一類分塊矩陣特征值的擾動上界?

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015)

一類分塊矩陣特征值的擾動上界?

孔祥強(qiáng)?

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015)

利用分塊矩陣和其子塊矩陣的特征值之間的關(guān)系，得出了一類分塊下三角形矩陣特征值的擾動界，且所得結(jié)論推廣了Wielandt-Hoffman定理和先前的結(jié)果。

分塊下三角形矩陣;特征值;正規(guī)矩陣;擾動

對矩陣特征值擾動的研究是矩陣擾動分析的重要內(nèi)容。針對文[1]、[2]中給出的特征值擾動界，本文利用分塊矩陣和其子塊矩陣之間的關(guān)系，推廣了文[1]、[2]中的結(jié)論，拓寬了結(jié)論的使用范圍。

1 幾個定義和引理

定義1[3]設(shè)A ＝(aij)∈Cm×n，令 ‖A‖F(xiàn)＝，則稱它為矩陣A的F-范數(shù)。

定義2[4]若矩陣A∈Cn×n，滿足AHA＝AAH，則稱A為正規(guī)矩陣；若滿足AH＝A，則稱A為Hermite矩陣。

定義3[5]處理級數(shù)較高的矩陣時，可把大矩陣看成是由一些小矩陣組成，就如矩陣是由數(shù)組成一樣，在運(yùn)算中，將這些小矩陣作為數(shù)一樣來處理，即為矩陣的分塊。分塊時，一般要分出單位矩陣、數(shù)量矩陣、下三角矩陣或上三角矩陣。

引理1[6]設(shè)A∈Cn×n，且A可寫成塊下三角形矩形形式，即的特征值記為λ(A)，兩個子塊 A1和 A4的特征值分別記為λ(A1)和λ(A4)，則λ(A)＝λ(A1)∪λ(A4)。引理2[5]設(shè)A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A、B均為正規(guī)矩陣，A的特征值λ(A)＝ λi{ }，B的特征值λ(B)＝ μi{ }，i＝1，2，…，n，則存在1，2，…，n的某個排列 π，使得≤‖B-A‖F(xiàn)。此定理稱為Wielandt-Hoffman定理。引理3[2]設(shè)A∈Cn×n，B∈Cn×n，A和B的特征值分別為λ(A)和λ(B)，A為正規(guī)矩陣，則存在1，2，…，n的某個排列v，使得

矩陣A的特征值的全體稱為A的譜。A與B的 譜 的 Euclid 距 離，其中π是1，2，…，n的某個排列，表示在1，2，…，n的所有可能的排列上取最小值。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A ＝其中A1∈Ct×t，B1∈，則存在1，2，…，n的排列π，u，v，使得

其中π取遍1，2，…，n所有的排列。

證明 由矩陣A1、B1譜的Euclid距離知，存在1，2，…，n的某個排列u，使得

存在1，2，…，n的某個排列v，使得

由引理1得λ(A)＝λ(A1)∪λ(A4)，λ(B)＝λ(B1)∪λ(B4)，

其中π取遍1，2，…，n所有的排列。

定理2 設(shè)A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A、B均為塊下三角形矩陣，，其中。若A1、B1均為正規(guī)矩陣，A4、B4也均為正規(guī)矩陣，則存在1，2，…，n的某排列π，使得。

證明 對正規(guī)矩陣A1、B1，由引理2得，存在1，2，…，n的排列u，使得

對正規(guī)矩陣A4、B4，存在1，2，…，n的排列v，使得

注 當(dāng)A1、B1、A4、B4均為正規(guī)矩陣時，A、B也不一定為正規(guī)矩陣，但引理2的結(jié)論仍成立。說明，只要A、B是滿足定理2條件的分塊下三角矩陣，即使不是正規(guī)矩陣，Wielandt-Hoffman定理的結(jié)論也成立。因此，定理2可看作Wielandt-Hoffman定理的進(jìn)一步推廣。

定理3 條件同定理2，若A1、B1均為正規(guī)矩陣，A4、B4中僅有一個是正規(guī)矩陣，則存在1，2，…，n的排列π，使得

證明 由于A1、B1均為正規(guī)矩陣，由引理2得

又A4、B4中僅有一個是正規(guī)矩陣，由引理3得

再結(jié)合定理1得

②雖然A1、B1均為正規(guī)矩陣，A4、B4中僅有一個是正規(guī)矩陣，但不能保證A、B中至少有一個為正規(guī)矩陣，定理3的結(jié)論明顯優(yōu)于引理3；且定理3可看作引理3的條件和結(jié)論的雙推廣形式。

定理4 條件同定理2，若A1、B1中僅有一個為正規(guī)矩陣，A4、B4中也僅有一個是正規(guī)矩陣，則存在1，2，…，n的排列π，使得

證明 由引理3知，存在1，2，…，n的排列u，使得

存在1，2，…，n的排列v，使得

再結(jié)合定理1知，存在1，2，…，n的排列π，使得

注 只要矩陣A、B分塊后滿足定理4的條件，無論它們是否為正規(guī)矩陣，所得結(jié)果均優(yōu)于引理3的結(jié)論。

3 結(jié)束語

對于分塊下三角形矩陣A、B，通過討論其子塊是否為正規(guī)矩陣，得到了一系列的定理，在滿足定理?xiàng)l件下，本文所得的擾動界優(yōu)于 Wielandt-Hoffman定理和引理3的結(jié)論。本文的結(jié)論還可以推廣到分塊上三角形矩陣的情形，結(jié)論同樣成立。

[1]A.J.Hoffman，H.W.Wielandt.The variation of the spectrum of a normalmatrix[J].Duke Math.J.，1953，20:37-39.

[2]J.G.SUN.On the Variation of the Spectrum of a NormalMatrix[J]. Linear Algebra Appl.，1996，246:215-223.

[3]孫繼廣.矩陣擾動分析[M].北京:科學(xué)出版社，2001:10-226.

[4]蔣正新，施國梁.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].北京:北京航空學(xué)院出版社，1998:95-99.

[5]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社，2013:162-195.

[6]G.H.Colub，C.F.Van Loan.Matrix Computations[M].Beijing:Posts and Telecom Press，2009:359-363.

(責(zé)任編輯:曾 晶)

Upper Perturbation Bounds for Eigenvalues of a Class of Block M atrices

KONG Xiangqiang?

(Department of Mathematics，Heze University，Heze 274015，China)

By using the relation between the eigenvalues of the block matrix and the sub-block Matrix，the perturbation bounds for eigenvalues of a class of triangularmatriceswere obtained.And the conclusionswere generalized by Wielandt-Hoffman theorem and the previous results.

lower triangular block matrix；eigenvalue；normalmatrix；perturbation

O241.6

A

1000-5269(2016)04-0016-03

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.04.03

2016-01-28

2015年山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)資助項(xiàng)目(ZBS15004)；菏澤學(xué)院教學(xué)改革重點(diǎn)課題項(xiàng)目(2015010)

孔祥強(qiáng)(1983-)，男，講師，碩士，研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué)，Email:kong3058＠126.com.

?通訊作者:孔祥強(qiáng)，Email:kong3058＠126.com.