低溫貯箱隔熱層打磨機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)仿真分析

◎黃順舟 王力 祁佩 張崇印

低溫貯箱隔熱層打磨機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)仿真分析

◎黃順舟 王力 祁佩 張崇印

在低溫貯箱隔熱層機(jī)器人柔性自動(dòng)打磨過(guò)程中，合理控制機(jī)器人末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡可有效保證打磨質(zhì)量，因此需對(duì)打磨機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。本文采用廣義坐標(biāo)形式的牛頓-歐拉方法對(duì)空間一般串聯(lián)機(jī)器人建立多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，將六個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)角位移作為機(jī)器人系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),根據(jù)打磨機(jī)器人各活動(dòng)構(gòu)件幾何和物理參數(shù)，在驅(qū)動(dòng)力給定的情況下，對(duì)打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果表明打磨機(jī)末端執(zhí)行器走了一條非預(yù)期的波動(dòng)的路徑。因此，為了獲得較好的打磨質(zhì)量，提供有效的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模與仿真方法是非常有意義的，同時(shí)本文動(dòng)力學(xué)建模方法也為打磨機(jī)器人的主動(dòng)控制算法提供了一定的基礎(chǔ)。

某型號(hào)低溫貯箱外壁噴需噴涂一層聚氨酯泡沫塑料（PU）作為隔熱材料（見(jiàn)圖1），聚氨酯泡沫塑料噴涂后表面凹凸不平（見(jiàn)圖2）。考慮到減重、外形表面美觀、隔熱效果等因素，需進(jìn)行打磨加工處理，打磨精度要求±2mm。

打磨亦稱磨削，是指用磨料、磨具切除工件上多余材料的加工方法，即在一定程度上去除前道工序加工所形成的凸層和痕跡，保證工件滿足形狀、尺寸、粗糙度等方面要求。

圖1　噴涂有隔熱材料的低溫貯箱

圖2　低溫貯箱隔熱層噴涂后表面凹凸不平

貯箱箱底結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，主要體現(xiàn)為：箱底為橢球形曲面結(jié)構(gòu)；箱底在制造過(guò)程中存在焊接變形，因而并非規(guī)則的曲面結(jié)構(gòu)；箱底有很多法蘭等凸起物；箱底邊緣為短殼結(jié)構(gòu)。箱底的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性導(dǎo)致其隔熱層打磨難度較大，也較難實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化打磨，此外隔熱層打磨過(guò)程中不能碰撞法蘭等凸起物，否則易導(dǎo)致貯箱損壞而報(bào)廢。目前，該型箱底仍采用人工手動(dòng)打磨方法，不僅加工周期長(zhǎng)，生產(chǎn)效率低，精度差，產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定性差，而且人工勞動(dòng)強(qiáng)度大，作業(yè)環(huán)境也差。

由于實(shí)際產(chǎn)品結(jié)構(gòu)復(fù)雜且制造偏差較大難以直接采用基于理論模型的自動(dòng)專機(jī)打磨，需研究基于機(jī)器人的柔性自動(dòng)打磨技術(shù)（如圖3所示），以滿足不同類型尺寸貯箱打磨的加工要求，同時(shí)保證隔熱層打磨質(zhì)量及其穩(wěn)定性。在機(jī)器人實(shí)際打磨前，也有必要分析機(jī)器人打磨運(yùn)動(dòng)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)性能，以便對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。

針對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的建模方法主要有：牛頓-歐拉方法、第二類拉格朗日方程和虛功原理。牛頓-歐拉方法以矢量力學(xué)為基礎(chǔ)，單個(gè)剛性構(gòu)件為建模對(duì)象，采用笛卡爾坐標(biāo)描述多個(gè)構(gòu)件組成的系統(tǒng)的位姿，聯(lián)立運(yùn)動(dòng)副約束方程，組成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，由于積分變量為全部的笛卡爾坐標(biāo)，計(jì)算量較大。第二類拉格朗日方程以分析力學(xué)為基礎(chǔ)，從能量角度出發(fā)，對(duì)于少自由度系統(tǒng)，求出每時(shí)每刻各活動(dòng)構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，然后對(duì)廣義變量求偏導(dǎo)數(shù)，推導(dǎo)過(guò)程程式化程度高，然而當(dāng)系統(tǒng)自由度增加時(shí)，計(jì)算量急劇上升，過(guò)程變得尤為繁瑣，并且無(wú)法得到關(guān)節(jié)的理想約束力。虛功原理處理問(wèn)題較為簡(jiǎn)潔，處理動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題效率較高，但計(jì)算動(dòng)力學(xué)響應(yīng)時(shí)同樣無(wú)法直接得到約束力。

