基于變步長(zhǎng)梯形算法GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化

肖利哲，王學(xué)娟

（哈爾濱理工大學(xué) 管理學(xué)院，哈爾濱 150040）

基于變步長(zhǎng)梯形算法GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化

肖利哲，王學(xué)娟

（哈爾濱理工大學(xué) 管理學(xué)院，哈爾濱 150040）

文章從GM(1,1)建模機(jī)理及背景值形成過(guò)程出發(fā)，分析出對(duì)于具有明顯指數(shù)規(guī)律的一次累加生成序列，GM(1,1)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)誤差較大的情況，并得出背景值的構(gòu)造方法是造成這種誤差的重要原因之一。利用拉格朗日插值函數(shù)和變步長(zhǎng)梯形算法對(duì)背景值進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)對(duì)變步長(zhǎng)梯形算法中步長(zhǎng)大小的變化，形成了一種新的背景值構(gòu)造方法，可使由背景值構(gòu)成的誤差降低。

GM(1,1)模型；背景值；變步長(zhǎng)梯形算法

0 引言

灰色系統(tǒng)是研究少數(shù)據(jù)、貧信息等不確定性問(wèn)題的理論，灰色預(yù)測(cè)是灰色系統(tǒng)理論的主要研究?jī)?nèi)容之一，廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，而GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)的核心內(nèi)容[1]，長(zhǎng)期以來(lái)受到很多學(xué)者關(guān)注，但在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該模型有時(shí)會(huì)出現(xiàn)預(yù)測(cè)精確度不高的問(wèn)題，因此對(duì)該問(wèn)題做了很多研究。譚冠軍[2]初步分析了GM(1,1)模型背景值構(gòu)造所產(chǎn)生的誤差，并給出新的構(gòu)造方法。王鐘羨，張怡等[3，4]根據(jù)GM(1,1)模型的指數(shù)特性，通過(guò)在定區(qū)間上求積分，給出了背景值的一個(gè)計(jì)算公式，在一定程度上提高了模型的預(yù)測(cè)精度。楊華龍等人[5]應(yīng)用自動(dòng)尋優(yōu)定權(quán)方法，根據(jù)原始數(shù)據(jù)的模擬值與真實(shí)值之間的最小離差平方和來(lái)確定最終權(quán)重，但計(jì)算過(guò)程較為繁瑣。李俊峰，戴文戰(zhàn)[6]利用Newton-Cotes公式計(jì)算背景值，但n較大時(shí)，高次插值將出現(xiàn)Range現(xiàn)象，造成較大誤差。唐萬(wàn)梅，向長(zhǎng)合[7]則基于二次插值來(lái)構(gòu)造背景值，該方法避免了Range現(xiàn)象，但預(yù)測(cè)精度難以保證。

根據(jù)以上學(xué)者的研究，本文從一次累加生成序列的指數(shù)規(guī)律角度出發(fā)，利用拉格朗日插值函數(shù)以及變步長(zhǎng)梯形算法，對(duì)背景值進(jìn)行優(yōu)化，使GM(1,1)模型不僅適用于指數(shù)規(guī)律較弱的數(shù)據(jù)序列，也適用于指數(shù)規(guī)律較強(qiáng)數(shù)據(jù)序列。

1 GM(1,1)建模機(jī)理及誤差分析

1.1 GM(1,1)建模機(jī)理

GM(1,1)建模過(guò)程是將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)通過(guò)累加生成得到具有灰指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列，利用一階線性微分方程的指數(shù)解形式來(lái)擬合x(chóng)(1)() t進(jìn)行建模，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行累減還原，再進(jìn)行預(yù)測(cè)。定義1:設(shè)原始數(shù)據(jù)則一次累加生成序列為，簡(jiǎn)稱1-AGO，其中

由于分析的數(shù)據(jù)是離散的，為求解參數(shù)a、b，將該一階線性微分方程以定積分形式離散化，即：

根據(jù)其離散形式，從積分幾何角度出發(fā)，求解GM(1,1)模型背景值就是求解該定積分的過(guò)程。

定理2：設(shè)x(0)，x(1)如定義1所示，若令Y和B分別為下式：

則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列為：

以x(o)(1)為初始值計(jì)算GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)序列為：

其一次累減還原值為：

從以上的求解過(guò)程可以看出，參數(shù)a、b是影響GM(1, 1)模型預(yù)測(cè)精度的直接影響因素，而背景值z(mì)(1)(k)的構(gòu)成方式又決定a、b的取值。因此科學(xué)合理的構(gòu)造背景值，將有效提高模型的預(yù)測(cè)精度。

