1965年Zadeh最早對模糊集合的概念進(jìn)行了闡述，建立了隸屬函數(shù)，通過該函數(shù)較為精確地刻畫出元素與集合之間的關(guān)系，并基于此創(chuàng)建了模糊集合理論。為了更詳細(xì)地闡述隨機(jī)性和模糊性之間的本質(zhì)區(qū)別，Zadeh于1978年又進(jìn)一步提出了可能性理論，而由于可能性測度缺少自對偶性會(huì)導(dǎo)致極端的可能性，Liu于2002年提出了可信性測度的概念，從而創(chuàng)建了可信性理論。下面對模糊集合理論、可能性理論和可信性理論的基本概念進(jìn)行簡單介紹。

定義4 設(shè)Θ是一個(gè)非空集合，該集合存在冪集P，若集函數(shù)Pos滿足如下定理：

公理1 Pos{Θ}=1。

公理2 Pos{φ}=0。

則Pos稱為Θ的可能性測度，三元組(Θ，P，Pos)為可能性空間。

由于可能性測度缺少自對偶性，會(huì)導(dǎo)致極端可能性的出現(xiàn)，可信性測度使這一問題得到了改善。

此外，可信性測度Cr滿足以下四條公理：

公理1 規(guī)范性：Cr{Θ}=1。

公理2 單調(diào)性：如果A?B，那么Cr{A}≤Cr{B}。

公理3 自對偶性：有Cr{A}+Cr{Ac}=1，其中A表示任意事件。

則Cr{A}稱為事件A的可信性測度，三元組(Θ,P,Cr)稱為可信性空間。

基于可信性理論，給出模糊變量及其基本特征的概念：

定義6 令可信性空間為(Θ,P,Cr)，存在一個(gè)可測函數(shù)，使該空間可以通過實(shí)數(shù)集一一表示出來，則這個(gè)可測函數(shù)就稱為模糊變量。

定義8 模糊變量ξ的期望值為：

定義9 設(shè)ξ為一個(gè)模糊變量，e為該模糊變量的一個(gè)有限期望值，則模糊變量ξ的方差為：V[ξ]=E[(ξ-e)2] 。

三、基于可信性理論的Mean-CVaR投資組合模型

(一)模型的構(gòu)建

模糊CVaR是指模糊風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在一定置信水平條件下未來一段時(shí)間可能遭受的超過VaR值的損失平均值，是對超過VaR值的可能遭受的潛在平均損失的測度，其數(shù)學(xué)定義為：

模糊CVaR滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測度的四條性質(zhì)，即平移不變性、單調(diào)性、正齊次性、獨(dú)立次可加性，因此模糊CVaR風(fēng)險(xiǎn)測度屬于一致性模糊風(fēng)險(xiǎn)測度。

可得投資組合的模糊CVaR風(fēng)險(xiǎn)為：

其中[f(x,ξ)-ξVaR(α)]+=max{f(x,ξ)-ξVaR(α),0}

綜上，基于模糊CVaR風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的投資組合模型有如下兩種形式：

第一，保證收益水平且風(fēng)險(xiǎn)值最小。

(1)

其中r是收益標(biāo)準(zhǔn)，α是給定的置信水平。

第二，維持風(fēng)險(xiǎn)水平且收益最高。

(2)

其中δ是給定的風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)，α是給定的置信水平。

(二)混合智能算法

由上述投資組合模型知，每種資產(chǎn)計(jì)算求得的三角模糊數(shù)是模型的輸入數(shù)據(jù)，使模型具有模糊性的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，而一般的線性規(guī)劃方法無法求解具有模糊性的投資組合模型，這時(shí)就需采用模糊模擬方法求解目標(biāo)函數(shù)和約束條件；同時(shí)，為了找到滿足條件的最優(yōu)解，還需采用遺傳算法來尋求全局最優(yōu)解，所以本文基于上述兩種算法，設(shè)計(jì)出混合智能算法對模型進(jìn)行求解。

1.模糊模擬

當(dāng)投資組合收益率為模糊變量且無法準(zhǔn)確求出其期望值等時(shí)，可通過計(jì)算機(jī)程序近似求解其值，這樣的方法就是模糊模擬。下面對模糊變量的期望、CVaR的模糊模擬方法進(jìn)行介紹：