本文采用廣義坐標(biāo)形式的牛頓-歐拉方法（Schiehlen方法）對(duì)空間一般串聯(lián)機(jī)器人建立多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。本文結(jié)合打磨機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征，將各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)角位移作為廣義坐標(biāo)，各連桿的笛卡爾坐標(biāo)通過(guò)齊次坐標(biāo)變換矩陣的方法依次推導(dǎo)得到，所以各連桿的位姿可以轉(zhuǎn)換為以廣義變量表示的形式，然后對(duì)時(shí)間分別求一次和兩次導(dǎo)數(shù)代入牛頓方程和歐拉方程，聯(lián)立用矩陣形式求解。若求解動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題，不需要關(guān)節(jié)理想約束力，可以用虛功原理將理想約束力和虛位移相乘得零，得到較為簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)方程。本文根據(jù)構(gòu)件幾何和物理參數(shù)，在驅(qū)動(dòng)力恒定的情況下，對(duì)打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題進(jìn)行了仿真分析。

圖3　低溫貯箱隔熱層打磨機(jī)器人

圖4　打磨機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖

打磨機(jī)器人

低溫貯箱隔熱層打磨機(jī)器人（如圖4所示）是一個(gè)六個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副鉸接而成的串聯(lián)機(jī)械臂。一般情況下，串聯(lián)機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題難以求解且不唯一，但對(duì)于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)基本問(wèn)題。本文打磨機(jī)器人是一臺(tái)KUKA公司的210kg工業(yè)機(jī)器人，其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解則并不困難，因?yàn)槠錂C(jī)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)較為巧妙，即末端連續(xù)的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副（即四軸、五軸和六軸）的軸線是交于空間一個(gè)共同點(diǎn)。工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解過(guò)程大致如下：已知機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)（以下簡(jiǎn)稱“位姿”），容易計(jì)算上述共同點(diǎn)在機(jī)器人世界坐標(biāo)系（亦可稱“笛卡爾坐標(biāo)系”）中的位置坐標(biāo)值，接著通過(guò)聯(lián)立三個(gè)三元方程可計(jì)算機(jī)器人從基座開(kāi)始的三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副（依次為一軸、二軸和三軸）的角位移，最后也通過(guò)求解三變量方程組可計(jì)算機(jī)器人四軸、五軸和六軸的角位移。

圖5　打磨機(jī)器人各連桿連體坐標(biāo)系

圖6　工具連體坐標(biāo)系

打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

本節(jié)采用Schiehlen多體動(dòng)力學(xué)方法分析機(jī)器人操作手的動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題。首先建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其次建立動(dòng)力學(xué)模型。

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

為了描述各剛體在空間的位置和姿態(tài)，在打磨機(jī)器人各連桿上建立連體坐標(biāo)系，如圖5所示。齊次坐標(biāo)變換矩陣用來(lái)表征兩個(gè)不同坐標(biāo)系之間的相對(duì)位置和姿態(tài)。通常地，從機(jī)器人一個(gè)構(gòu)件連體基到另一個(gè)構(gòu)件連體基的變換關(guān)系可由一個(gè)4×4的矩陣T來(lái)描述。假設(shè)矩陣i-1Ti是從構(gòu)件i-1到構(gòu)件i的變換矩陣，那么機(jī)器人相鄰構(gòu)件間的六個(gè)變換矩陣可表達(dá)如下：

其中：li和θi分別是每個(gè)構(gòu)件的尺寸常量和每個(gè)關(guān)節(jié)的角位移變量；帶有右下標(biāo)的矩陣T和矩陣R分別為在前一個(gè)坐標(biāo)系中描述的移動(dòng)矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。例如，式中的0T1是指前一個(gè)坐標(biāo)系（即第0個(gè)坐標(biāo)系，描述為“x0y0z0”）沿著z0軸方向平移l1長(zhǎng)度，然后繞著z0軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)θ1角度，至此第0個(gè)坐標(biāo)系和第1個(gè)坐標(biāo)系重合。其余類似。因此，從基坐標(biāo)系0到末端坐標(biāo)系6的總變換如下表示：

式中i-1Ti(θi)是一個(gè)以θi為變量的矩陣函數(shù)。

機(jī)器人末端工具固定在剛體6上，同樣地，工具的連體坐標(biāo)系如圖6所示。

剛體6坐標(biāo)系到工具坐標(biāo)系的變換是一個(gè)常數(shù)矩陣，表示如下

所以打磨機(jī)器人末端工具在基坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)可以表示如下：通常，末端執(zhí)行器的軌跡是給定的，所以矩陣0TG為已知。為了獲得動(dòng)力學(xué)仿真的初始條件，首先計(jì)算六個(gè)關(guān)節(jié)的初始角位移。本文我們關(guān)注末端三關(guān)節(jié)的相交點(diǎn)J5。如果末端工具的位置已知，那么矢量在基坐標(biāo)系里的描述能計(jì)算得到。所以J5的位置表示如下：