1.2 GM(1,1)模型誤差分析

2 GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化

2.1 背景值優(yōu)化方法構(gòu)建

根據(jù)以上誤差來(lái)源分析，針對(duì)1-AGO指數(shù)規(guī)律較強(qiáng)的數(shù)據(jù)序列，從背景值形成的積分幾何意義出發(fā)，在積分區(qū)間[k -1，k]上插入適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，此處采用拉格朗日函數(shù)進(jìn)行插值，近似得到x(1)(t)在插值點(diǎn)處函數(shù)值。并結(jié)合變步長(zhǎng)梯形算法，通過(guò)選取合適的步長(zhǎng)，即在對(duì)每個(gè)積分區(qū)間進(jìn)行m等分時(shí)，選取合適的m值，用m個(gè)小梯形面積之和來(lái)近似代替曲邊梯形面積。以小區(qū)間向下凹為例說(shuō)明，如圖1所示。

圖1 面積逼近示意圖

若函數(shù) y=f(x)在[a ，b]上有定義，m+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0＜…＜xm=b處的值已知，則Lm(xj)=yj(j=0，1，…，m)。

則稱此m+1個(gè)多項(xiàng)式l0(x)，l1(x)，…，lm(x)為節(jié)點(diǎn)x0＜…＜xm的m次插值基函數(shù)?？傻胢次插值基函數(shù)為：

因此滿足式⑻的插值多項(xiàng)式Lm(x)可表示為：

式⑼稱為拉格朗日插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱Lm。

定義3：設(shè)將[ ] a，b分為m等分，共有m+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至2m+1個(gè)，而每個(gè)子區(qū)間[ ] xd，xd+1經(jīng)過(guò)二分只增加一個(gè)分點(diǎn)，即xd+1)，其中xd=a+ih;i=0，1，…，m;使用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為：

式（11）給出了Tm與T2m之間的遞推關(guān)系，方便計(jì)算機(jī)編程，減少了計(jì)算量，由此可見(jiàn)變步長(zhǎng)梯形算法為復(fù)化梯形公式的逐次分半算法，下面討論如何確定等分?jǐn)?shù)m。

本文通過(guò)m計(jì)算背景值 z(1)(k )，以z(1)(k)確定a、b以得到擬合函數(shù)由與x(0)(k)計(jì)算相對(duì)誤差ε(k)及平均相對(duì)誤差。m在變化過(guò)程中使z(1)(k)、ε(k)、ˉ依次變化，最終使在變化過(guò)程中達(dá)到最小，選擇此時(shí)m。

根據(jù)1-AGO波動(dòng)性，由這些點(diǎn)擬合的Lm呈現(xiàn)凹凸變化的趨勢(shì)，如圖2所示。在對(duì)小區(qū)間進(jìn)行等距劃分并插值時(shí)，不能使每個(gè)小區(qū)間上的m個(gè)小梯形面積之和都更接近定積分值，相應(yīng)的利用重構(gòu)的z(1)(k)建模預(yù)測(cè)，不能使每個(gè)ε(k)都降低，進(jìn)而使εˉ隨ε(k)變化程度而改變。

圖2 曲線擬合圖

②若且選擇m=m1時(shí)計(jì)算背景值。

③若則繼續(xù)增大m，直至某個(gè)m值，設(shè)為m*，若繼續(xù)增大m，則ˉ增大。以m*計(jì)算背景值。

當(dāng)原始數(shù)據(jù)為非波動(dòng)性數(shù)據(jù)序列且1-AGO指數(shù)規(guī)律越明顯時(shí)，則Lm整體向下凹或向上凸，可使Lm與x(1)(t)變化趨勢(shì)更接近，則εˉ可降低的空間就越大。

下面以實(shí)證部分?jǐn)?shù)據(jù)說(shuō)明z(1)(k)、ε(k)、ˉ之間變化關(guān)系。

如表1所示，隨m增大z(1)(k)均在減小，相應(yīng)的ε(2)增大，ε(3)，ε(6)減小，ε(4)，ε(5)先減小后增大，且ˉ逐漸減小，當(dāng)m=8時(shí)ˉ達(dá)到最小，以此m對(duì)應(yīng)的z(1)(k)計(jì)算參數(shù)a、b。

表1 背景值與相對(duì)誤差及平均相對(duì)誤差變化對(duì)照

2.2 基于優(yōu)化背景值的GM(1,1)模型的改進(jìn)

⑴計(jì)算ρ(k)與σ(k)分析指數(shù)規(guī)律，并利用軟件計(jì)算原模型平均相對(duì)誤差設(shè)定初始值m1，由Lm函數(shù)計(jì)算區(qū)間[k ，k+1]上m1等分點(diǎn)處的函數(shù)值。

⑵根據(jù)變步長(zhǎng)梯形算法，由m1值及插值點(diǎn)處的函數(shù)值計(jì)算背景值。

⑶根據(jù)定理2計(jì)算參數(shù)a、b的值，并根據(jù)式⑺求得原始數(shù)據(jù)的模擬值。

⑷計(jì)算模擬值的相對(duì)誤差ε1(k)及整體平均相對(duì)誤差

表2 原模型與優(yōu)化模型工業(yè)總產(chǎn)值模擬預(yù)測(cè)比較

3 實(shí)例分析

本文以上海市六五至十一五期間工業(yè)總產(chǎn)值作為基本數(shù)據(jù)說(shuō)明模型改進(jìn)情況，原始數(shù)據(jù)見(jiàn)表2所示。

