基于M-Copula函數(shù)的國債期貨合約尾部相關(guān)性研究

楊寶臣，張德鴻

（天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

基于M-Copula函數(shù)的國債期貨合約尾部相關(guān)性研究

楊寶臣，張德鴻

（天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

文章以混合Copula函數(shù)對三類Archimedean族Copula函數(shù)進(jìn)行整合，研究了我國5年期跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅之間的尾部相關(guān)關(guān)系，利用慣性權(quán)重粒子群算法對混合Copula函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并比較了混合Copula函數(shù)與傳統(tǒng)Copula函數(shù)對跨期國債期貨合約尾部相關(guān)性的擬合能力。研究結(jié)果表明：基于慣性權(quán)重粒子群算法的混合Copula函數(shù)較好地刻畫了跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅尾部非線性、非對稱的相關(guān)特征，根據(jù)對該特征的把握可以構(gòu)建能夠產(chǎn)生超額收益的交易策略。

尾部相關(guān)性；M-Copula；粒子群；國債期貨

0 引言

隨著中國利率市場化進(jìn)程的推進(jìn)，復(fù)雜的世界經(jīng)濟(jì)環(huán)境進(jìn)一步加劇了利率波動的風(fēng)險，我國不斷推出各種金融工具以解決這一過程中所產(chǎn)生的利率風(fēng)險敞口。在這一背景下產(chǎn)生的國債期貨是我國利率市場化過程中的重要環(huán)節(jié)和整個體系的重要組成部分。目前我國金融市場內(nèi)生的調(diào)節(jié)機(jī)制已逐步完善，并擺脫了弱式有效階段，但由于市場起步較晚，仍未能完全轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€強(qiáng)式有效的市場，存在獲取超額收益的空間，而通過金融資產(chǎn)間的相關(guān)性獲取超額收益是一種較為常見的方式，根據(jù)相關(guān)性構(gòu)建盈利規(guī)則獲取超額收益的前提是找到一種合適的方法測度金融資產(chǎn)之間的相關(guān)關(guān)系。

本文采用帶慣性權(quán)重的粒子群算法對混合Copula模型的權(quán)重參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化（SAPSO-M-Copula），通過多次迭代，該算法可將混合Copula函數(shù)的權(quán)重參數(shù)調(diào)整到最佳的區(qū)間，以此達(dá)到更準(zhǔn)確的擬合效果并刻畫出跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅間的尾部相關(guān)關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的相關(guān)性構(gòu)建交易規(guī)則并據(jù)此取得超額收益。首先，該模型通過Copula函數(shù)有效識別跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅間的尾部相關(guān)性，不存在傳統(tǒng)相關(guān)性測度中無法擬合尖峰厚尾分布的弊端；其次，該模型通過帶慣性權(quán)重的粒子群算法對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，改進(jìn)了人為分配各類傳統(tǒng)Copula函數(shù)所占權(quán)重參數(shù)的不足。利用該交易規(guī)則測算我國5年期跨期國債期貨TF00、TF01、TF02合約結(jié)算價日漲跌幅間的尾部相關(guān)性，并采用TF00與TF01合約為例進(jìn)行模擬交易，在0.15%的交易分位點上可獲得98.56%～161.92%超額收益。

1 模型理論基礎(chǔ)

1.1 Copula函數(shù)

Sklar（1959）[1]建立了基本的Copula理論，通過對多個變量的聯(lián)合分布進(jìn)行拆分，可以得到多個邊緣分布和一個用來描述這些變量間關(guān)聯(lián)關(guān)系的函數(shù)，這一函數(shù)即被稱作Copula函數(shù)。采用Copula函數(shù)可較為便捷的對尖峰厚尾特征進(jìn)行處理。韋艷華和張世英（2004）[2]提出使用Copula函數(shù)得出的連續(xù)性和關(guān)聯(lián)性測度可以更加便捷的捕捉金融資產(chǎn)間的相關(guān)關(guān)系，且采用不同的Copula函數(shù)在進(jìn)行相關(guān)關(guān)系測度時可以產(chǎn)生不同的側(cè)重效果。隨著數(shù)據(jù)處理能力的提升，以Leitner（2005）[3]為代表的學(xué)者開始運用計算機(jī)技術(shù)，將Copula函數(shù)能夠描述相依結(jié)構(gòu)的性質(zhì)引入金融市場的分析中。

