混合理性行為下動(dòng)態(tài)古諾博弈模型的演化

甄 燁，王文利

（1.太原科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，太原030024；2.山西師范大學(xué)戲劇與影視學(xué)院，山西 臨汾041004；3.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200030）

混合理性行為下動(dòng)態(tài)古諾博弈模型的演化

甄 燁1，2，王文利1，3

（1.太原科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，太原030024；2.山西師范大學(xué)戲劇與影視學(xué)院，山西 臨汾041004；3.上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200030）

現(xiàn)實(shí)中大多企業(yè)都是有限理性的，但是有限理性的企業(yè)能夠通過(guò)支付一定的信息成本，使自己成為完全理性的。文章研究了混合理性行為下動(dòng)態(tài)古諾模型的演化，給出了理性行為決策和產(chǎn)量決策的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程組，求得了模型的均衡解并對(duì)其進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。結(jié)果表明：在混合理性行為下，博弈雙方通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，會(huì)得到與完全理性行為下靜態(tài)古諾模型一致的穩(wěn)定解。

古諾模型；混合理性；穩(wěn)定性；復(fù)制動(dòng)態(tài)方程；演化

0 引言

古諾模型是博弈論中的經(jīng)典模型，用以考察一個(gè)行業(yè)中僅有兩個(gè)生產(chǎn)企業(yè)的雙寡頭壟斷情況下，生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)量決策問(wèn)題。基于不同前提假設(shè)，古諾模型也得到了不斷的修正和發(fā)展。如將兩個(gè)企業(yè)發(fā)展到多個(gè)企業(yè)[1]，需求由線性發(fā)展到非線性[2]，邊際成本由相同、不變發(fā)展為不同、動(dòng)態(tài)變化[3]等。這些模型都是以博弈方具有完全理性為基礎(chǔ)的，即博弈方在追求最大利益的理性意識(shí)、分析推理能力、識(shí)別判斷能力、記憶能力和準(zhǔn)確行為能力等多方面都具有完美性。但對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的決策行為者來(lái)說(shuō)完全理性是很難滿足的高要求，當(dāng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)環(huán)境和決策問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，人們的理性局限是很明顯的[4]。

近年來(lái)，關(guān)于有限理性條件下的古諾模型的研究引起了許多學(xué)者的興趣，Bischi等人研究了一個(gè)具有線性成本的有限理性的雙寡頭博弈模型[5]。Elsadany A A以及姚洪興和張芳研究了一個(gè)具有時(shí)滯效應(yīng)的有限理性雙寡頭博弈模型[6，7]。Agiza等研究了具有非線性成本的有限理性多寡頭博弈模型[8]，后又研究了雙寡頭博弈模型中的復(fù)雜動(dòng)態(tài)性和同步現(xiàn)象[9]。陳曙和姚洪興研究了非線性需求下有限理性的多組動(dòng)態(tài)古諾模型[10]。易余胤等研究了不同行為規(guī)則下雙寡頭博弈模型的分叉和混沌現(xiàn)象[11]。于維生和于羽研究了有限理性下伯川德模型及其穩(wěn)定性問(wèn)題[12]。在有限理性博弈中，假設(shè)博弈方掌握的信息是不完全的，或具備的能力是不完美的，這一假設(shè)符合現(xiàn)實(shí)情況。但現(xiàn)實(shí)中企業(yè)可以通過(guò)付出一定的成本獲取不完全的信息，或聘請(qǐng)有預(yù)見分析能力的中介機(jī)構(gòu)來(lái)完成最優(yōu)策略的選擇。企業(yè)在博弈之前，首先要選擇執(zhí)行有限理性行為還是完全理性行為，然后再執(zhí)行產(chǎn)量決策。我們把這種古諾模型稱為混合理性行為下的動(dòng)態(tài)古諾博弈模型，本文主要討論這種模型的均衡解及解的穩(wěn)定性，并比較它和一般古諾模型的區(qū)別。

1 非混合理性行為下的古諾模型

1.1 完全理性行為下古諾模型的均衡解

設(shè)市場(chǎng)上有兩家企業(yè)生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，企業(yè)i的產(chǎn)量為qi(i=1，2)；市場(chǎng)出清價(jià)格（可以將產(chǎn)品全部賣出去的價(jià)格）是由雙方的產(chǎn)量決定的一個(gè)線性逆需求函數(shù)p=a-qi-qj(i，j=1，2，i≠j)，其中a為常數(shù)，企業(yè)的單位成本為c(0＜c＜a)。企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)為:

