二維基底起伏熵正則化重力反演方法

劉富強

（新疆維吾爾自治區(qū)有色地質(zhì)勘查局物探隊 烏魯木齊830011）

1 引言

確定物性分界面深度的方法主要是迭代法，即根據(jù)觀測異常給出界面深度的初值，然后在觀測異常和界面深度之間不斷進行迭代計算，以改善反演結(jié)果。此外，還有利用統(tǒng)計分析、頻譜展開式及多項式求界面深度的方法[1,2,3]。本論文研究了在迭代法中用熵正則化的方法來反演基底起伏。

熵在信息論中是對信息量的一種量度。熵越大，信息量就越大；同時反映出所描述變量或過程的隨機性也越大，越不確定。我們假設(shè)解釋模型是由一組垂直、并列的棱柱體所組成，它們的厚度是要估算的參數(shù)。熵正則化的基本思路是對離散點的基底深度估算的矢量進行零階熵測度的最大化處理和一階熵測度的最小化處理，使結(jié)果變得穩(wěn)定。

2 二度體熵正則化重力反演方法的基本原理

圖1 重力異常（上面）和解釋模型（下面）示意圖

解釋模型由M個垂直的、并列的棱柱體組成，棱柱體的深度pj是要被確定的參數(shù)。

式中，Δρ0是地球表面的密度差；β是控制密度差隨深度z下降的一個參數(shù)。

通過由M個垂直并列的棱柱體的重力觀測值估計基底起伏S，這些并列棱柱體（圖1）的密度差隨深度不變或按照公式（1）的雙曲線規(guī)律衰減。這些棱柱體的厚度就是要被估計的參數(shù)，它們與重力異常gi（第i 個觀測點上由M個棱柱體產(chǎn)生的重力異常值）非線性相關(guān)。在密度差為常數(shù)的情況下（Telford等人，1991），其引起的重力異常為:

當密度差隨深度按照公式（1）按雙曲線規(guī)律衰減（Rao等人，1994）時，其引起的重力異常表達式為:

我們用Ramos等人在1999年提出熵正則化方法使（4）式變成一個適定問題。這個方法包括零階熵測度Q0(p) 的最大化和一階熵測度的最小化。

在本文的研究中，我們解決了目標函數(shù)為式（5）的非線性最小化反演問題，在這個目標函數(shù)中，Q0max和Q1max是標準化常數(shù)。規(guī)范系數(shù)γ0和γ1均是正數(shù)。選擇系數(shù)γ1是為了把的值最小化。在γ0前面加上個負號使得零階熵測度產(chǎn)生最大化。

我們通過擬牛頓法[5]（Gill 等人，1981 年）使目標函數(shù)τ( )

p式（5）最小化，并用Broyden-Fletcher-Gol?dfarb-Shanno（BFGS）公式實現(xiàn)每次迭代時的Hessian矩陣的逆的更新值。

當滿足式（6）時，迭代停止。這里Qk1 是第k次迭代時一階熵測度的值。這一標準可以確保Q1的分布隨著迭代過程得到幾乎穩(wěn)定的值。

3 理論模型試算

如圖2所示，觀測點的橫坐標的最小值為0 m，最大值為64 m，點距為2 m，共33個觀測點。在第22至第42 個觀測點之間，我們在相鄰觀測點之間用兩個棱柱體的厚度來近似它們下部的起伏面深度，這樣我們就得到了20 個棱柱體的厚度，模型給定棱柱體的厚度為[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]，單位為m。假設(shè)棱柱體與圍巖的密度差是已知的，且為常數(shù)(Δρ0=0.5g/cm3)，通過正演計算可以得到這些棱柱體在33個觀測點上產(chǎn)生的重力異常值，見圖3。

用擬牛頓法進行迭代，設(shè)沉積物與基底之間的密度差Δρ0=0.5g/cm3，給定迭代初值為：[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1]，單位為m。

圖2 連續(xù)沉積盆地的棱柱體分布圖

圖3 連續(xù)沉積盆地在觀測點產(chǎn)生的重力異常值

圖4 γ0=5，γ1=0.05 時，經(jīng)過4次迭代時得到的棱柱體厚度

圖5 γ0=20，γ1=0.05 時，經(jīng)過8次迭代時得到的棱柱體厚度

圖6 γ0=40，γ1=0.05 時，經(jīng)過2次迭代時得到的棱柱體厚度

首先給定γ1=0.05，然后選取不同的γ0的值來反演起伏面的深度。當γ0=5，γ1=0.05 時，經(jīng)過4次迭代可得到圖4的反演界面；當γ0=20，γ1=0.05 時，經(jīng)過8 次迭代可得到圖5 的反演界面；當γ0=40 ，γ1=0.05 時，經(jīng)過2次迭代可得到圖6的反演界面。

4 結(jié)論

本文給出了用熵正則化的重力反演方法來解釋沉積盆地的起伏形狀。通過對棱柱體的厚度矢量進行零階熵測度的最大化和一階熵測度的最小化處理，可以使目標函數(shù)的解變得穩(wěn)定。結(jié)合模型試算的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，一般地，對于連續(xù)沉積盆地的反演，γ0＞＞γ1，這是由于一階熵測度包含了不連續(xù)或假振蕩的信息，γ1選取很小的正值可以壓制這些不連續(xù)或假振蕩的信息，使結(jié)果更趨向于連續(xù)沉積盆地類型。然而，零階熵測度和一階熵測度并不是相互獨立的，當一階熵測度最小化時，零階熵測度也會趨于最小化，這是我們就有必要給γ0一個很小的正值（包括零）來阻止零階熵測度的最小化。

[1]曾華霖.重力場與重力勘探，地質(zhì)出版社，2005.

[2]曾華霖、闞筱玲、謝婷婷，等，重磁勘探反演問題.石油工出社，1988.

[3]姚姚.地球物理反演基本理論與應(yīng)用方法，中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2002.

[4] Ramos, F. M., H. F. Campos Velho, J. C. Carvalho, and N. J. Ferreira, Novel approaches on entropic regularization: In?verse Problems,1999.15,1139–1148.

[5] Gill, P. E.,W.Murray, and M. H.Wright, Practical optimi?zation:Academic Press.1981.