混合Copula函數(shù)的概念是由Hu L（2002）[4]在其博士論文中首次提出的（后文中記為M-Copula函數(shù)），旨在通過對幾種Copula函數(shù)的取長補(bǔ)短來達(dá)到最優(yōu)的擬合效果。目前在構(gòu)造M-Copula函數(shù)中最為常用的是Archimedean族中的三類Copula函數(shù)，分別為Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)。由于這三種函數(shù)分別對不同的尾部特征具有出色的描述能力，若僅選取Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)中的一個就只能反映金融資產(chǎn)的某一部分特性，無法全面描述金融資產(chǎn)間的相關(guān)性，因此將這三個用來描述相關(guān)性的Copula函數(shù)進(jìn)行整合并構(gòu)建一個M-Copula函數(shù)，函數(shù)的表達(dá)式為：

其中wG、wCl、wF分別表示Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)與Frank Copula函數(shù)在M-Copula函數(shù)中所占的權(quán)重，根據(jù)其包含的三種Copula函數(shù)分布函數(shù)及密度函數(shù)可以確定，M-Copula函數(shù)的權(quán)重參數(shù)為(wG,wCl,wF)，相關(guān)參數(shù)為（θ，α，λ）。后續(xù)工作中的關(guān)鍵便是估計M-Copula函數(shù)中設(shè)定的參數(shù)，多位學(xué)者提出通過構(gòu)建M-Copula模型表示金融產(chǎn)品間的相關(guān)關(guān)系，但均人為設(shè)定權(quán)重，無法將擬合程度提升到最優(yōu)。吳吉林和孟紋羽（2014）[5]提出可假設(shè)參數(shù)為時間的函數(shù)，并運用局部極大似然估計法估計權(quán)重系數(shù)和相依參數(shù)，雖通過蒙特卡洛模擬證明了較好的擬合效果，但對模型經(jīng)濟(jì)意義的解釋較為困難。

1.2 帶慣性權(quán)重的粒子群算法原理

Kennedy和Eberhart(1995)[6]提出了粒子群優(yōu)化算法，它是一種基于群體的具有全局尋優(yōu)能力的優(yōu)化工具。其基本思想如下：

將優(yōu)化對象的解抽象為N維空間中的微粒i，其位置和速度均以矢量表示為：

將多次迭代中的t時刻微粒的最佳位置Pbest以及種群最佳位置gbest通過式（3）、式（4）進(jìn)行更新，其中C1，C2為學(xué)習(xí)因子，r1，r2為取值在[0 ，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)。

但該算法缺乏有效的約束與控制，無法平衡局部搜索與全局最優(yōu)，Shi Y（1998）[7]提出利用慣性權(quán)重因子進(jìn)行優(yōu)化的改進(jìn)型粒子群算法，通過慣性權(quán)重ω的使用，調(diào)整了模型的搜索能力。張項學(xué)等（2008）[8]在此基礎(chǔ)上發(fā)展出逐步調(diào)整慣性權(quán)重的自適應(yīng)粒子群算法，并與已有的4種算法進(jìn)行比較，證明該算法提升了運算的結(jié)果和效率。采用慣性權(quán)重粒子群算法對M-copula模型中的權(quán)重值進(jìn)行優(yōu)化，可以在保證效率的前提下得到更具擬合性的結(jié)果。