⑴分別計(jì)算ρ(k )與σ(1)(k)的值，得出其1-AGO具有較強(qiáng)的指數(shù)規(guī)律。并計(jì)算原模型平均相對(duì)誤差，見(jiàn)表2。

⑵令初值m=2，插入一個(gè)點(diǎn)，并以區(qū)間[1 ，2]為例計(jì)算插值及背景值，其他區(qū)間類似。給出Lm函數(shù)：

L6(x)=0.1406x5+4.4821x4-51.1969x3+236.5319x2-357.8253x+202.9591

⑶計(jì)算背景值

同理計(jì)算z(1)(k)，k=3，4，5，6時(shí)的值，見(jiàn)表1。將得到的背景值帶入到GM(1,1)模型，得到m=2時(shí)模擬預(yù)測(cè)值，并分別取m=4、8、16,計(jì)算不同m值時(shí)的背景值，并代入GM (1,1)模型計(jì)算模擬值，與原模型進(jìn)行比較，見(jiàn)表2。

如表2所示，當(dāng)m取8時(shí)模型的平均相對(duì)誤差最小，選擇m*=8時(shí)的背景值計(jì)算a、b，并利用式⑺進(jìn)行預(yù)測(cè)。

GM(1,1)模型有三種檢驗(yàn)方法：殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)以及均方差比檢驗(yàn)，本文采用均方差比檢驗(yàn)方法，如下:

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列x(0)及殘差序列的均值和方差分別為：

模型的精度由P和c共同描述，一般分為四個(gè)等級(jí)，一級(jí)：0.95≤p，c≤0.35；二級(jí)：0.80≤p＜0.95，0.3＜c≤0.5；三級(jí)：0.70≤p＜0.80，0.5＜c≤0.65；四級(jí)：P＜0.70，0.65＜c。對(duì)模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到 p=1，c=0.01。該模擬預(yù)測(cè)的精度屬于一級(jí)，精度較高。

4 總結(jié)

本文針對(duì)一次累加生成指數(shù)規(guī)律明顯的數(shù)據(jù)序列，利用拉格朗日插值函數(shù)以及變步長(zhǎng)梯形算法，提出了新的背景值構(gòu)造方法。在變步長(zhǎng)梯形算法中，隨著步長(zhǎng)的變化，也就是等分?jǐn)?shù)m取值的不同，預(yù)測(cè)結(jié)果的平均相對(duì)誤差會(huì)隨之變化。變化過(guò)程中會(huì)有一個(gè)m*使平均相對(duì)誤差達(dá)到最小或其差值小于某一特定值，以m*計(jì)算模型背景值。若m*=0則使用原模型，若m*＞0表示優(yōu)化了GM(1,1)模型，提高了模型的預(yù)測(cè)精度。通常，當(dāng)1-AGO指數(shù)規(guī)律越明顯時(shí)，m*應(yīng)越大，隨指數(shù)規(guī)律的減弱m*變小，當(dāng)m*=0時(shí)，即使用原模型。根據(jù)重構(gòu)背景值的GM(1,1)模型，利用上海市六五至十一五期間工業(yè)生產(chǎn)總值進(jìn)行模擬預(yù)測(cè)，證明該優(yōu)化模型可以提高指數(shù)規(guī)律較強(qiáng)的1-AGO的預(yù)測(cè)精度，并具有一定的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。

[1]劉思峰，黨耀國(guó).灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，(4).

[3]王鐘羨，吳春篤.GM(1,1)改進(jìn)模型及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2003，33(9).

[4]張怡,魏勇,熊常偉.灰色模型GM(1,1)的一種新優(yōu)化方法[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2007，(4).

[5]楊華龍，劉金霞，鄭斌.灰色預(yù)測(cè)GM(1,1)模型的改進(jìn)及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41(23).

[6]李俊峰，戴文戰(zhàn).基于插值和Newton-Cores公式的GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造新方法與應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2004，(10).

[7]唐萬(wàn)梅，向長(zhǎng)合.基于二次插值的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)方法的改進(jìn)[J].中國(guó)管理科學(xué)，2006，14(6).

（責(zé)任編輯/易永生）

N941.5

A

1002-6487（2016）23-0008-04

黑龍江省高教綜合改革試點(diǎn)專項(xiàng)課題資助（JG2013010288）

肖利哲（1961—），男，黑龍江哈爾濱人，碩士，教授，研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)、人力資源。

王學(xué)娟（1989—），女，河北廊坊人，碩士研究生，研究方向：人力資源管理。