凸多邊形與其內(nèi)接多邊形的面積關(guān)系

王來(lái)全,李 碩，夏米西努爾·阿布都熱合曼

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 831146)

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凸多邊形與其內(nèi)接多邊形的面積關(guān)系

王來(lái)全1,李 碩2，夏米西努爾·阿布都熱合曼3

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 831146)

圖案設(shè)計(jì)和工程建筑經(jīng)常會(huì)涉及到圖形的面積問題,研究了任意凸多邊形與其內(nèi)接多邊形面積間的等比關(guān)系,并給出了等比關(guān)系式,數(shù)值模擬驗(yàn)證了這一關(guān)系式的正確性.最后,討論了棱柱體在定義條件下的體積問題.

凸多邊形;內(nèi)接多邊形;正棱柱體;面積

研究物體的形狀、大小和相互位置的科學(xué)叫幾何學(xué)[1].幾何圖形一般是從客觀實(shí)際中抽象出來(lái)的,研究幾何圖形的性質(zhì),其中最重要的目的之一,在于應(yīng)用這些性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問題.對(duì)于面積而言,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)或日常生活方面,應(yīng)用都極為廣泛.例如:農(nóng)業(yè)上的畝產(chǎn)量計(jì)算[2],興修水利,密植、輪值,工業(yè)上安裝機(jī)器,樓層與倉(cāng)庫(kù)的設(shè)置,測(cè)量各種建筑物的表面積容積[3-4],客廳、墻面等花紋底色圖案的設(shè)計(jì)問題都與面積的計(jì)算或作圖等有著密切的聯(lián)系.因此,研究圖形的面積問題,是平面幾何中的重要內(nèi)容之一.我們應(yīng)用平面幾何的相關(guān)理論,將多邊形的各邊中點(diǎn)順次相連組成新的圖形,重點(diǎn)討論了組成的新圖形與原圖形的面積關(guān)系,揭示了在這種定義形式下凸多邊形與其內(nèi)接多邊形的面積關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 在平面V2中,對(duì)任意凸N邊形,順次連接各邊中點(diǎn)所成的圖形,記為該N邊形的C1形,順次連接C1形各邊中點(diǎn)所成的圖形記為C2形,…，順次連接Ci形各邊中點(diǎn)所成的圖形記為Ci+1形(i∈N+).

定義2 在空間V3中，N棱柱的上下平面的C1形組成的棱柱體為N棱柱的X11形棱柱體，X11形棱柱體的上下平面的C2形組成的棱柱體為X22形棱柱體,…,Xii形棱柱體的上下平面的Ci+1形組成的棱柱體為Xi+1i+1形棱柱體(i∈N+).

定義3 在空間V3中，由N棱柱體(N+2面體)的各側(cè)棱中點(diǎn)和上下平面的C1形組成的3N+2面體，記為該棱柱體的Y形體.

2 主要結(jié)果

定理1 在平面V2中,任意四邊形的面積S0與該四邊形的Ci形面積Si間有等比關(guān)系,且有

證明 任取一個(gè)四邊形A1A2A3A4,A1A2的中點(diǎn)為B1,A2A3的中點(diǎn)為B2,A3A4的中點(diǎn)為B3,A4A1的中點(diǎn)為B4,則B1B2B3B4,設(shè)A1A3=x,A2A4=y,設(shè)ΔA1A2A3的高為h1,ΔA1A4A3的高為h2,ΔA1A2A4的高為h'1,ΔA2A3A4的高為h'2,則有

SΔB1A2B2+SΔB4A4B3+SΔA1B1A4+SΔB2B3A3=

注1 定理1還可以用割補(bǔ)、平移法證明,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可以得出下面的推論.

推論1 在V2中，任意N邊形的面積S0與該N邊形的Ci形的面積Si間有如下等比關(guān)系

當(dāng)N→∞時(shí),Si=S0,即圓與圓的Ci形的面積是相等的[5].

定理2 在V3中，任意N棱柱體的體積V0與N棱柱的Xii形棱柱體的體積Vi間有如下關(guān)系.

定理3 在V3中,任意正N棱柱體與其Y形體的體積比為一定值,且有

其中V20表示任意正N棱柱體的體積,V21表示該正N棱柱體的Y形體積.

證明 假設(shè)組成任一正N棱柱體的N邊形的邊長(zhǎng)為a,正N棱柱的高為h,則正N邊形的面積為

當(dāng)N→∞時(shí),V20=V21,可認(rèn)為圓柱體與它的Y形體的體積相等.

下面通過(guò)兩個(gè)具體的實(shí)例(N=6，N=7)來(lái)說(shuō)明上述推論的正確性．

3 數(shù)值模擬

CAD軟件可以幫助設(shè)計(jì)人員計(jì)算、信息儲(chǔ)存和繪圖工作.應(yīng)用CAD軟件構(gòu)造出任意一六邊形(圖1)和任意一七邊形(圖2)，通過(guò)CAD的查詢命令計(jì)算了這一六邊形與七邊形的面積與其對(duì)應(yīng)的內(nèi)接圖形的面積,其中S0表示這一任意六邊形和七邊形的面積,Si表示六邊形和七邊形的Ci形面積(i>1),其結(jié)果如表1所示，進(jìn)一步驗(yàn)證了推論的正確性.

圖1 任取一六邊形及其內(nèi)接圖形

圖2 任取一七邊形及其內(nèi)接圖形

表1 六邊形和七邊形的面積與內(nèi)接圖形的面積關(guān)系

4 結(jié)論

通過(guò)探討任意凸N邊形內(nèi)接圖形的面積與原圖形的面積間的等比關(guān)系,并用CAD軟件進(jìn)行模擬，模擬效果良好．這種在新定義下實(shí)施的面積計(jì)算方法,對(duì)以后一些圖案的設(shè)計(jì)有一定的啟示.所以,具體地求任意凸多邊形及其內(nèi)接多邊形的面積會(huì)在建筑工程造價(jià)等方面有很大的幫助,也將在一定程度上對(duì)推動(dòng)機(jī)械制造和工程建筑業(yè)的進(jìn)步有一定的意義.

[1]高孝忠,羅淼.解析幾何[M].北京:清華大學(xué)出版社,2011.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.新課標(biāo)數(shù)學(xué)九年級(jí)[M].北京:人民教育出版社,2010.

[3]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2010.

[4]曾令淮,段輝明,李玲.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2014.

[6]張小平,張國(guó)清.建筑工程CAD[M].北京:人民交通出版社,2007.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.015

2016-03-12

國(guó)家自然科學(xué)基金“人口流動(dòng)對(duì)艾滋病傳播影響的動(dòng)力學(xué)模型研究”(11261056);昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)基金“具有干預(yù)措施的HIV/AIDS傳播模型的建立與研究”(CJZY2015026)

王來(lái)全,甘肅定西人,講師.

王來(lái)全,E-mail:wanglaiquana@126.com

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1008-7974(2016)04-0047-03