2 基于我國跨期國債期貨合約的實證檢驗

2.1SAPSO-M-Copula模型的建立

利用SAPSO方法對M-Copula函數(shù)構(gòu)建過程中關(guān)鍵權(quán)重的選取進(jìn)行優(yōu)化，鑒于M-Copula中包括wG，wCl，wF三個權(quán)重值，且滿足wG+wCl+wF=1，則將wG，wCl視為待優(yōu)化變量，算法過程如下：（1）初始化粒子的速度和位置；（2）計算粒子適應(yīng)性；（3）計算個體最優(yōu)；（4）計算全局最優(yōu)；（5）根據(jù)動態(tài)慣性權(quán)重對粒子速度與位置進(jìn)行更新；（6）判斷是否滿足判定條件，如果滿足則輸出結(jié)果，不滿足則返回步驟（2）進(jìn)行迭代。

2.2 國債期貨合約數(shù)據(jù)處理與描述性統(tǒng)計分析

實證分析的樣本選取我國5年期國債期貨TF00、TF01、TF02合約每日結(jié)算價漲跌幅ri，時間跨度從2013年9月6日至2015年6月12日，包含了已完成交割的全部七期國債期貨合約數(shù)據(jù)共429組，數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫。

為確保數(shù)據(jù)特征與模型相適應(yīng)，首先對取得的429組數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計，由單位根檢驗結(jié)果可知，合約的日漲跌幅數(shù)據(jù)平穩(wěn)，無需進(jìn)行差分處理，通過偏度和峰度數(shù)據(jù)可初步判斷出三類合約日漲跌幅數(shù)據(jù)均不服從正態(tài)分布假設(shè)，除K-S檢驗取得的P值略大外，J-B檢驗與Lillie檢驗均證明變量不服從正態(tài)分布，而服從尖峰厚尾分布，這種分布類型適合采用Copula函數(shù)進(jìn)行描述。通過調(diào)整三類Copula函數(shù)所占權(quán)重可以進(jìn)一步增強(qiáng)模型刻畫總體數(shù)據(jù)的能力。

表1 TF00、TF01、TF02合約日漲跌幅數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計

對尾部相關(guān)性的簡單分析可通過設(shè)置漲跌幅閾值的方式完成，由于國債期貨合約的日漲跌幅限制為1.5%，故根據(jù)經(jīng)驗將測度間隔設(shè)置為0.15%，測試了結(jié)算價漲跌幅絕對值變動0.3%、0.45%、0.6%、0.75%和0.9%五種情況下的三類合約相互間影響的條件概率。逐組測算后，0.3%至0.45%水平的合約結(jié)算價變動對其他合約產(chǎn)生明確且穩(wěn)定的影響。

2.3 M-Copula參數(shù)估計及檢驗

對M-Copula中三類Archimedean族函數(shù)的權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化，初始值中的微粒數(shù)取40，將學(xué)習(xí)因子設(shè)定為2，權(quán)重值得區(qū)間選取為0.4～0.9，迭代次數(shù)設(shè)定為20次，三類合約兩兩配對檢驗。三組國債期貨合約在第10次迭代后參數(shù)均已趨于收斂，故該方法是合理且適用的。

表2 Copula參數(shù)估計結(jié)果

表2中顯示了三組國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅分別使用 Gumbel-Copula函數(shù)、Clayton-Copula函數(shù)、Frank-Copula函數(shù)和M-Copula函數(shù)后得到的測算結(jié)果，可以看出TF00合約與TF01合約結(jié)算價日漲跌幅之間的尾部相關(guān)關(guān)系最強(qiáng)，而TF00合約與TF02合約結(jié)算價日漲跌幅之間的尾部相關(guān)關(guān)系最弱。參考M-Copula函數(shù)中各組成部分的權(quán)重值，可認(rèn)為在表示各組合約的關(guān)聯(lián)性信息時，上尾部及下尾部相關(guān)性在整體相關(guān)關(guān)系中占比較大，且Gumbel-Copula函數(shù)所占比重始終最大。以TF01合約與TF02合約結(jié)算價日漲跌幅構(gòu)成的M-Copula函數(shù)為例，Gumbel-Copula函數(shù)的權(quán)重為0.97，遠(yuǎn)高于另外兩類Copula函數(shù)，故可判定跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅間的上尾部相關(guān)關(guān)系最為明顯。