步驟1：設(shè)m=1，M是給定的正整數(shù)。

步驟2：隨機(jī)生成n個(gè)實(shí)數(shù)wim，i=1,2,…,n。

步驟4：如果m>M，則繼續(xù)；若m≤M，令m=m+1，返回步驟2。

(2)模糊模擬計(jì)算期望值。模糊變量的期望值可由模糊期望的定義式進(jìn)行模糊模擬求得，即：

步驟1：令e1=0、e2=0、j=0、h=M/N，其中M是一個(gè)充分大的非負(fù)實(shí)數(shù)，N是一個(gè)充分大的正整數(shù)。

步驟2：把[0,M]和[-M,0]分別劃分成N個(gè)區(qū)間[zj,zj+1]和[zj',zj+1']，其中zj=jh、z'j=-M+jh、j=0，1,…,N-1。

步驟4：如果j=N，該過程結(jié)束，返回e1-e2的值，即為模糊期望值；若j

(3)模糊模擬計(jì)算VaR風(fēng)險(xiǎn)測度。當(dāng)不等式Cr{∑xiξi≤r}≥α?xí)r，所求得的最小r值，即為模糊VaR風(fēng)險(xiǎn)測度，先令：

步驟1：設(shè)k=1，同時(shí)設(shè)定一個(gè)充分大的正整數(shù)N。

步驟2：隨機(jī)生成n個(gè)實(shí)數(shù)wim，i=1,2,…,n。

步驟4：如果k>K，則繼續(xù)；若k≤K，令k=k+1，返回步驟2。

步驟5：尋找滿足L(r)≥α的最小的r值。

步驟6：返回r。

(4)模糊模擬計(jì)算CVaR風(fēng)險(xiǎn)測度。基于模糊VaR風(fēng)險(xiǎn)測度的模糊模擬步驟，可得到模糊CVaR風(fēng)險(xiǎn)測度的模糊模擬的具體算法：

步驟1：置e=0。

步驟3：找到滿足L(ri)≥αi的最小值ri。

步驟4：置e=e+riαi。

步驟5：重復(fù)執(zhí)行上述步驟2～5，共執(zhí)行N次。

2.遺傳算法

遺傳算法借鑒了生物界的進(jìn)化規(guī)律，對自然化過程進(jìn)行一系列模擬，從而達(dá)到找到最優(yōu)解的目的，這種方法能夠有效解決復(fù)雜的全局優(yōu)化問題。此外，對于所要優(yōu)化的問題來說，遺傳算法對數(shù)學(xué)性質(zhì)的限制和要求較少，這都使得遺傳算法具備極強(qiáng)的適應(yīng)性。使用遺傳算法求解優(yōu)化問題一般需要通過以下幾個(gè)操作步驟來完成：染色體的表示結(jié)構(gòu)、處理約束條件、初始化過程、評價(jià)函數(shù)、選擇、交叉和變異等。

處理約束條件：檢驗(yàn)所生成染色體是否符合模型中約束函數(shù)的條件，若符合則保留，否則重新生成。

初始化過程：對隨機(jī)生成的染色體進(jìn)行約束判定，符合則保留并繼續(xù)產(chǎn)生下一條染色體，否則再隨機(jī)選擇，直到產(chǎn)生事先設(shè)定的初始種群數(shù)pop-size。

交叉和變異操作：對染色體進(jìn)行交叉和變異操作，目的是對父代染色體進(jìn)行更新替代，從而生成更優(yōu)的染色體組合。

3.混合智能算法

步驟1：隨機(jī)產(chǎn)生pop-size個(gè)染色體，通過模糊模擬方法對所生成的染色體進(jìn)行判定，直到生成pop-size個(gè)符合條件的染色體。

步驟2：通過模糊模擬的方法，對步驟1中最終產(chǎn)生的染色體進(jìn)行求解，分別求得每個(gè)染色體的目標(biāo)函數(shù)值，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果對染色體進(jìn)行排序。

步驟3：根據(jù)給定的評價(jià)函數(shù)，計(jì)算出每個(gè)染色體的適應(yīng)度。

步驟4：通過輪盤賭輪技術(shù)對染色體進(jìn)行選擇。

步驟5：通過交叉和變異操作，對父代染色體進(jìn)行更新?lián)Q代，以獲得新的可行染色體。

步驟6：重復(fù)步驟2～5，直到定義的次數(shù)為止。

步驟7：基于上述過程返回最優(yōu)解。

四、基于馬爾可夫過程的模糊收益率預(yù)測方法

考慮到證券市場的特點(diǎn)以及馬爾可夫過程的特性，可以將證券市場不同期限的收益率看作是一個(gè)馬爾可夫鏈，因此可以采用馬爾可夫過程預(yù)測資產(chǎn)收益率。同時(shí)，由于證券市場的模糊不確定性的存在，將資產(chǎn)收益率描述為模糊變量，并用三角模糊集來刻畫，具體預(yù)測方法如下：

