分式布朗運(yùn)動金融模型中的參數(shù)估計

毛小麗，孔凡勝，郭精軍,b

（蘭州財經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計學(xué)院；b.甘肅經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)量分析研究中心，蘭州 730020）

分式布朗運(yùn)動金融模型中的參數(shù)估計

毛小麗a，孔凡勝a，郭精軍a,b

（蘭州財經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計學(xué)院；b.甘肅經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)量分析研究中心，蘭州 730020）

文章利用譜密度方法，分別研究金融中短期利率隨機(jī)模型和股票價格隨機(jī)模型。考慮短期利率隨機(jī)模型—分式Ornstein-Uhlenbeck過程中漂移系數(shù)的極大似然估計問題，證明估計量的無偏性和漸近正態(tài)性，并用數(shù)值模擬實(shí)驗驗證估計方法的有效性。利用股票價格隨機(jī)模型—分式幾何布朗運(yùn)動，選取平安銀行2013年1月4日到2014年7月31日收盤價格數(shù)據(jù)，借助Monte Carlo方法進(jìn)行模擬未來股票價格走勢。研究表明：將分式布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程作為股票價格模型更能反映金融市場實(shí)際情況。

分式布朗運(yùn)動；譜密度法；極大似然估計

0 引言

考慮如下第一類隨機(jī)微分方程：

由于分式布朗運(yùn)動驅(qū)動的Ornstein-Uhlenbeck（簡稱分式O-U過程）過程在物理、通信金融等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，尤其分式O-U可以作為短期利率模型，故分式O-U過程的參數(shù)估計問題引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。Sottinen等［1］研究了帶有附加分式布朗單的隨機(jī)過程的參數(shù)估計，此估計基于分式布朗運(yùn)動的Girsanor變換。同時，也可以用Euler-type方法對方程進(jìn)行離散化處理后對未知參數(shù)進(jìn)行估計。Hu等［2］用Malliavin計算，考慮了連續(xù)觀測的分式O-U過程的極小平方估計及估計值的強(qiáng)一致性等。Xiao等［3］用極小對比估計方法，研究了分式O-U過程中未知參數(shù)的估計值。在文獻(xiàn)［4，5］中用隨機(jī)游走逼近分式布朗運(yùn)動，然后用極大似然法估計漂移系數(shù)。同時，幾何布朗運(yùn)動是常見的描述股票價格未來走勢的隨機(jī)模型，該模型也是著名的Black-Scholes期權(quán)定價理論基礎(chǔ)。張金清［6］用布朗運(yùn)動模型對單風(fēng)險因子和多風(fēng)險因子進(jìn)行了研究，并且在此基礎(chǔ)上對Monte Carlo模擬法進(jìn)行了改進(jìn)與擴(kuò)展，獲得了許多有益的結(jié)論。郭精軍等［7］利用分式布朗運(yùn)動模型和Monte Carlo模擬法，以上證綜指為例對金融市場風(fēng)險進(jìn)行了度量。

但是，上述估計方法一般需要隨機(jī)分析中較為復(fù)雜和繁瑣的計算才能得到參數(shù)估計值。本文擬采用另外一種比較直觀的方法對分式高斯噪聲進(jìn)行逼近，已達(dá)到參數(shù)估計和股票價格趨勢預(yù)測的目的。因為分式布朗運(yùn)動的增量，即分式高斯噪聲是一個平穩(wěn)過程，所以可以用譜密度表示［9］的高斯過程來逼近分式高斯噪聲。受到文獻(xiàn)［6-8］的啟發(fā)，本文利用譜密度方法對分式O-U過程中的漂移系數(shù)進(jìn)行估計；進(jìn)一步利用分式幾何布朗運(yùn)動來預(yù)測股票未來價格。最后，用數(shù)值實(shí)驗分別驗證估計值與真實(shí)值的差距以及股票價格預(yù)測準(zhǔn)確程度。

1 分式布朗運(yùn)動和相關(guān)結(jié)果

一個具有平穩(wěn)增量的自相似過程WH={WH(t)，-∞＜t＜+∞}(其中Hurst參數(shù)0＜H＜1)稱之為分式布朗運(yùn)動,其均值為0,其協(xié)方差函數(shù)為：