通過表3中對平方歐氏距離的對比，可明顯揭示出采用M-Copula函數(shù)擬合產(chǎn)生的模型與實際數(shù)據(jù)間的偏差小于采用 Gumbel-Copula函數(shù)、Clayton-Copula函數(shù)與Frank-Copula函數(shù)擬合產(chǎn)生的模型與實際數(shù)據(jù)間的偏差，這說明采用M-Copula模型能夠更準(zhǔn)確地刻畫跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅之間的尾部相關(guān)性。

表3 M-Copula函數(shù)與三類傳統(tǒng)Copula函數(shù)擬合模型的擬合能力對比

為使上述結(jié)果更具說服力，選擇各組合約中相關(guān)性相對最高的TF00—TF01合約組合分階段進(jìn)行實證檢驗，各時間段以合約交割時點劃分，將2013年9月6日至2015年6月12日中的合約結(jié)算價變動情況劃分為七個時間段，分階段進(jìn)行對比，所得結(jié)果如表4所示，可以看出在任何一段時間內(nèi)，采用M-Copula函數(shù)均能取得優(yōu)于另外三種Archimedean族Copula函數(shù)的擬合結(jié)果，充分證明該優(yōu)化方式在傳統(tǒng)測度方法上有較大提高。

表4 分時間段的M-Copula函數(shù)與三類傳統(tǒng)Copula函數(shù)擬合情況對比

檢驗值在2013年9月至2015年6月期間的變動可能受各種外部宏觀經(jīng)濟(jì)和政策因素影響，如自2014年1月2日起中金所對國債期貨合約交易保證金進(jìn)行調(diào)整，隨著交割月份的臨近，保證金比例逐漸由占合約價值比重的2%升至5%。調(diào)高保證金比例意味著大量投機(jī)交易會影響市場的穩(wěn)定性，需要進(jìn)行適度的限制，但自2014年6月份開始，檢驗值出現(xiàn)明顯上升，中金所分別于2014年11月3日及2015年3月16日下調(diào)保證金比例，最終將保證金標(biāo)準(zhǔn)定為合約價值的1.2%至2.0%。上述一系列做法逐步增加了國債期貨合約的流動性，提升了市場的健康度。

2.4 尾部超額收益的測算

在超額收益估算過程中，需要設(shè)定模型的尾部指數(shù)α值，根據(jù)Hill估計法，可以通過式（5）進(jìn)行估計：

其中X1，N≥X2，N≥…≥XN，N，表示的是變量X的N個獨立樣本的順序統(tǒng)計量（這些樣本具有相同的分布情況），在一定的正則條件下，Hill估計的表現(xiàn)完全依賴于u的選擇，應(yīng)通過對偏差與方差的權(quán)衡決定u值的選取。根據(jù)中外學(xué)者的相關(guān)研究經(jīng)驗可以發(fā)現(xiàn)，在股票市場中，用來估計價格變動的α的數(shù)據(jù)大致落在樣本的上下1%～5%的分位點區(qū)間內(nèi)，參考股票市場與國債期貨市場之間的價格波動特征，可將國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅的α值限制在0.15%～0.75%之間，據(jù)此，分別在0.15%、0.30%、0.45%、0.60%、0.75%這五個分位點上計算利用尾部相關(guān)性產(chǎn)生的獲利能力。由于按照該規(guī)則所選取的數(shù)據(jù)量較小，可以認(rèn)為這些樣本點的剔除對跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅的尾部相關(guān)系數(shù)估計影響極小，檢驗可以看作是樣本外的。