步驟1：計(jì)算資產(chǎn)的歷史收益率。根據(jù)歷史交易數(shù)據(jù)中資產(chǎn)的開盤價(jià)、最低價(jià)、最高價(jià)和收盤價(jià)，計(jì)算出第i支股票在第t時(shí)刻最高價(jià)、最低價(jià)和收盤價(jià)的收益率的值，具體計(jì)算方法為：

根據(jù)上述公式顯然可得到rit高≥rit收≥rit低。

步驟2：將歷史收益率數(shù)據(jù)ritk(其中k=高、收、低)的取值區(qū)間作為收益率的分布狀況，分別計(jì)算出第i支股票最高價(jià)、最低價(jià)和收盤價(jià)收益率在全部時(shí)刻的最大值、最小值，并將其分別定義為取值區(qū)間的上限和下限，根據(jù)上下界限將其等分為N個(gè)區(qū)間，記為狀態(tài)1至狀態(tài)N。

步驟4：建立線性方程組。求得證券投資收益率處于狀態(tài)區(qū)間1,2,…,N的概率：

設(shè)上述方程組的唯一解為：

從而求得證券投資收益率處于區(qū)間1,2,…,N的概率分別為P1,P2,…,PN。

五、實(shí)證分析

(一)樣本選擇與參數(shù)設(shè)定

本文選取上證50指數(shù)所包含的50支成份股2013年1月1日至2015年1月16日的歷史交易日度數(shù)據(jù)(所選數(shù)據(jù)均來自于國泰安數(shù)據(jù)庫)，并基于可信性理論的Mean-CVaR投資組合模型(1)進(jìn)行實(shí)證分析。首先對該模型構(gòu)建其求解過程中所涉及的參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，見表1。

表1 參數(shù)設(shè)置表

其中區(qū)間數(shù)N表示將收益率的狀態(tài)空間數(shù)量設(shè)置為3；最低收益率是50支股票期望收益率的平均值，表示的是模型(1)中的r值。此外，可以看到最低收益率的值為負(fù)數(shù)，在實(shí)際的投資過程中應(yīng)該考慮更高的期望下限，但本文在研究的過程中完全從歷史數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，意在考察依照歷史數(shù)據(jù)通過該模型進(jìn)行投資的效果；表1中其他參數(shù)為混合智能算法求解過程中的相應(yīng)數(shù)值。

(二)Mean-CVaR投資組合模型的靜態(tài)實(shí)證

選取2013年1月1日到2014年12月31日的歷史交易數(shù)據(jù)，通過C程序運(yùn)用Markov過程預(yù)測出2015年1月5日全部50支股票的三角模糊收益率，具體結(jié)果見表2。

將得到的三角模糊收益率作為輸入變量輸入到Mean-CVaR投資組合模型中，

通過C程序運(yùn)行混 表2 三角模糊收益率預(yù)測值及最優(yōu)投資比例表

合智能算法的求解過程，最終得到最優(yōu)的投資組合比例，所得結(jié)果同見表2。

通過上述結(jié)果，可以得到下一期的預(yù)期投資組合收益率為3.5%。

(三)Mean-CVaR投資組合模型的動(dòng)態(tài)實(shí)證

為了驗(yàn)證Mean-CVaR投資組合模型在中國證券市場的適應(yīng)性，選取2013年1月1日到2015年1月16日的歷史交易數(shù)據(jù)，按照上述過程計(jì)算出連續(xù)10個(gè)交易日的預(yù)期投資組合收益率，并將得到的預(yù)期投資組合收益率與上證50指數(shù)的實(shí)際收益率值進(jìn)行對比，具體結(jié)果見表3。

表3 投資組合與上證50指數(shù)收益率表

根據(jù)表3的計(jì)算結(jié)果，基于可信性理論構(gòu)建的Mean-CVaR投資組合模型得到的投資組合收益率有7天要高于上證50指數(shù)的實(shí)際收益率，說明在中國證券市場環(huán)境下該模型的應(yīng)用具有較強(qiáng)的實(shí)用性和有效性，該方法能夠?yàn)橥顿Y者提供適應(yīng)市場環(huán)境的投資策略。

六、總 結(jié)

本文綜合考慮投資者對于風(fēng)險(xiǎn)和收益的雙重需求，構(gòu)建了基于可信性理論Mean-CVaR投資組合模型，并從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)方面對投資組合模型進(jìn)行了實(shí)證分析，結(jié)果表明該模型在中國證券市場環(huán)境下的應(yīng)用具有較強(qiáng)的實(shí)用性，能夠?yàn)橥顿Y者提供有效的投資策略，是投資組合理論在中國證券市場應(yīng)用的一次有益嘗試。

[1] Markowitz H. Portfolio Selection [J].Journal of Finance,1952,7(1).