令?πi/?qi=0，即可得一個(gè)企業(yè)對(duì)另一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)：

求解式（2），得：

因此完全理性條件下，策略組合[(a-c)/3，(a-c)/3]是古諾博弈唯一的納什均衡。

1.2 有限理性行為下古諾模型的動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制

上述古諾模型中，假設(shè)博弈雙方是完全理性的，即企業(yè)知道對(duì)手企業(yè)的利潤(rùn)、反應(yīng)函數(shù)，且有預(yù)見能力；企業(yè)也知道對(duì)手企業(yè)知道自己的利潤(rùn)、反應(yīng)函數(shù)，且有預(yù)見能力。但現(xiàn)實(shí)中，企業(yè)往往是有限理性的，即只知道自己的利潤(rùn)、反應(yīng)函數(shù)，以及本期對(duì)手企業(yè)的產(chǎn)量決策，不知道對(duì)手企業(yè)下一期的策略。有限理性的企業(yè)在每一期根據(jù)對(duì)邊際利潤(rùn)的估計(jì)來(lái)更新他們的生產(chǎn)策略：如果本時(shí)期的邊際利潤(rùn)是正（負(fù)）的，那么企業(yè)將增加（減少）下一期的產(chǎn)量，增加（減少）的量與邊際利潤(rùn)、本期產(chǎn)量成比例，企業(yè)i下一期的產(chǎn)量可表示為：

2 混合理性行為下古諾模型的均衡解

混合理性條件下，企業(yè)既可以采取有限理性對(duì)產(chǎn)量進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，此時(shí)企業(yè)不知道對(duì)手企業(yè)會(huì)采取的策略，也可以采取完全理性進(jìn)行最優(yōu)產(chǎn)量決策，但此時(shí)企業(yè)需要付出一定的成本T(T＞0)去獲取對(duì)手企業(yè)的策略信息。假設(shè)時(shí)期t，企業(yè)采取完全理性行為的概率為pt(0≤pt≤1)，完全理性行為下企業(yè)的產(chǎn)量決策為有限理性行為下企業(yè)的產(chǎn)量決策為則采取完全理性行為的企業(yè)下一期的產(chǎn)量決策為：

求解式（5），得：

采取有限理性行為的企業(yè)在進(jìn)行下一期產(chǎn)量決策時(shí)，由于只知道本期對(duì)手企業(yè)采取完全理性行為的概率和各種理性行為下的產(chǎn)量決策，因此企業(yè)對(duì)對(duì)手企業(yè)產(chǎn)量決策的估計(jì)只能用來(lái)表示，結(jié)合式（4）和式（6），可得混合理性下選擇有限理性的動(dòng)態(tài)調(diào)整函數(shù)為：

假設(shè)博弈的時(shí)間間隔很小，即將離散動(dòng)態(tài)調(diào)整函數(shù)連續(xù)化為：

企業(yè)下一期采取何種理性行為模式，是與其本期采用的理性行為模式所獲得的收益有關(guān)，本期采用完全理性行為所獲收益和有限理性行為所獲收益分別為：

若企業(yè)采取完全理性行為獲得的收益高于企業(yè)平均收益，則企業(yè)將在下一期增加選擇完全理性行為的概率，否則將減少下一期選擇完全理性行為的概率。企業(yè)理性行為策略的選擇可用演化博弈論中的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程[13，14]表示如下：

其中，πˉt表示本期企業(yè)的平均收益。聯(lián)立式（8）和式（11）即可得混合理性行為下動(dòng)態(tài)古諾模型的非線性演化方程組，為方便起見，分別用和表示如下：

3 混合理性行為下古諾模型均衡解的穩(wěn)定性分析

定理1：對(duì)于古諾模型的均衡解[(qtB)*，pt*]，若存在q0B＜(qtB)*，使得任意q0B＜qtB＜(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＞0成立，且 存 在 q1B＞(qtB)*，使 得 任 意 (qtB)*＜qtB＜q1B，有Q(pt*，qtB)＜0成立 ；同時(shí) 存在 p0＜pt*，使得任意p0＜pt＜pt*，有P[pt，(qtB)*]＞0成立，且存在 p1＞pt*，使得任意 pt*＜pt＜p1，有 P[pt，(qtB)*]＜0成立，則均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的局部穩(wěn)定解。