后續(xù)檢驗以TF00合約與TF01合約為例，測算TF00合約出現(xiàn)極端值條件下，對TF01合約進(jìn)行交易的獲利情況，信息傳遞時間窗口取1天，假設(shè)持有1天后平倉交割。國債期貨合約交易手續(xù)費為5元/手，手續(xù)費雙邊收取，這一段時期若單純持有TF01合約作為標(biāo)的資產(chǎn)，所得到的收益率為1.85%，以此為基準(zhǔn)并扣除交易手續(xù)費可以得到如下收益情況（見表5）。

表5 模型收益情況分析

由表5中的數(shù)據(jù)可以看出，采取的交易策略為根據(jù)TF00合約結(jié)算價變動幅度對TF01合約進(jìn)行買入賣出交易，隨著交易條件趨于嚴(yán)格，雖然單次交易所獲收益呈現(xiàn)波動上升趨勢，但由于可進(jìn)行交易的次數(shù)大幅度下降，策略所取得年化的收益率呈波動下降趨勢。已通過M-Copula函數(shù)檢測到TF00合約與TF01合約間的上尾部相關(guān)性更為明顯，故TF01合約隨TF00合約的調(diào)整更為準(zhǔn)確和高效，在一定滯后期后進(jìn)行交易并產(chǎn)生超額收益的機(jī)會較少，表5中呈現(xiàn)出的收益情況也顯示根據(jù)國債期貨合約上尾部相關(guān)關(guān)系進(jìn)行交易得到的收益率較根據(jù)下尾部相關(guān)關(guān)系進(jìn)行交易低。總體而言，我國跨期國債期貨合約間存在較為明顯的尾部相關(guān)關(guān)系，可據(jù)此建立交易策略獲取超額收益。

3 結(jié)論

我國跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅之間存在較明顯的尾部相關(guān)關(guān)系，使用M-Copula函數(shù)能夠量化國債期貨合約的上、下尾部相關(guān)性，利用結(jié)合了慣性權(quán)重優(yōu)化方式的粒子群算法提升了M-Copula函數(shù)權(quán)重值的測度方法，在采用TF00、TF01、TF02合約2013年9月6日至2015年6月12日結(jié)算價日漲跌幅數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證檢驗后，得出各組跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅之間均存在明顯的尾部相關(guān)性，且上尾部相關(guān)性更為明顯的結(jié)論。無論是在不同組合約間，還是在同一組合約的不同取值區(qū)間內(nèi)，采用慣性粒子群算法對權(quán)重值進(jìn)行優(yōu)化后的M-Copula函數(shù)都能夠與觀測值產(chǎn)生優(yōu)于傳統(tǒng)Copula函數(shù)的擬合效果，從而更為準(zhǔn)確地描述跨期國債期貨合約結(jié)算價漲跌幅間的尾部相關(guān)性特征，基于該研究方法能夠更加高效的跟蹤國債期貨合約結(jié)算價變動的相互影響關(guān)系并有助于建立適當(dāng)?shù)慕灰撞呗砸垣@取超額收益，通過進(jìn)一步分析可以得出我國國債期貨市場目前存在的漏洞并完善國債期貨市場規(guī)則。

雖然改進(jìn)粒子群算法能夠提高利用M-Copula函數(shù)估計跨期國債期貨合約結(jié)算價日漲跌幅尾部相關(guān)性的擬合度，但計算過程較為復(fù)雜且耗時，無法為程序化交易提供足夠參考，且對不同組國債期貨合約估計產(chǎn)生的權(quán)重參數(shù)值相差較大，說明該測度方法及交易策略仍存在一定缺陷，需通過后續(xù)的研究進(jìn)一步完善。

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（責(zé)任編輯/劉柳青）

F832.5；O211.3

A

1002-6487（2016）23-0141-03

國家自然科學(xué)基金資助項目（71471129；71171144）

楊寶臣（1966—），男，河北唐山人，博士，教授，研究方向：金融工程、技術(shù)經(jīng)濟(jì)理論與方法。

張德鴻（1990—），男，天津人，碩士研究生，研究方向：金融工程、技術(shù)經(jīng)濟(jì)理論與方法。