考慮滿足下列線性積分方程的高斯過程：

平穩(wěn)離散型高斯過程X={Xn;n=0，…，N-1}可以表示為譜密度的積分形式：

這里等式表示方程兩邊有相同的分布,B1(λ)與B2(λ)是兩個相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動。

其中,ξi與ξj+1是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,且文獻(xiàn)[8]證明了:當(dāng)l→∞，在L2下收斂于Xn。這里用代替ΔWH,仍然保持了最初過程的一些性質(zhì):自相似性、長相依性。

2 基于譜密度法的分式O-U過程參數(shù)估計

2.1 極大似然估計

利用文獻(xiàn)[8]中的方法,現(xiàn)在通過極大似然法估計式(4)中的漂移系數(shù)θ,從i=0到i=j-1,對式(4)求和,有：

其中,B=( )

bk，l1≤k，l≤j是有下列元素的矩陣：(T表示轉(zhuǎn)置),(Bξ)j表示向量Bξ的第j階元素。通過乘以B-1,得到：

因此,對于每一個 j≥1,ξj由觀測 X1，…，Xj可表示為：

下面給出模型(4)中未知參數(shù)的極大似然估計的表達(dá)式。

定理1：模型(4)中θ的極大似然估計為：

因此,在X1=x1,…,Xj=xj的條件下,Xj-1的條件期望是高斯分布其中：

其概率密度函數(shù)為：

故似然函數(shù)為：

因此,將參數(shù)θ的似然函數(shù)L(θ，，x1，…，xNα)極大化,得到θ的極大似然估計θ∧為：

證畢。

從θ的極大似然估計θ∧和式(9),得到：

2.2 估計量的性質(zhì)

現(xiàn)在證明估計量的無偏性、漸近正態(tài)性。

對M≥1,定義：

證明：從式(10)、式(11)和式(12),得到：

命題2：從式（10）得到：

這是由于 ξj+1是獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量。

2.3 Monte Carlo模擬

選取平安銀行2013年1月4日到2014年7月31日收盤價格數(shù)據(jù)，對得到的估計量進(jìn)行模擬。取不同的H和θ，根據(jù)模型（3），利用R代碼產(chǎn)生300個樣本，從而求出估計量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（如表1所示）。

表1 估計量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

從模擬結(jié)果看到，對于取的不同的H和θ，通過模型（3）模擬后得出的估計量的均值都接近真實(shí)值，并且對應(yīng)于不同的H和θ模擬的估計量的標(biāo)準(zhǔn)差也比較小，通過模擬可以發(fā)現(xiàn)，在對樣本量不太大的情況進(jìn)行模擬時，模擬得出的估計量相對來說也是比較精確的。

3 譜密度法在股票價格模型中的應(yīng)用

3.1 隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)法下的股票價格預(yù)測

考慮下列的方程：

其中，n=1，2，...，N;B1是b+1維獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量；B2是N+1維獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量；B1和B2相互獨(dú)立；CH是一個常數(shù)。取文獻(xiàn)中已證明是WH(t)的一個好的逼近。

于是，利用式（14）得到式（13）的離散化形式：

其中ε1和ε2都是均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，[t+iΔt]表示對t+iΔt進(jìn)行取整。

步驟二：用平安銀行2013年1月1日到2014年7月31日收盤價格估計出參數(shù)。

步驟三：利用計算機(jī)生成b+1、N+1個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，不妨記為{ε1i∶i=1，2，...，b+1}和{ε2j∶j=1，2，...，N+1}，代入離散化表達(dá)式（15）中。

步驟四：令初始值i=0，通過編程，由初始平安銀行股票價格得到再由生成依次遞推，直到于是，在二維平面上繪的散點(diǎn)圖，就得到到期日平安銀行股票價格未來變化的一條模擬樣本軌道。

3.2 譜密度法下的股票價格預(yù)測

用譜密度法對式（13）進(jìn)行離散化處理，類似地可以模擬股票價格，具體步驟如下：

步驟一：利用式（6）得到式（13）的離散化形式：

步驟二：利用計算機(jī)生成ι個相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，不妨記為和代入離散化表達(dá)式（16）中。

步驟三：令初始值i=0，通過R語言編程，由初始平安銀行股票價格得到，再由生成依次遞推，直到于是，在二維平面可繪出集合{(t的散點(diǎn)圖，從而得到分式布朗運(yùn)動方程（13）的一條近似樣本軌道，即該股票價格的一條模擬樣本軌道。