式中r→表示在基坐標(biāo)系下的矢量。

此外，J5的位置也可以由如下方程獲得：

所以，三個(gè)未知數(shù)θ1、θ2和θ3可以通過(guò)如下方程組解出：

式中T(I,j)表示矩陣T的第I行第j列的元素。

此外，其余三個(gè)未知數(shù)θ4、θ5和θ6可以通過(guò)如下方程解出：

假設(shè)Ci是第i個(gè)連桿的質(zhì)心，其位置表示如下：

用方向余弦表示角速度，各連桿在局部坐標(biāo)系下的角速度描述如下：

動(dòng)力學(xué)分析

動(dòng)力學(xué)分析旨在研究力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。本文采用Schiehlen多體動(dòng)力學(xué)建模方法。每個(gè)剛性連桿建立相應(yīng)的牛頓歐拉方程，如式所示。

式中mi和Ji分別為各連桿的質(zhì)量和慣量，aFi和aMi分別是主動(dòng)力和主動(dòng)力矩，nFi和nMi分別是約束力和約束力矩。

一般地，各連桿的位置和角速度分別能表示成廣義變量或者廣義變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，如式14,15所示：

考慮虛功原理，約束力的虛功等于零。在本文的打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析中，在各主動(dòng)力作用下機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡是所需要計(jì)算的，而約束力是不需要的。所以Schiehlen描述的動(dòng)力學(xué)方程表示如下：

式中：θi和τi分別是各關(guān)節(jié)的角位移和驅(qū)動(dòng)扭矩，F(xiàn)r和irRP分別是作用在末端執(zhí)行器上的外部工作阻力和局部坐標(biāo)系中工作阻力作用點(diǎn)坐標(biāo)矢量。

為了便于在Matlab/Simulink中搭建仿真數(shù)值模型，我們將式變化如下：

打磨機(jī)器人動(dòng)力學(xué)仿真

本文第零至第二節(jié)已經(jīng)介紹了打磨機(jī)器人的相關(guān)背景以及動(dòng)力學(xué)建模的過(guò)程，本節(jié)介紹動(dòng)力學(xué)仿真算例來(lái)分析末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡。

如圖3所示，打磨機(jī)器人是一個(gè)6R串聯(lián)機(jī)器人。各連桿的幾何參數(shù)和物理屬性如表1和表2所示。本文算例分析中作用在各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)上的扭矩為定值τ=[200000,1000,-8341.8,-65.1,-314.3,21.7]TNm。重力和作用在工具末端的工作阻力為作用在各連桿上的主動(dòng)力。在此條件下，6R串聯(lián)機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可以用第二部分給出的動(dòng)力學(xué)模型求解。仿真結(jié)果如圖7-9所示。圖7顯示了一條軌跡?；鴺?biāo)系下動(dòng)態(tài)坐標(biāo)點(diǎn)連接成一條曲線。紅色三角和黑色圓圈分別表示起始點(diǎn)和終止點(diǎn)。我們期望機(jī)器人末端執(zhí)行器走一條沿著Y軸方向的直線。然而末端執(zhí)行器沿著X和Z方向也有位移。之所以這樣，是因?yàn)轵?qū)動(dòng)力給定和外部工作波動(dòng)變化，或者主動(dòng)力的和為一個(gè)正負(fù)波動(dòng)的量。圖8和圖9分別顯示基坐標(biāo)系下的平動(dòng)位移和局部坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

表1.機(jī)器人幾何參數(shù)

表2.機(jī)器人質(zhì)量屬性

圖8　末端執(zhí)行器平動(dòng)位移

圖9　末端執(zhí)行器角位移

總結(jié)

本文采用Schiehlen方法建立了串聯(lián)機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)聚氨酯泡沫隔熱層打磨機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真分析。仿真結(jié)果表明打磨機(jī)器人末端執(zhí)行器走了一條非預(yù)期的并且是大而波動(dòng)的軌跡，這將不利于最終的打磨質(zhì)量。因此，在隔熱層打磨過(guò)程中控制工具的軌跡是有難度的。為了獲得較好的打磨質(zhì)量，需要考慮精確、快速的機(jī)器人主動(dòng)控制算法。

（作者單位：上海航天設(shè)備制造總廠）

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