研究應(yīng)用換元法培養(yǎng)創(chuàng)新思維

江蘇省揚州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

黃 慧●

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研究應(yīng)用換元法培養(yǎng)創(chuàng)新思維

江蘇省揚州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué)(225109)

黃 慧●

換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法.我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，把它簡化，使問題易于解決.本文應(yīng)用換元法解因式，解方程，解證明題三個方面舉例說明，供參考.

換元法；高次方程；無理方程；實數(shù)根

利用換元法解題，具有極大的靈活性.關(guān)鍵在于根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，恰當?shù)匾胼o助未知數(shù)，達到以簡馭繁，化難為易的目的.在具體應(yīng)用時，換元的具體形式也是多種多樣的.要在解題的實踐中，不斷摸索規(guī)律，積累經(jīng)驗，掌握有關(guān)的變換技巧，提高運用換元法解題的能力.

下面舉例說明換元法在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用.

一、用換元法分解因式

例1 把(x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72分解因式.

本題如果把括號、合并同類項以后，會得到關(guān)于x的四次式，分解起來比較困難.認真觀察題目的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)(x-4)(x+1)=x2-3x-4,(x-2)(x-1)=x2-3x+2,它們的二次項、一次項完全相同，這就具備了換元的條件，選用換元法進行降次處理，就使得分解變得簡單易行.在設(shè)輔助未知數(shù)時，方法比較靈活，如可設(shè)y=x2-3x,或設(shè)y=x2-3x-4等，一般地，設(shè)y等于x2-3x-4和x2-3x+2的算術(shù)平均式比較簡捷.

解 (x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72=(x2-3x-4)(x2-3x+2)-72

設(shè)y=x2-3x-1，則x2-3x-4=y-3,x2-3x+2=y+3

原式=(y-3)(y+3)-72=y2-9-72=(y+9)(y-9)=(x2-3x+8)(x2-3x-10)=(x2-3x+8)(x-5)(x+2)

總結(jié)提示 當在一個多項式中出現(xiàn)相同的部分時，一般可采用換元法來解決問題.

二、換元法在解方程中作用

掌握運用換元法解方程和方程組是初中數(shù)學(xué)的一個重點要求而在解高次方程、分式方程、無理方程時，要注意方程的特點創(chuàng)造運用換元法的條件往往會簡化求解過程.

例2 解下列方程：①(2x2-3)2+6=4x2

解 原方程變形為(2x2-3)2-2(2x2-3)=0.

設(shè)y=2x2-3,原方程形變?yōu)閥2-2y=0.

解這個方程，得y1=0,y2=2.

所以原方程有四個根：

三、證明題利用換元法十分簡捷

例3 試證明關(guān)于x的方程(x-a)(x-a-b)=1的根一個比a大，一個比a小.

分析 本題的一般證明方法是求出兩個實數(shù)根，再證明有一根大于a，另一根小于a.認真觀察題目的結(jié)構(gòu)，可以變形為(x-a)2-b(x-a)-1=0,可以實施換元.即要證一根比a大，一根比a小，可以轉(zhuǎn)化為證明(x-a)(x2-a)<0.本題還可以借助于函數(shù)思想，利用換元法得到十分簡捷的證明.

證法一 設(shè)x-a=y,原方程變形為y2-by-1=0 ①

Δ=(-b)2-4(-1)=b2+4>0,

∴方程①有兩個不相等的實數(shù)根y1,y2.

由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1·y2=-1<0,即(x1-a)(x2-a)<0.

∴原方程中一個根大于a，一個小于a.

證法二 設(shè)y=(x-a)(x-a-b)-1,即y=(x-a)2-b(x-a)-1.把y看作是關(guān)于x的二次函數(shù).

當x=a時，y=-1<0.

∵y=(x-a)2-b(x-a)-1的圖象開口向上∴圖象與x軸的交點一個在x=a的左邊，一個在x=a的右邊∴(x-a)(x-a-b)=1的根一個大于a，一個小于a.

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