3.3 比較分析

在用隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)法和譜密度法模擬平安銀行股票價格的變化路徑時，通過計算得到H=0.75，θ=-0.001266，σ=0.02，初始價格St=10.70。在隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)法的隨機(jī)模型中，取CH=1，t=0，Δt=Δk=1，在譜密度法的隨機(jī)模型中，取t=0，Δt=1，n=123，得到圖1和圖2所示的平安銀行股票價格的一條樣本軌道，并與股票價格的實(shí)際走勢進(jìn)行對比。

圖1 隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)法模擬股價走勢與實(shí)際走勢對比圖

圖2 譜密度法模擬股價走勢與實(shí)際走勢對比圖

圖中粗線是平安銀行2014年8月1日到2015年1月30日實(shí)際收盤價（數(shù)據(jù)來源：Wind資訊），細(xì)線是模擬的價格。

通過對比發(fā)現(xiàn)，譜密度法估計的分式布朗運(yùn)動模型比隨機(jī)標(biāo)準(zhǔn)法估計的隨機(jī)模型更貼近實(shí)際，但與實(shí)際還有點(diǎn)差距，造成這種差距的原因是：程序中有產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的過程，具有很大的隨機(jī)性；模型中只對股價進(jìn)行了量化分析，事實(shí)上影響股票價格的因素除了數(shù)量因素外，還有政策、投資者心理等因素。

4 結(jié)論

鑒于分式布朗運(yùn)動具有良好的長相依性、自相似性等特征，本文主要用譜密度方法和分式布朗運(yùn)動金融模型，對短期利率模型進(jìn)行極大似然估計，數(shù)值實(shí)驗說明該估計方法比較準(zhǔn)確；結(jié)合Monte Carlo模擬方法，最大限度地模擬出股票價格未來走勢，模擬結(jié)果不受歷史數(shù)據(jù)的影響，且模擬的結(jié)果更加貼近于現(xiàn)實(shí)。

[1]Sottinen T,Tudor C.Parameter Estimation for Stochastic Equations With Additive Fractional Brownian Sheet[J].Statis.Infere.Stoch.Pro?cess,2008,（11）.

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[3]Xiao W,Zhang W,Zhang X.Minimum Contrast Estimator for Frac?tional Ornstein-uhlenbeck Process[J].Science China Mathematics, 2012,55(7).

[4]Bertin K,Torres S,Tudor C.Drift Parameter Estimation in Fraction?al Diffusions,Martingales and Random Walks[J].Stat.Prob.Lett., 2011,81(2).

[5]Bertin K,Torres S,Tudor C.Maximum Likelihood Estimators and Random Walks in Long-memory Models[J].Statistics,2010,44(5).

[6]張金清.金融風(fēng)險管理(第二版）[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2011.

[7]郭精軍,田婧.分式布朗運(yùn)動模型下的金融市場風(fēng)險度量——以上證指數(shù)為例[J].蘭州商學(xué)院學(xué)報,2014,30(2).

[8]LauraR,SoledadT,TudorC.ComparativeEstimationforDiscreteFrac?tional Ornstein-uhlenbeck Process[J].StochasticModels,2014,29(3).

[9]Ton D.Simulation of Fractional Brownian Motion[J].Prbability in the Engineering&Information Sciences,2004,2.

[10]Hu Y,Wang X.Exact Maximum Likelihood Estimator for Drift Frac?tional Brownian Motion at Discrete Observation[J].Acta Mathemati?ca Scientia,2011,31B(5).

[11]Sottinen T.Fractional Brownian Motion,Random Walks and Binary Market Models[J].Finance and Stochastics,2011,（5）.

（責(zé)任編輯/易永生）

O211.6

A

1002-6487（2016）23-0025-04

國家自然科學(xué)基金資助項目（71561017）；甘肅省自然科學(xué)基金資助項目（145RJZA033）；甘肅經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)量分析研究中心項目（SLYB201202）

毛小麗（1989—），女，甘肅臨洮人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計。

孔凡勝（1990—），男，山東兗州人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計。

（通訊作者）郭精軍（1976—），男，甘肅民勤人，博士，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計、隨機(jī)分析。