證明：在(q0B，q1B)內(nèi)，對(duì)于任意偏離均衡點(diǎn)[(qtB)*，pt*]的解 (qtB，pt*)，若 qtB＜(qtB)*，因?yàn)?Q(pt*，qtB)＞0，故qtB+1=qtB+Q(pt*，qtB)＞qtB，若qtB+1=(qtB)*，則 Q(pt*，qtB+1)=0，qtB+2=qtB+1，穩(wěn)定，若qtB+1＜(qtB)*，則Q(pt*，qtB)＞0，繼續(xù)演化，直到qtB+n=(qtB)*，此時(shí)Q(pt*，qtB+n)=0，qtB+n+1= qtB+n，趨于穩(wěn)定。若 qtB＞(qtB)*，因?yàn)?Q(pt*，qtB)＜0，故qtB+1=qtB+Q(pt*，qtB)＜qtB，若qtB+1=(qtB)*，則 Q(pt*，qtB+1)=0，qtB+2=qtB+1，穩(wěn)定，若qtB+1＞(qtB)*，則Q(pt*，qtB)＜0，繼續(xù)演化，直到qB=(qB)*，此時(shí)Q(p*，qB)=0，qB=qB，t+nttt+nt+n+1t+n趨于穩(wěn)定。同理可以證明，在(p0，p1)內(nèi)，對(duì)于任意偏離均衡點(diǎn)[(qtB)*，pt*]的解[(qtB)*，pt]，經(jīng)過(guò)演化，最終會(huì)回到均衡點(diǎn)pt+n=pt*，趨于穩(wěn)定。證畢。

定理2：對(duì)于古諾模型的均衡解[(qtB)*，pt*]，若在可行解域的開區(qū)間(q0B，q1B)(p0，p1)內(nèi)，所有的 qtB＜(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＞0成立，且所有的qtB＞(qtB)*，有Q(pt*，qtB)＜0成立；同時(shí)所有的 pt＜pt*，有P(pt，(qtB)*)＞0成立，且所有的pt＞pt*，有P(pt，(qtB)*)＜0成立，則均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的全局穩(wěn)定解。

證明：同定理1的證明，將范圍從(q0B，q1B)和(p0，p1)擴(kuò)大到所有可行解域的開區(qū)間，可以證明均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型所有可行解域的開區(qū)間的局部穩(wěn)定解，又因?yàn)楫?dāng) q0B＜qtB＜(qtB)*時(shí)，Q(pt，qtB)＞0，當(dāng) (qtB)*＜qtB＜q1B時(shí)，Q(pt，qtB)＜0，當(dāng) p0＜pt＜pt*時(shí)，P(pt，qtB)＞0，當(dāng) pt*＜pt＜p1時(shí)，P(pt，qtB)＜0，故當(dāng)qtB=q0B，qtB=q1B，pt=p0，pt=p1時(shí)，一旦偏離，古諾模型都會(huì)演化到qtB=(qtB)*，pt=pt*，即均衡解[(qtB)*，pt*]為古諾模型的全局穩(wěn)定解。證畢。

用上述定理分析混合理性行為下動(dòng)態(tài)古諾模型的穩(wěn)定解，當(dāng)qtB＜0時(shí)，Q(0，qtB)＜0，故E1=[(qtB)*=0，pt*=0]不是穩(wěn)定解；當(dāng)qtB＜0時(shí)，Q(1，qtB)＜0，故E2=[(qtB)*=0，pt*=1]也不是穩(wěn)定解；當(dāng) pt＜0時(shí)，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt) (-T)＞0，且當(dāng)0＜pt＜1時(shí)，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt)(-T)＜0，同時(shí)，當(dāng)0＜qtB＜(a-c)/3時(shí)，Q(0，qtB)＞0，且當(dāng)qtB＞(a -c)/3時(shí)，Q(0，qtB)＜0，故E3=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=0]是穩(wěn)定解，且為全局穩(wěn)定解；當(dāng)0＜pt＜1時(shí)，P[pt，(a-c)/3]=pt(1-pt)(-T)＜0，故E4=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=1]不是穩(wěn)定解。圖1顯示了混合理性行為下古諾模型的復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖，圖2顯示了混合理性行為下古諾模型復(fù)制動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性，從圖中可以很清楚的看到動(dòng)態(tài)古諾模型解的演化。

