關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的探討

黃保球

(江蘇省清江中學(xué)，223001)

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關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的探討

黃保球

(江蘇省清江中學(xué)，223001)

不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近幾年高考中考查的熱點(diǎn),此類試題具有較強(qiáng)的綜合性,在高考試卷中失分較為嚴(yán)重．通過(guò)對(duì)近幾年高考試題的研究發(fā)現(xiàn),不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要和數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何等緊密聯(lián)系,對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求,認(rèn)真研究不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略，有助于提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果．

一、不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高考的重要考點(diǎn),也是綜合性較強(qiáng)的題型之一,求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的基礎(chǔ).在解決此類問(wèn)題時(shí),往往可以從研究不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題入手,通過(guò)利用不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的規(guī)律簡(jiǎn)化數(shù)列通項(xiàng)的運(yùn)算,提高數(shù)列通項(xiàng)求解的效率,拓展學(xué)生的思維,增強(qiáng)學(xué)生的解題能力．

評(píng)注 本題也可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，但都不如不動(dòng)點(diǎn)法簡(jiǎn)潔.通過(guò)利用不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法實(shí)現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的,大大提高了解題效率．

二、不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在函數(shù)迭代中的應(yīng)用

函數(shù)迭代是函數(shù)的重要內(nèi)容之一,不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)迭代巧妙融合,成為高考數(shù)學(xué)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)重要發(fā)展方向.巧妙利用不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解決函數(shù)迭代問(wèn)題,會(huì)達(dá)到事半功倍的目的．

例2 已知函數(shù)f(x)=x-sin x,0

解 令f(x)=x,可知x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

0

綜上，可得

0

得證.

通過(guò)此題,可以看出不動(dòng)點(diǎn)為求函數(shù)迭代問(wèn)題提供了一種更加簡(jiǎn)捷有效的方式,大大提高了數(shù)學(xué)解題效率．

三、不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在方程中的應(yīng)用

方程是高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn),在解方程的過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)遇到一些難題,如高次方程等.在解決這類方程時(shí),有時(shí)利用一般求法可能無(wú)法順利解決,而利用不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)可能順利得解．

例3 解方程：

x4-6x3+10x2-4x=0.

評(píng)注 通過(guò)這種將原方程轉(zhuǎn)化為同解方程F(x)=x,再求F(x)的不動(dòng)點(diǎn)的方法,大大簡(jiǎn)化了解題的過(guò)程,收到了良好的效果．

四、不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是高考的必考內(nèi)容之一.由于此類題目與函數(shù)關(guān)系密切,在解決時(shí),有時(shí)利用不動(dòng)點(diǎn)知識(shí)去解決,能夠收到更好的效果．

解 (1)將a=1,b=-2代入f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).令f(x)=x,得x2-2x-3=0，故f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-1,3.

(2)因?yàn)閒(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),即x=ax2+(b+1)x+(b-1)恒有兩個(gè)不等實(shí)根,故有Δ1=b2-4a(b-1)>0對(duì)任意實(shí)數(shù)b成立，從而Δ2=(4a)2-16a<0,解得0

總之,高中數(shù)學(xué)內(nèi)容復(fù)雜,試題解法靈活，不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題作為一種簡(jiǎn)化解題思路、提高解題效率的方法在解題過(guò)程中發(fā)揮了重要的作用．利用不動(dòng)點(diǎn)可以將復(fù)雜的數(shù)列、函數(shù)、方程、解析幾何解法予以簡(jiǎn)化.在今后的教學(xué)中,教師不妨加強(qiáng)此類方法的指導(dǎo),不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力．