[2] Bawa T S. Optimal Rules for Ordering Uncertain Prospects[J]. Journal of Financial Economics,1975(10).

[3] Konno H. Piecewise Linear Risk Function and Portfolio Optimization[J]. Journal of the Operations Research Society of Japan,1990,133(2).

[4] Rockafellar R T， Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk[J]. Journal of Risk,2000(2).

[5] Tanaka H,Guo P,Turksen I B.Portfolio Selection Based on Fuzzy Probabilities and Possibility Distributions[J]. Fuzzy Sets and Systems . 2000(111).

[6] Huang X X. Fuzzy Chance-Constrained Portfolio Selection[J]. Applied Mathematics and Computation,2006(177).

[7] Qin Z, Li X , Ji X. Portfolio Selection Based on Fuzzy Cross-entropy[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,2009,228(1).

[8] 牛昂.銀行風(fēng)險(xiǎn)管理的新方法[J].國際金融研究,1997(4).

[9] 姚剛.風(fēng)險(xiǎn)值測定法淺析[J].經(jīng)濟(jì)科學(xué),1998(1).

[10]榮喜民,武丹丹,張奎廷.基于均值-VaR的投資組合優(yōu)化[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2005(5).

[11]林旭東,鞏前錦.正態(tài)條件下均值-CVaR有效前沿的研究[J].管理科學(xué),2004(3).

[12]莊新路,莊新田,黃小原.基于VaR風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的投資組合模糊優(yōu)化[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2003(3).

[13]高振斌.基于可能度的模糊證券投資組合優(yōu)化模型[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2015(5).

(責(zé)任編輯：郭詩夢)

感謝審稿專家

尊敬的審稿專家:

各位好！

一份好的學(xué)術(shù)期刊是主辦單位、編委、審稿專家、編輯、作者、讀者精誠合作、齊心協(xié)力、共同努力的結(jié)晶。學(xué)術(shù)質(zhì)量與水平是期刊的生命之根，質(zhì)量的好壞、水平的高低，關(guān)鍵在于審稿專家的工作質(zhì)量。長期以來，你們以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和無私的奉獻(xiàn)精神，為《統(tǒng)計(jì)與信息論壇》鼓實(shí)勁、出實(shí)力，默默付出了許多心血和勞動(dòng)，為《統(tǒng)計(jì)與信息論壇》的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。因?yàn)橛心銈儽ｑ{護(hù)航，《統(tǒng)計(jì)與信息論壇》由無名小草成長為參天大樹，躋身于中國優(yōu)秀學(xué)術(shù)期刊行列。在此，向各位專家表示崇高的敬意和衷心的感謝！

秋葉落去，春芽復(fù)生，新的年輪又將啟動(dòng)。恭祝各位審稿專家在新的一年里身體健康，工作順利，闔家幸福！新的一年里，在你們的繼續(xù)幫助支持下，我們將更加努力，不斷提高期刊學(xué)術(shù)水平和服務(wù)質(zhì)量，把《統(tǒng)計(jì)與信息論壇》辦得更好，為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展做出更大貢獻(xiàn)。

《統(tǒng)計(jì)與信息論壇》編輯部

Portfolio Optimization of Mean-CVaR Based on Credibility Theory

LI Miao1，HU Yong-hong2

(1.Dongcheng Branch, Beijing Administration for Industry and Commerce,Beijing 100007, China;2.School of Statistics and Mathematics, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081, China)

Constructing Mean-CVaR portfolio model based on credibility theory, the CVaR is chosen as the risk measurement index and according to the Markov process to predict fuzzy profit rate and designed a hybrid intelligent algorithm based on fuzzy simulation and genetic algorithm to solve. It makes the model to apply to the stock market in China selected SSE 50 constituent stocks of 2013-2014 years of historical transaction data. The result shows that the model of portfolio investment has certain adaptability with the stock market in China and can provide the basis for the investment decisions of investors.

credibility theory；Mean-CVaR；hybrid intelligent algorithm

2016-08-18；修復(fù)日期：2016-10-15

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目《穩(wěn)健投資組合選擇的并行最優(yōu)化算法研究與實(shí)現(xiàn)》(61272193)

李 淼，女，遼寧錦州人，經(jīng)濟(jì)學(xué)碩士，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)分析； 胡永宏，男，陜西韓城人，管理學(xué)博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融計(jì)量分析，綜合評價(jià)方法與應(yīng)用。

F830.9∶O211.62

A

1007-3116(2016)12-0023-07