圖1 古諾模型復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖

圖2 古諾模型復(fù)制動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性

通過(guò)以上分析可以知道，E3=[(qtB)*=(a-c)/3，pt*=0]為動(dòng)態(tài)古諾模型唯一的全局穩(wěn)定解，即博弈雙方都選擇有限理性行為，且最終產(chǎn)量都為(a-c)/3，這與完全理性行為下，靜態(tài)古諾模型的均衡解一致。這說(shuō)明在混合理性行為下，博弈雙方通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，最終也能達(dá)到完全理性行為下的均衡，并且此時(shí)不需要再花費(fèi)額外的成本去獲取完全理性行為所需要的完美信息。但有一點(diǎn)需要說(shuō)明，穩(wěn)定解得出的前提條件是假設(shè)T＞0，即企業(yè)獲得完美信息必須花費(fèi)一定的成本，不管成本大小如何，都能得到相同的穩(wěn)定解。

4 結(jié)論

現(xiàn)實(shí)中很多企業(yè)都是有限理性的，但是有限理性的企業(yè)能夠通過(guò)付出一定的信息成本，使自己成為完全理性的。在這種混合理性行為下，處于古諾博弈模型中的企業(yè)雙方往往需要進(jìn)行兩項(xiàng)策略選擇：理性行為決策和產(chǎn)量決策。運(yùn)用演化博弈中的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程對(duì)古諾模型中企業(yè)決策行為進(jìn)行建模，通過(guò)求均衡解及對(duì)均衡解的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)混合理性行為下，博弈雙方通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，會(huì)得到與完全理性行為下靜態(tài)古諾模型一致的穩(wěn)定解，這說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的博弈機(jī)制是有效的。本文的結(jié)論可以推廣到多企業(yè)古諾模型中，但本文沒有對(duì)博弈學(xué)習(xí)的速度進(jìn)行分析，這將是以后要研究的方向。

[1]張明善,唐小我.多個(gè)生產(chǎn)商下的動(dòng)態(tài)古諾模型分析[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2002,5(5).

[2]Naimzada A,Sbragia L.Oligopoly Games With Nonlinear Demand and Cost Functions:Two Boundedly Rational Adjustment Processes[J]. Chaos Solitons&Fractals,2006,29(3).

[3]Matsumoto A,Nonaka Y.Statistical Dynamics in a Chaotic Cournot Model With Complementary Goods[J].Journal of Economic Behavior &Organization,2006,61(4).

[4]喬根·W·威布爾.演化博弈論[M].王永欽譯.上海：三聯(lián)書店，2006.

[5]Bischi G I,Naimzada A.Global Analysis of a Dynamical Duopoly Game With Bounded Rationality[A].Advanced in Dynamical Games and Application[D].Base:l Birkhanser,1999.

[6]Elsadany A A.Dynamics of a Delayed Duopoly Game With Bounded Rationality[J].Mathematical and Computer Modelling,2010,(52).

[7]姚洪興,張芳.帶時(shí)滯的多寡頭古諾模型及其穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)工程, 2011,29(11).

[8]Agiza H N,Hegazi A S.The Dynamics of Bowley’S Model With Bounded Rationality[J].Chaos Solitons and Fractals,2001,（12）.

[9]Agiza H N,Hegazi A S，Elsadany A A.Complex Dynamics and Syn?chronization of a Duopoly Game With Bounded Rationality[J].Mathe?matics and Computers in Simulation,2002,58(2).

[10]陳曙,姚洪興.兩組動(dòng)態(tài)古諾模型的穩(wěn)定性分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策, 2008,（6）.

[11]易余胤，盛昭瀚，肖條軍.不同行為規(guī)則下的Cournot競(jìng)爭(zhēng)的演化博弈分析[J].中國(guó)管理科學(xué)，2004,12(3).

[12]于維生,于羽.基于伯川德推測(cè)變差的有限理性[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2013,（2）.

[13]Friedman D.On Economic Applications of Evolutionary Game Theo?ry[J].Journal of Evolutionary Economics,1998,(8).

[14]Hofbauer J,Sigmund K.Evolutionary Games and Population Dynam?ics[M].Cambridge：Cambridge University Press,1998.

（責(zé)任編輯/易永生）

F713

A

1002-6487（2016）23-0048-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71402112)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金資助項(xiàng)目（14YJCZH153）；山西省高校哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目（2014247）